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第一章
集合与函数单元测试卷（基础版）
一、选择题
共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知全集，集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．设，则f（4）=（
）
A．
B．
C．0
D．8
3．下列函数中，定义域为的单调递减函数是（
）
A．
B．
C．
D．
4．下列各组函数中，表示相同函数的是（
）
A．与
B．与
C．与
D．与
5．（2019·重庆高一期末）函数的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2019·重庆市云阳江口中学校高一月考）股票价格上涨10%称为“涨停”，下跌10%称为“跌停”．某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，这只股票先经历了3次涨停，又经历了3次跌停，则该股民在这支股票上的盈亏情况（不考虑其他费用）为（
）
A．略有盈利
B．略有亏损
C．没有盈利也没有亏损
D．无法判断盈亏情况
7．（2019·赤峰二中高一月考（文））函数的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
8．（5分）（2018秋?定远县期中）已知函数y＝f（x）的图象关于直线x＝﹣1对称，且当x∈（0，+∞）时，有f（x），当x∈（﹣∞，﹣2）时，f（x）的解析式为（ ）
A．f（x）
B．f（x）
C．f（x）
D．f（x）
9．（5分）（2018秋?大武口区校级月考）设P，Q是两个集合，定义集合P﹣Q＝{x|x∈P，x?Q}为P，Q的“差集”，已知，Q＝{x||x﹣2|＜1}，那么Q﹣P等于（ ）
A．{x|0＜x＜1}
B．{x|0＜x≤1}
C．{x|1≤x＜2}
D．{x|2≤x＜3}
10．（5分）（2019秋?安阳期中）已知函数f（x）的值域为，则函数的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（5分）（2019秋?江西期末）若函数y＝f（x）的值域为[，3]，则函数F（x）＝f（x﹣1）的值域是（ ）
A．[，3]
B．[2，]
C．[，]
D．[3，]
12．（5分）（2019秋?钦南区校级月考）对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”，法则如下：当m，n都是正奇数时，m※n＝m+n；当m，n不全为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合M＝{（a，b）|a※b＝16，a∈N
，b∈N
}的真子集的个数是（ ）
A．27﹣1
B．211﹣1
C．213﹣1
D．214﹣1
填空题
共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知，则_________
14．（5分）（2019春?海安县校级月考）已知函数f（x）的定义域为（﹣2，2），函数g（x）＝f（x﹣1）+f（3﹣2x）的定义域为
．
15．（5分）（2019秋?盐湖区校级期中）已知函数f（x）为R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x（1），当x＜0时，f（x）＝
．
16．（5分）函数y的定义域为R，则a的取值范围是
．
三、解答题
共6小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17．（12分）（2019春?福州期中）已知关于x的不等式[ax﹣（a﹣2）]?（x+1）＞0的解集为集合P．
（1）当a＞0时，求集合P；
（2）若{x|﹣3＜x＜﹣1}?P，求实数a的取值范围．
18．（2019·赤峰二中高一月考）
已知函数
，
（Ⅰ）
证明f（x）在[1，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）
求f（x）在[1，4]上的最大值及最小值．
19．已知集合，.
（1）若，求；
（2）若，，求的取值范围.
20．已知函数．
（1）求f[f（1）]的值；
（2）若f（x）＞1，求x的取值范围；
（3）判断函数在（-2，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．
21．（12分）（2019秋?西岗区校级期中）已知函数f（x）＝x（x≠0）
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）求证：函数f（x）在（0，+∞）为单调增函数；
（Ⅲ）求满足f（x）＞0的x的取值范围．
22．（2019·浙江诸暨中学高一期中）已知函数．
（1）求证：函数的图象与轴恒有公共点；
（2）当时，求函数的定义域.
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第一章
集合与函数单元测试卷（基础版）
一、选择题
共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知全集，集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】集合，∴.故选：B.
