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第一章
集合与函数单元测试卷（巅峰版）
一、选择题
共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．设，则下列关系正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2019·唐山一中高一期中）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合B={x|2x+1＞1}，则?BA=（）
A．[3，+∞）
B．（3，+∞）
C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）
D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
3．（2019·苍南县树人中学高一期中）若对任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是
A．
B．
C．
D．
4．（5分）已知集合，集合，若，则的取值范围是
A．
B．，
C．，
D．
5．已知函数y＝f（x）的定义域为[﹣6，1]，则函数g（x）的定义域是（
）
A．（﹣∞．﹣2）∪（﹣2，3]
B．[﹣11，3]
C．[，﹣2]
D．[，﹣2）∪（﹣2，0]
6．已知是定义域为的偶函数，当时，，则的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
7．定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程有且仅有6个不等的实数根，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
8．（5分）（2018秋?会宁县校级期中）已知f（x）则不等式x+（x+2）?f（x+2）≤5的解集是（ ）
A．[﹣2，1]
B．（﹣∞，﹣2]
C．
D．
9．（5分）（2018秋?五华区校级期中）若函数满足对任意实数x1≠x2，都有成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＞1
B．1≤a＜3
C．
D．a＜3
10．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，函数被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，则关于函数有如下四个命题：
①；
②函数是偶函数；
③任取一个不为零的有理数对任意的恒成立；
④存在三个点，使得为等边三角形.
其中真命题的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
（2014北京）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率
与加工时间（单位：分钟）满足函数关系（、、是常数），下图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（
）
A．分钟
B．分钟
C．分钟
D．分钟
12．（2017天津）已知函数设，若关于的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
共4小题，每小题5分，共20分。
13．设是上的偶函数，，且在上是增函数，则的解集是___________
14．某新能源汽车公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2018年（记为第1年）全年投入研发资金5300万元，在此基础上，以后每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金开始超过7000万元的年份是________年．（参考数据：，，）
（2014福建）要制作一个容器为4，高为的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）
16．以表示值域为的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对
于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间．例如，当，
时，，．现有如下命题：
①设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，，”；
②函数的充要条件是有最大值和最小值；
③若函数，的定义域相同，且，，则；
④若函数（，）有最大值，则．
其中的真命题有
．（写出所有真命题的序号）
三、解答题
共6小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17．已知集合.
（1）若A是空集，求的取值范围；
（2）若A中只有一个元素，求的值，并求集合A；
（3）若A中至多有一个元素，求的取值范围
18．定义在上的函数满足对于任意实数，都有，且当时，，．
（1）判断的奇偶性并证明；
（2）判断的单调性，并求当时，的最大值及最小值；
（3）解关于的不等式.
19．经过市场调查，某种商品在销售中有如下关系；第天的销售价格（单位：元/件）为，第天的销售量（单位：件）为（为常数），且在第天该商品的销售收人为元（销售收入=销售价格×销售量）．
（1）求的值，并求第天该商品的销售收入；
（2）求在这天中，该商品日销售收入的最大值．
20．（2018·上海市新川中学高一期中）某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园，公园由长方形的休闲区和环公园人行道（阴影部分）组成．已知休闲区的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米（如图）．
（1）若设休闲区的长和宽的比，求公园所占面积关于的函数的解析式；
（2）要使公园所占面积最小，则休闲区的长和宽该如何设计？
21．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上
班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当中的成员自驾时，自驾群体的
人均通勤时间为（单位：分钟），
而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
(1)当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
(2)求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．
22．（2018北京）设为正整数，集合．对于集合中的任意元素和，记
．
(1)当时，若，，求和的值；
(2)当时，设是的子集，且满足：对于中的任意元素，当相同时，是奇数；当不同时，是偶数．求集合中元素个数的最大值；
(3)给定不小于2的，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素，．写出一个集合，使其元素个数最多，并说明理由．
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第一章
集合与函数单元测试卷（巅峰版）
一、选择题
共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．设，则下列关系正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
由题得，
A.
