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第三章
函数与方程单元测试卷（巅峰版）
一、选择题
共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．函数的零点个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．函数的零点个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
3．(2018全国卷Ⅰ)已知函数．若存在2个零点，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知函数有唯一零点，则=（
）
A．
B．
C．
D．1
5.设是连续的偶函数，且当时，是单调函数，则满足的所有之和为（
）
A.
B.
C.
D.
6.
已知定义在上的奇函数，满足当时，则关于的方程满足（
）
对任意,恰有一解
对任意,恰有两个不同解
存在,有三个不同解
存在,无解
7.已知分别是定义在上的奇函数和偶函数，且.若存在，使得等式成立，则实数的取值范围是（
）
8.函数是定义在上的奇函数，当时，，则方程在上的所有实根之和为（
）
9．已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围为（
）
10．不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
11.函数是定义在上的奇函数，当时，，则方程在上的所有实根之和为（
）
12．已知函数=（,且）在R上单调递减，且关于
的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是（
）
A．(0，]
B．[，]
C．[，]{}
D．[，）{}
填空题
共4小题，每小题5分，共20分。
13.不等式的解集为
.
14．已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，
则的取值范围是
．
15．对于实数和，定义运算“
”：
设=，且关于的方
程为（∈R）恰有三个互不相等的实数根，则的取值范围是____________．
16．不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是____________
三、解答题
共6小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17．（2019·全国高一课时练）已知函数.
（1）做出函数图象；
（2）说明函数的单调区间（不需要证明）；
（3）若函数的图象与函数的图象有四个交点，求实数的取值范围.
18．定义在上的函数满足对于任意实数，都有，且当时，，．
（1）判断的奇偶性并证明；
（2）判断的单调性，并求当时，的最大值及最小值；
（3）解关于的不等式.
19．经过市场调查，某种商品在销售中有如下关系；第天的销售价格（单位：元/件）为，第天的销售量（单位：件）为（为常数），且在第天该商品的销售收人为元（销售收入=销售价格×销售量）．
（1）求的值，并求第天该商品的销售收入；
（2）求在这天中，该商品日销售收入的最大值．
20．（2019·江西省宜丰中学高一月考）设函数．
（1）若是偶函数，求的值；
（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围；
（3）设函数，若在有零点，求实数的取值范围．
21.已知函数，
(1)当时，求f(x)在区间[1,6]上最大值和最小值；
（2）如果方程f(x)=0有三个不相等的实数解，求的取值范围.
22.
设是实数，函数．
（1）求证：函数不是奇函数；
（2）当时，求满足的的取值范围；
（3）求函数的值域（用表示）．
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第三章
函数与方程单元测试卷（巅峰版）
一、选择题
共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．函数的零点个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】．B
【解析】令，可得，由图象法可知有两个零点．
2．函数的零点个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】．B
【解析】因为在内单调递增，又，
所以在内存在唯一的零点．
3．(2018全国卷Ⅰ)已知函数．若存在2个零点，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】函数存在
2个零点，即关于的方程有2
个不同的实根，即
函数的图象与直线有2个交点，作出直线与函数的图象，如图所示，
由图可知，，解得，故选C．
4．已知函数有唯一零点，则=（
）
A．
B．
C．
D．1
【答案】C
【解析】令，则方程有唯一解，
设，，则与有唯一交点，
又，当且仅当时取得最小值2．
而，此时时取得最大值1，
有唯一的交点，则．选C．??
5.设是连续的偶函数，且当时，是单调函数，则满足的所有之和为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】：C
【解析】由，是连续的偶函数且是单调函数，或，整理得或，故，，故满足的所有之和为
6.
已知定义在上的奇函数，满足当时，则关于的方程满足（
）
对任意,恰有一解
对任意,恰有两个不同解
存在,有三个不同解
存在,无解
【答案】：
【解析】：
当时，，.
，时，；当时，；
在上递减，在上递增，，在上递增.