2．设，则f（4）=（
）
A．
B．
C．0
D．8
【答案】B
【解析】∵，∴f（4）=-3+log24=-1．故选：B．
3．下列函数中，定义域为的单调递减函数是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
在上先增后减，不是单调函数，∴该选项错误；
B．的定义域是，不是，∴该选项错误；
C．在上先减后增，不是单调函数，∴该选项错误；
D．的定义域为且单调递减，∴该选项正确．
故选：D．
4．下列各组函数中，表示相同函数的是（
）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】B
【解析】
选项A中，，函数的定义域为，两个函数的定义域不相同，不是相同函数；
选项B中，，两个函数的定义域和对应法则相同，是相同函数；
选项C中，由得或；由得，得，两个函数的定义域不相同，不是相同函数；
选项D中，的定义域为，两个函数的定义域不相同，不是相同函数．
故选：B．
5．（2019·重庆高一期末）函数的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意得
6．（2019·重庆市云阳江口中学校高一月考）股票价格上涨10%称为“涨停”，下跌10%称为“跌停”．某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，这只股票先经历了3次涨停，又经历了3次跌停，则该股民在这支股票上的盈亏情况（不考虑其他费用）为（
）
A．略有盈利
B．略有亏损
C．没有盈利也没有亏损
D．无法判断盈亏情况
【答案】B
【解析】由题意可得：（1+10%）3（1﹣10%）3＝0.993≈0.97＜1．
因此该股民这只股票的盈亏情况为：略有亏损．故选：B．
7．（2019·赤峰二中高一月考（文））函数的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】欲使函数有意义则，所以
的定义域为
，故选C.
8．（5分）（2018秋?定远县期中）已知函数y＝f（x）的图象关于直线x＝﹣1对称，且当x∈（0，+∞）时，有f（x），当x∈（﹣∞，﹣2）时，f（x）的解析式为（ ）
A．f（x）
B．f（x）
C．f（x）
D．f（x）
【思路分析】画出满足条件的函数的图象，集合图象求出函数的解析式即可．
【答案】解：如图示：
，
显然f（x），关于x＝﹣1对称的f（x）的解析式是f（x），
故选：D．
【点睛】本题考查了求函数的解析式问题，考查数形结合思想，是一道基础题．
9．（5分）（2018秋?大武口区校级月考）设P，Q是两个集合，定义集合P﹣Q＝{x|x∈P，x?Q}为P，Q的“差集”，已知，Q＝{x||x﹣2|＜1}，那么Q﹣P等于（ ）
A．{x|0＜x＜1}
B．{x|0＜x≤1}
C．{x|1≤x＜2}
D．{x|2≤x＜3}
【思路分析】先解出集合P，Q，根据集合P﹣Q的定义即可求出Q﹣P．
【答案】解：解得，0＜x＜2；
∴P＝{x|0＜x＜2}，且Q＝{x|1＜x＜3}；
∴Q﹣P＝{x∈Q，x?P}＝{x|2≤x＜3}．
故选：D．
【点睛】考查对差集定义的理解，描述法表示集合的定义及表示形式，元素与集合的关系．
10．（5分）（2019秋?安阳期中）已知函数f（x）的值域为，则函数的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【思路分析】利用换元法转化为二次函数问题即可求解值域．
【答案】解：设，则f（x），
f（x）∈，
∴2≥t．
则，
函数g（t）的对称轴t＝1，
当t＝1时，g（t）取得最大值为1，
当t＝2时，g（t）取得最小值为，
∴函数的值域是[，1]
故选：B．
【点睛】本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．
11．（5分）（2019秋?江西期末）若函数y＝f（x）的值域为[，3]，则函数F（x）＝f（x﹣1）的值域是（ ）
A．[，3]
B．[2，]
C．[，]
D．[3，]
【思路分析】由函数y＝f（x）的值域为[，3]，可知f（x﹣1）∈[，3]，换元后利用“对勾”函数的单调性求得答案．
【答案】解：∵y＝f（x）的值域为[，3]，
∴t＝f（x﹣1）∈[，3]，
g（t）＝F（x）＝f（x﹣1）在[，1]上为减函数，在[1，3]上为增函数，
又g（）2，g（1）＝2，g（3）＝3．
∴函数F（x）＝f（x﹣1）的值域是[2，]．
故选：B．
【点睛】本题考查函数的值域的求法，训练了利用函数单调性求函数的值域，是中档题．
12．（5分）（2019秋?钦南区校级月考）对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”，法则如下：当m，n都是正奇数时，m※n＝m+n；当m，n不全为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合M＝{（a，b）|a※b＝16，a∈N
，b∈N
}的真子集的个数是（ ）
A．27﹣1
B．211﹣1
C．213﹣1
D．214﹣1
【思路分析】由所给的定义，对a※b＝16，a∈N
，b∈N
进行分类讨论，分两个数都是正奇数，与两个数不全为正奇数，两类进行讨论，确定出元素的个数即可求出集合M＝{（a，b）|a※b＝16，a∈N
，b∈N
}的真子集的个数．