元素“1”和集合M的关系只能用连接，不能用连接，所以该选项错误；
B.和集合M只能用连接，不能用连接，所以该选项错误；
C.正确；
D.
，显然错误.
故选：C
2．（2019·唐山一中高一期中）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合B={x|2x+1＞1}，则?BA=（）
A．[3，+∞）
B．（3，+∞）
C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）
D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
【答案】A
【解析】因为，，所以；故选A.
3．（2019·苍南县树人中学高一期中）若对任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】对任意实数，不等式恒成立，则，解得，即实数的取值范围是，故选A.
4．（5分）已知集合，集合，若，则的取值范围是
A．
B．，
C．，
D．
【分析】先分别求出集合，，由，能求出的取值范围．
【解答】解：集合，
集合，
，
，解得．
的取值范围是，．
故选：．
【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查交集、子集、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
5．已知函数y＝f（x）的定义域为[﹣6，1]，则函数g（x）的定义域是（
）
A．（﹣∞．﹣2）∪（﹣2，3]
B．[﹣11，3]
C．[，﹣2]
D．[，﹣2）∪（﹣2，0]
【答案】D
【解析】
由题可知，对应的应满足，即
故选：D
6．已知是定义域为的偶函数，当时，，则的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
设，则，
因为当时，，
所以，
因为为偶函数，所以，
因为为偶函数，所以，
则可化为，即，
，
所以，解得：或，
所以不等式的解集是或即
故选：．
7．定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程有且仅有6个不等的实数根，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
当时，，为偶函数
画出函数图像，如图所示：
根据图像知：
当时：无解；
当时：有2个根；
当时：有4个根；
当时：有2个根；
当时：有1个根；
当时：无解；
有且仅有6个不等的实数根
和满足：
或
则满足：
则满足：
综上所述：
故选：
8．（5分）（2018秋?会宁县校级期中）已知f（x）则不等式x+（x+2）?f（x+2）≤5的解集是（ ）
A．[﹣2，1]
B．（﹣∞，﹣2]
C．
D．
【思路分析】由题意可得，①当x+2≥0时，f（x+2）＝1，代入所求不等式可求x，②当x+2＜0即x＜﹣2时，f（x+2）＝﹣1，代入所求不等式可求x，从而可得原不等式的解集
【答案】解：①当x+2≥0时，即x≥﹣2，f（x+2）＝1
由x+（x+2）?f（x+2）≤5可得x+x+2≤5
∴x
即﹣2≤x
当x+2＜0即x＜﹣2时，f（x+2）＝﹣1
由x+（x+2）?f（x+2）≤5可得x﹣（x+2）≤5
即﹣2≤5
∴x＜﹣2
综上，不等式的解集为{x|x}
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次不等式的解法的应用，解题的关键是对已知的x进行分类讨论以确定f（x+2）的解析式
9．（5分）（2018秋?五华区校级期中）若函数满足对任意实数x1≠x2，都有成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＞1
B．1≤a＜3
C．
D．a＜3
【思路分析】可根据对任意实数x1≠x2，都有成立，得出f（x）在R上单调递增，从而得出，解出a的范围即可．
【答案】解：∵对任意实数x1≠x2，都有成立；
∴f（x）在R上是增函数；
∴；
解得．
故选：C．
【点睛】考查增函数的定义，以及一次函数和二次函数的单调性，分段函数的单调性．
10．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，函数被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，则关于函数有如下四个命题：
①；
②函数是偶函数；
③任取一个不为零的有理数对任意的恒成立；
④存在三个点，使得为等边三角形.
其中真命题的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】
对于①，当为有理数时，，，故①是假命题.
对于②，若，则；若，则，所以，无论是有理数或者无理数，都有，也即函数为偶函数，故②是真命题.
对于③，当为有理数时，为有理数，满足；当为无理数时，为无理数，满足，故③是真命题.
对于④，，使三角形为等边三角形，故④是真命题.
综上所述，真命题的个数是个.