所以时，时，
又在上的奇函数，其图象关于原点对称，结合图象知，对任意,方程都恰有一解.故选A.
【点评】:
先通过研究函数在上的单调性，再根据奇偶性得函数图象的对称性，最后结合图象可得.
7.已知分别是定义在上的奇函数和偶函数，且.若存在，使得等式成立，则实数的取值范围是（
）
【答案】B
【解析】：为定义在上的奇函数，为定义在上的偶函数.
..
又由，结合.
,，等式，化简为.
,令，则，因此将上面等式整理，得：.
，存在，使得等式成立，
【点评】:
先根据函数奇偶性定义，解出奇函数和偶函数的表达式，代入等式.
令，则，通过变形可得，讨论右边在的最大值，可以得出实数的取值范围.
8.函数是定义在上的奇函数，当时，，则方程在上的所有实根之和为（
）
【答案】：C
【解析】：函数是定义在上的奇函数，在其定义域上也是奇函数.方程在
上的所有实根之和为0，故问题转化为求方程在上的所有实根之和.
当时，，故，而，故当时，方程成立；可判断当时，恒成立，故方程无解.故方程在上的所有实根之和为
【点评:】
由奇函数可将问题转化为求方程在上的所有实根之和，从而解得.
9．已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围为（
）
【答案】D
【解析】由题，作出与的图像，由有四个解，那么，如图，易知关于对称，即，令，解得，即互为倒数，由，得，故，易知所求在为减函数，解得，故选。
10．不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】
C
【解析】令，则，
所以不等式对于任意恒成立，
即，设，显然在上单调递减，在上单调递增，
则在上单调递减，在上单调递增，又，而当，，
所以.
11.函数是定义在上的奇函数，当时，，则方程在上的所有实根之和为（
）
【答案】：C
【解析】：函数是定义在上的奇函数，在其定义域上也是奇函数.方程在
上的所有实根之和为0，故问题转化为求方程在上的所有实根之和.
当时，，故，而，故当时，方程成立；可判断当时，恒成立，故方程无解.故方程在上的所有实根之和为
【点评:】
由奇函数可将问题转化为求方程在上的所有实根之和，从而解得.
12．已知函数=（,且）在R上单调递减，且关于
的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是（
）
A．(0，]
B．[，]
C．[，]{}
D．[，）{}
【答案】C
【解析】当时，单调递减，必须满足，故，此时函数在上
单调递减，若在上单调递减，还需，即，所以．当时，函数
的图象和直线只有一个公共点，即当时，方程只有一个实数解．因此，只需
当时，方程只有一个实数解，根据已知条件可得，当时，方程
，即在上恰有唯一的实数解．判别式，当时，，此时满足题意；令，由题意得，即，即时，方程有一个正根、一个负根，满足要求；当，即时，方程有一个为0、一个根为，满足要求；当，即，即时对称轴，此时方程有两个负根，不满足要求；综上实数的取值范围是．
填空题
共4小题，每小题5分，共20分。
13.不等式的解集为
.
【答案】：.
【解析】：令，则原式可化为
14．已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，
则的取值范围是
．
【答案】
【解析】当时，由，得；
当时，由，得．
令，作出直线，，
函数的图象如图所示，
的最大值为，由图象可知，若恰有2个互异的实数解，则，得．
15．对于实数和，定义运算“
”：
设=，且关于的方
程为（∈R）恰有三个互不相等的实数根，则的取值范围是____________．
【答案】
【解析】由定义运算“
”可知
=，如图可知满足题意的的范围是，
16．不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是____________
【答案】
【解析】令，则，
所以不等式对于任意恒成立，
即，设，显然在上单调递减，在上单调递增，
则在上单调递减，在上单调递增，又，而当，，
所以.
三、解答题
共6小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17．（2019·全国高一课时练）已知函数.
（1）做出函数图象；
（2）说明函数的单调区间（不需要证明）；
（3）若函数的图象与函数的图象有四个交点，求实数的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】（1）如图：
（2）函数的单调递增区间为；单调递减区间为.