【答案】解：由题意，当m，n都是正奇数时，m※n＝m+n；当m，n不全为正奇数时，m※n＝mn；
若a，b都是正奇数，则由a※b＝16，可得a+b＝16，此时符合条件的数对为（1，15），（3，13），…（15，1）满足条件的共8个；
若m，n不全为正奇数时，m※n＝mn，由a※b＝16，可得ab＝16，则符合条件的数对分别为（1，16），（2，8），（4，4），（8，2），（16，1）共5个；
故集合M＝{（a，b）|a※b＝16，a∈N
，b∈N
}中的元素个数是13，
所以集合M＝{（a，b）|a※b＝16，a∈N
，b∈N
}的真子集的个数是213﹣1．
故选：C．
【点睛】本题考查元素与集合关系的判断，正确解答本量题的关键是正确理解所给的定义及熟练运用分类讨论的思想进行列举，本题属于基本题，
填空题
共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知，则_________
【答案】
【解析】
令，得，解得．
．
故答案为：．
14．（5分）（2019春?海安县校级月考）已知函数f（x）的定义域为（﹣2，2），函数g（x）＝f（x﹣1）+f（3﹣2x）的定义域为 （，） ．
【思路分析】利用复合函数的定义域求法，结合函数f（x）的定义域为（﹣2，2），求g（x）的定义域即可．
【答案】解：∵函数f（x）的定义域为（﹣2，2），
要使函数g（x）＝f（x﹣1）+f（3﹣2x）的解析式有意义，
则，
解得：．
∴函数g（x）的定义域为（，）．
故答案为：（，）．
【点睛】本题主要考查复合函数定义域的求法，要求熟练掌握复合函数变量之间的关系即可，是基础题．
15．（5分）（2019秋?盐湖区校级期中）已知函数f（x）为R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x（1），当x＜0时，f（x）＝ ．
【思路分析】利用f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）＝x（1），即可求解当x＜0时的解析式．
【答案】解：函数f（x）为R上的奇函数，即f（﹣x）＝﹣f（x）
当x≥0时，f（x）＝x（1），
那么当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x），
由f（﹣x）＝﹣f（x）
可得f（x）
故答案为：
【点睛】本题考查了函数解析式的求法，利用了函数是奇函数的性质，属于基础题．
16．（5分）函数y的定义域为R，则a的取值范围是 [，+∞） ．
【思路分析】根据函数的定义域为R，建立条件即可得到结论．
【答案】解：∵函数y的定义域为R，
∴等价为ax2+（1﹣2a）x+a+1≥0恒成立，
若a＝0，则不等式等价为x≥﹣1，此时不满足条件．
若a≠0，要满足条件，则，
即，解得a，
故答案为：[，+∞）
【点睛】本题主要考查函数定义域的应用，根据一元二次不等式恒成立的性质是解决本题的关键．
三、解答题
共6小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17．（12分）（2019春?福州期中）已知关于x的不等式[ax﹣（a﹣2）]?（x+1）＞0的解集为集合P．
（1）当a＞0时，求集合P；
（2）若{x|﹣3＜x＜﹣1}?P，求实数a的取值范围．
【思路分析】本题考查的是集合元素的分布以及集合与集合间的运算问题．（1）当a＞0时，在解答时可先讨论a，根据[ax﹣（a﹣2）]?（x+1）＞0求解集合P，（2）若{x|﹣3＜x＜﹣1}?P，由集合间的关系讨论a解得a的范围即可．
【答案】解：（1）当a＞0时，
关于x的一元二次方程[ax﹣（a﹣2）]?（x+1）＝0的根为x1，x2＝﹣1，
当1，即：a＞1时，解得：x
或
x＜﹣1，
当
1，即：a＝1时，解得：x≠﹣1，
当1，即：0＜a＜1时，解得：x
或
x＞﹣1，
故答案为：
当a＞1时，解得：P＝{x|x＜﹣1
或x}
当
a＝1时，解得：P＝{x|x≠﹣1}，
当0＜a＜1时，解得：P＝{x|x
或
x＞﹣1}，
（2）方法一：
当
a＝0时，原不等式可化为2（x+1）＞0，解得：x＞﹣1，即：P＝{x|x＞﹣1}，
当
a＜0时，解得：﹣1＜x，即：P＝{x|﹣1＜x}，
当0＜a＜1时，解得：x
或
x＞﹣1，即：P＝{x|x
或
x＞﹣1}，
当a＞1时，解得：P＝{x|x＜﹣1
或x}
当
a＝1时，解得：P＝{x|x≠﹣1}，
∵{x|﹣3＜x＜﹣1}?P，
则：a≥1成立；
∴实数a的取值范围为：[1，+∞）．
方法二：
∵{x|﹣3＜x＜﹣1}?P
则当x∈{x|﹣3＜x＜﹣1}时，原不等式可化为ax﹣（a﹣2）＜0恒成立，
解得：a≥1
∴实数a的取值范围为：[1，+∞）．
【点睛】本题考查的是集合元素的分布以及集合与集合间的运算问题．在解答的过程中要仔细体会集合运算的特点、几何元素的特点、分类讨论的思想以及问题转化的思想在题目当中的应用．此题属于集运算与不等式于一体的综合问题，值得同学们认真反思和归纳，属于中档题．
18．（2019·赤峰二中高一月考）
已知函数
，
（Ⅰ）
证明f（x）在[1，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）
求f（x）在[1，4]上的最大值及最小值．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】：(Ⅰ)
设，且,则
∴ ∴，∴
∴ ∴，即
∴在上是增函数.