故选：C
（2014北京）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率
与加工时间（单位：分钟）满足函数关系（、、是常数），下图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（
）
A．分钟
B．分钟
C．分钟
D．分钟
【答案】B
【解析】由题意可知过点（3，0.7），（4，0.8）（5，0.5），代入
中可解得，∴
，∴当分钟时，可食用率最大．
12．（2017天津）已知函数设，若关于的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】解法一
根据题意，作出的大致图象，如图所示
当时，若要恒成立，结合图象，只需，即，故对于方程，，解得；当时，若要恒成立，结合图象，只需，即，又，当且仅当，即时等号成立，所以，综上，的取值范围是．选A．
解法二
由题意的最小值为，此时．不等式在R上恒成立等价于在R上恒成立．
当时，令，，不符合，排除C、D；
当时，令，，不符合，排除B．选A．
二、填空题
共4小题，每小题5分，共20分。
13．设是上的偶函数，，且在上是增函数，则的解集是___________
【答案】
【解析】
由于是上的偶函数，，且在上是增函数，故，且在上单调递减.画出的大致图像如下图所示，由图可知，使，也即自变量与对应的函数值同号的的取值范围是.
故答案为：
14．某新能源汽车公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2018年（记为第1年）全年投入研发资金5300万元，在此基础上，以后每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金开始超过7000万元的年份是________年．（参考数据：，，）
【答案】2023
【解析】
设从第年开始超过7000万元，则，
即，
，
取，又，
所以开始超过7000万元的年份是2023年．
（2014福建）要制作一个容器为4，高为的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）
【答案】160
【解析】设该容器的总造价为元，长方体的底面矩形的长，因为无盖长方体的容积为，高为，所以长方体的底面矩形的宽为，依题意，得
16．以表示值域为的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对
于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间．例如，当，
时，，．现有如下命题：
①设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，，”；
②函数的充要条件是有最大值和最小值；
③若函数，的定义域相同，且，，则；
④若函数（，）有最大值，则．
其中的真命题有
．（写出所有真命题的序号）
【答案】①③④
【解析】对于①，根据题中定义，函数，的值域为，由函数值域的概念知，函数，的值域为
，所以①正确；对于②，例如函数的值域包含于区间，所以，但有最大值l，没有最小值，所以②错误；对于③，若
，则存在一个正数，使得函数的值域包含于区间，所以，由知，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间，所以，亦有
，两式相加得≤≤，于是，与已知“.”矛盾，故，即③正确；对于④，如果，
那么，如果，那么，所以有最大值，必须，此时在区间上，有，
所以，即④正确，故填①③④．
三、解答题
共6小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17．已知集合.
（1）若A是空集，求的取值范围；
（2）若A中只有一个元素，求的值，并求集合A；
（3）若A中至多有一个元素，求的取值范围
【答案】（1）；（2）当时，；当时，；（3）
【解析】
（1）若A是空集，
则方程ax2﹣3x+2＝0无解
此时
△＝9﹣8a＜0
即a
2）若A中只有一个元素
则方程ax2﹣3x+2＝0有且只有一个实根
当a＝0时方程为一元一次方程，满足条件
当a≠0，此时△＝9﹣8a＝0，解得：a
∴a＝0或a
若a＝0，则有A＝{}；若a，则有A＝{}；
3）若A中至多只有一个元素，
则A为空集，或有且只有一个元素
由（1），（2）得满足条件的a的取值范围是：a＝0或a
18．定义在上的函数满足对于任意实数，都有，且当时，，．
（1）判断的奇偶性并证明；
（2）判断的单调性，并求当时，的最大值及最小值；
（3）解关于的不等式.
【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）在上是减函数．最大值为6，最小值为-6；
（3）答案不唯一，见解析
【解析】
（1）令，则，即有，
再令，得，则，
故为奇函数；
（2）任取，则．由已知得，
则，
∴，∴在上是减函数．
由于，则，，．由在上是减函数，得到当时，的最大值为，最小值为；
（3）不等式，即为.