（3）根据图象易得：使得y=m和有4个交点即可.故
18．定义在上的函数满足对于任意实数，都有，且当时，，．
（1）判断的奇偶性并证明；
（2）判断的单调性，并求当时，的最大值及最小值；
（3）解关于的不等式.
【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）在上是减函数．最大值为6，最小值为-6；
（3）答案不唯一，见解析
【解析】
（1）令，则，即有，
再令，得，则，
故为奇函数；
（2）任取，则．由已知得，
则，
∴，∴在上是减函数．
由于，则，，．由在上是减函数，得到当时，的最大值为，最小值为；
（3）不等式，即为.
即，即有，
由于在上是减函数，则，即为，
即有，
当时，得解集为；
当时，即有，
①时，，此时解集为，
②当时，，此时解集为，
当时，即有，
①当时，，此时解集为，
②当时，，此时解集为．
19．经过市场调查，某种商品在销售中有如下关系；第天的销售价格（单位：元/件）为，第天的销售量（单位：件）为（为常数），且在第天该商品的销售收人为元（销售收入=销售价格×销售量）．
（1）求的值，并求第天该商品的销售收入；
（2）求在这天中，该商品日销售收入的最大值．
【答案】（1）,元；（2）元.
【解析】
（1）当时，由，
解得．
从而可得（元），
即第天该商品的销售收入为元．
（2）由题意可知，
即
当时，，
故当时取最大值，，
当时，，
故当时，该商品日销售收入最大，最大值为元
20．（2019·江西省宜丰中学高一月考）设函数．
（1）若是偶函数，求的值；
（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围；
（3）设函数，若在有零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】
【分析】（1）由偶函数的定义，作差变形后可求出实数的值；
（2）由已知代入可得，不等式两边同时除以可得出，换元，可得出，利用二次函数的单调性求出函数在区间上的最大值，即可得出实数的取值范围；
（3）求出，换元，由此可得出函数在上有零点，利用参变量分离法得出，利用单调性求出函数在区间上的值域，即可得出实数的取值范围.
【详解】（1）若是偶函数，则，即
即，则，即；
（2），即，即，
则，设，，.
设，则，
则函数在区间上为增函数，
当时，函数取得最大值，.
因此，实数的取值范围是；
（3），则，
则，
设，当时，函数为增函数，则，
若在有零点，即在上有解，即，即，
函数在上单调递增，则，即.，因此，实数的取值范围是.
21.已知函数，
(1)当时，求f(x)在区间[1,6]上最大值和最小值；
（2）如果方程f(x)=0有三个不相等的实数解，求的取值范围.
【答案】（1）最大值为，最小值为.（2）.
【解析】（1）因为，则
所以，
当时，函数为单调递增函数，所以，；
当时，函数是先减后增的函数，所以，，
所以函数的最大值为，最小值为.
（2）设，则方程，等价于有三个实数根，
此时，
①若，因为方程有三个不相等的实根，
故时，方程有两个不相等的实根，
时，方程有一个不相等的实根，
所以，解得，
不妨设，则，
所以，
所以的取值范围是；
②若，当时，方程的判别式小于，
不符合题意；
③若时，显然不合题意，
故的取值范围是.
22.
设是实数，函数．
（1）求证：函数不是奇函数；
（2）当时，求满足的的取值范围；
（3）求函数的值域（用表示）．
【答案】（1）略；（2）（3）略.
【解析】（1）证明：由定义域为，又，故不是奇函数．
（2）由，当时，，由，即，
即，又，即，即，
①，即时，恒成立.
②若，即时，由，得，故的取值范围为；
（3）令，则原函数为，
①若，则在上为增函数，，故的值域为.
②若，则，
当时，，若，则在上为减函数，
则的值域为，若时，，当时，的值域为，
当时，的值域为.
当时，，显然在上为增函数，则的值域为.
综上所述，当时，函数的值域为；
当时，函数的值域为；当时，函数的值域为.
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