(Ⅱ)
由(Ⅰ)可知在上是增函数
∴当时，
∴当时，
综上所述，在上的最大值为，最小值为.
19．已知集合，.
（1）若，求；
（2）若，，求的取值范围.
【答案】（1）;（2）.
【解析】
（1）由，解得,所以集合,当时，集合,所以.
（2）,因为，所以,所以.
20．已知函数．
（1）求f[f（1）]的值；
（2）若f（x）＞1，求x的取值范围；
（3）判断函数在（-2，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．
【答案】（1）
（2）（-∞，-2）
（3）增函数，证明见解析
【解析】
（1）f[f（1）]=；
（2）由f（x）＞1得，，化简得，，
∴x＜-2，
∴x的取值范围为（-∞，-2）；
（3），f（x）在（-2，+∞）上是增函数，证明如下：
设x1＞x2＞-2，则：=，
∵x1＞x2＞-2，
∴x1-x2＞0，x1+2＞0，x2+2＞0，
∴，
∴f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在（-2，+∞）上是增函数．
21．（12分）（2019秋?西岗区校级期中）已知函数f（x）＝x（x≠0）
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）求证：函数f（x）在（0，+∞）为单调增函数；
（Ⅲ）求满足f（x）＞0的x的取值范围．
【思路分析】（Ⅰ）求出定义域为{x|x≠0且x∈R}，关于原点对称，再计算f（﹣x），与f（x）比较即可得到奇偶性；
（Ⅱ）运用单调性的定义，注意作差、变形、定符号、下结论等步骤；
（Ⅲ）讨论x＞0，x＜0，求出f（x）的零点，再由单调性即可解得所求取值范围．
【答案】（Ⅰ）解：定义域为{x|x≠0且x∈R}，关于原点对称，
由于f（﹣x）＝﹣xf（x），
所以f（x）为奇函数；
（Ⅱ）证明：任取，
所以f（x）在（0，+∞）为单调增函数；
（Ⅲ）解：f（x）＝0解得x＝±1，所以零点为±1，
当x＞0时，由（Ⅱ）可得f（x）＞0即f（x）＞f（1）的x的取值范围为（1，+∞），
又该函数为奇函数，所以当x＜0时，由（Ⅱ）可得f（x）＞0即f（x）＞f（﹣1）的x的取值范围为（﹣1，0），
综上：所以解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）．
【点睛】本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性的判断和单调性的判断，考查运算能力，属于中档题和易错题．
22．（2019·浙江诸暨中学高一期中）已知函数．
（1）求证：函数的图象与轴恒有公共点；
（2）当时，求函数的定义域.
【答案】（1）见解析
；
(2)见解析.
【解析】
【分析】（1）将因式分解，可得恒过点；（2）函数的定义域即为不等式的的取值的集合，根据二次函数图象的特点，分情况讨论即可.
【详解】（1）因为，则函数的图象与轴恒有公共点；（2）函数的定义域即为不等式的的取值的集合，由可知二次函数的图象开口向上，此时的图象与轴的交点分别为、，当时，时的取值的集合为；当时，时的取值的集合为；当时，时的取值的集合为.综上所述，当时，函数的定义域为；当时，函数的定义域为；当时，函数的定义域为.
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