即，即有，
由于在上是减函数，则，即为，
即有，
当时，得解集为；
当时，即有，
①时，，此时解集为，
②当时，，此时解集为，
当时，即有，
①当时，，此时解集为，
②当时，，此时解集为．
19．经过市场调查，某种商品在销售中有如下关系；第天的销售价格（单位：元/件）为，第天的销售量（单位：件）为（为常数），且在第天该商品的销售收人为元（销售收入=销售价格×销售量）．
（1）求的值，并求第天该商品的销售收入；
（2）求在这天中，该商品日销售收入的最大值．
【答案】（1）,元；（2）元.
【解析】
（1）当时，由，
解得．
从而可得（元），
即第天该商品的销售收入为元．
（2）由题意可知，
即
当时，，
故当时取最大值，，
当时，，
故当时，该商品日销售收入最大，最大值为元
20．（2018·上海市新川中学高一期中）某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园，公园由长方形的休闲区和环公园人行道（阴影部分）组成．已知休闲区的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米（如图）．
（1）若设休闲区的长和宽的比，求公园所占面积关于的函数的解析式；
（2）要使公园所占面积最小，则休闲区的长和宽该如何设计？
【答案】（1）；（2）长100米、宽为40米.
【解析】
(1)设休闲区的宽为a米，则长为ax米，
由a2x＝4000，得a＝.
则S(x)＝(a＋8)(ax＋20)＝a2x＋(8x＋20)a＋160＝4000＋(8x＋20)·＋160
＝80(2＋)＋4160(x>1)．
(2)80(2＋)＋4160≥80×2＋4160＝1600＋4160＝5760.
当且仅当2＝，即x＝2.5时，等号成立，此时a＝40，ax＝100.
所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米．
21．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上
班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当中的成员自驾时，自驾群体的
人均通勤时间为（单位：分钟），
而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
(1)当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
(2)求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．
【解析】(1)当时，恒成立，公交群体的人均通勤时间不可能少于自驾群体的人
均通勤时间；当时，若，即，解得（舍）或；
∴当时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；
(2)设该地上班族总人数为，则自驾人数为，乘公交人数为．
因此人均通勤时间，整理得：，
则当，即时，单调递减；
当时，单调递增．
实际意义：当有的上班族采用自驾方式时，上班族整体的人均通勤时间最短．
适当的增加自驾比例，可以充分的利用道路交通，实现整体效率提升；但自驾人数过多，则容易导致交通拥堵，使得整体效率下降．
22．（2018北京）设为正整数，集合．对于集合中的任意元素和，记
．
(1)当时，若，，求和的值；
(2)当时，设是的子集，且满足：对于中的任意元素，当相同时，是奇数；当不同时，是偶数．求集合中元素个数的最大值；
(3)给定不小于2的，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素，．写出一个集合，使其元素个数最多，并说明理由．
【解析】(1)因为，，所以
，
．
(2)设，则．
由题意知，，，∈{0，1}，且为奇数，
所以，，，中1的个数为1或3．
所以B{(1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，0)，(0，0，0，1)，(0，1，1，1)，(1，0，1，1)，(1，1，0，1)，(1，1，1，0)}．
将上述集合中的元素分成如下四组：
（1，0，0，0)，(1，1，1，0)；(0，1，0，0)，(1，1，0，1)；(0，0，1，0)，(1，0，1，1)；(0，0，0，1)，(0，1，1，1)．
经验证，对于每组中两个元素，，均有．
所以每组中的两个元素不可能同时是集合的元素．
所以集合中元素的个数不超过4．
又集合{(1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，0)，(0，0，0，1)}满足条件，
所以集合中元素个数的最大值为4．
(3)设，
，
则．
对于（）中的不同元素，，经验证，．
所以（）中的两个元素不可能同时是集合的元素．
所以中元素的个数不超过．
取且（）．
令，则集合的元素个数为，且满足条件．
故是一个满足条件且元素个数最多的集合．
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