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突破1
集合与函数概念的重难点考点与题型突破
一．考纲要求
1.
了解集合的含义、体会集合与元素、集合与集合之间的关系．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．
2．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．在具体情境中，了解全集与空集的含义．
3．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
4．能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.
二．考点分析
1.集合的含义及其表示
⑴.集合中元素的三个特征：
确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．
互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.
无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。
⑵.元素与集合的关系有且只有两种：属于（用符号“”表示）和不属于（用符号“”表示）．
⑶.集合常用的表示方法有三种：列举法、Venn图、描述法．
(4).常见的数集及其表示符号
名称
自然数集(非负整数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
表示符号
N
或
Z
Q
R
集合间的基本关系
性质
符号表示
空集
空集是任何集合的子集
空集是任何非空集合的真子集
相等
集合A与集合B所有元素相同
A=B
子集
集合A中的任何一个元素均是集合B中的元素
真子集
集合A中的任何一个元素均是集合B中的元素,且B中至少有一个元素在A中没有
集合之间的基本运算
符号表示
集合表示
并集
交集
补集
【知识拓展?常用结论】
1.设有限集合A中含有n（）个元素，那么
.集合A的子集个数有个
.集合A的真子集有个
.集合A的非空子集有
.集合A的非空真子集有
2.其他经典结论
,
二、重难点题型分析
考点1
集合的含义与表示
归纳总结：与集合中的元素有关问题的求解策略
(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是其他类型的集合．
(2)看这些元素满足什么限制条件．
(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性．
例1
.(1)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )
A．1
B．3
C．5
D．9
【答案】
C
【解析】因为A＝{0,1,2}，所以B＝{x－y|x∈A，y∈A}＝{0，－1，－2，1,2}．故集合B中有5个元素．
(2)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝( )
A．
B．
C．0
D．0或
【答案】D
【解析】当a＝0时，显然成立；当a≠0时，Δ＝(－3)2－8a＝0，即a＝.故a的值为0或.
【变式训练】(1).已知集合A满足，那么集合A有多少种情况？
(2).【2018全国卷Ⅱ】已知集合，则中元素的个数为( )
A．9
B．8
C．5
D．4
【答案】A
【解析】(方法一)
由知，，．
又，，所以，，
所以中元素的个数为，故选A．
(方法二)
根据集合的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，
易知在圆中有9个整点，即为集合的元素个数，故选A．
(3).已知集合A={0,1,2}，则集合B=中元素的个数是( )
A．1
B．3
C．5
D．9
【答案】C
【解析】；；
．∴中的元素为共5个．
考点2 集合与集合的基本关系
归纳总结：
(1)判断集合间的关系，要注意先对集合进行化简，再进行判断，并且在描述关系时，要尽量精确．
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系(要注意区间端点的取舍)，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
例2.
(1)已知集合A＝{x|y＝ln(x＋3)}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是( )
A．A＝B
B．A∩B＝?
C．A?B
D．B?A
【答案】D
【解析】由x＋3>0得x>－3，所以A＝{x|x>－3}，所以B?A
(2)已知集合A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{x|x≤a}，若A?B，则实数a的取值范围是( )
A．[2，＋∞)
B．(2，＋∞)
C．(－∞，0)
D．(－∞，0]
【答案】A
【解析】A＝{x|0≤x≤2}，由A?B知a≥2即可
【变式训练】（1）已知集合A={x|x2－2x＞0}，B={x|－＜x＜＝，则( )
A．A∩B=
B．A∪B=R
C．B?A
D．A?B
【答案】B
【解析】A=(-,0)∪(2，+)，∴A∪B=R，故选B．
（2）已知集合M＝{x|x＝+，k∈Z}，N＝{x|x＝+，k∈Z}，则（ ）
A．M＝N
B．M?N
C．N?M
D．M∩N＝?
【分析】将集合M，N中的表达式形式改为一致，由N的元素都是M的元素，即可得出结论．
【答案】解：M＝{x|x＝+，k∈Z}＝{x|，k∈Z}，
N＝{x|x＝+，k∈Z}＝{x|，k∈Z}，
∵k+2（k∈Z）为整数，而2k+1（k∈Z）为奇数，
∴集合M、N的关系为N?M．
故选：C．
【点睛】本题考查集合的关系判断，考查学生分析解决问题的能力，属基础题．
考点3 集合的基本运算
归纳总结：
集合基本运算的求解规律
(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借用Venn图求解．
(2)集合中的元素若是连续的实数，常借助数轴求解，但是要注意端点值能否取到的情况．
(3)根据集合运算求参数，先把符号语言译成文字语言，然后灵活应用数形结合求解．
例3
(1)已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由二次根式有意义的条件，可得，解得，
所以.由对数函数的性质可得，
解得，
(2)【2019·黄冈调研】已知函数f(x)＝的定义域为M，g(x)＝ln(1－x)的定义域为N，则M∪(?RN)＝( )
A．{x|x>－1}
B．{x|x≥1}
C．?
D．{x|－1＜x＜1}
【答案】A
【解析】由1－x>0得N＝{x|x<1}，?RN＝{x|x≥1}，而由1－x2>0得M＝{x|－1－1}．
(3)已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝( )
A．0或
B．0或3
C．1或
D．1或3
【答案】B
【解析】因为A∪B＝A，所以B?A，所以m∈A，所以m＝3或m＝，解得m＝0或3.故选B
【变式训练】(1)．【江西省名校（临川一中、南昌二中)2019届高一5月联合考试数学】已知集合
，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为，所以.故选B.
【名师点睛】本题主要考查集合的化简和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
(2)．【福建省龙岩市（漳州市）2019届高一5月月考数学】已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为=，，所以.
故选B.
【名师点睛】本题考查并集其运算，考查了不等式的解法，是基础题．
考点4 集合中的新定义问题
解题技巧：集合中的新定义问题
(1)紧扣“新”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在．
(2)把握“新”性质：用好集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．
(3)遵守“新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算即可．
例4.
(1)【2019·武汉调研】设A，B是两个非空集合，定义集合A－B＝{x|x∈A，且x?B}．若A＝{x∈N|0≤x≤5}，B＝{x|x2－7x＋10＜0}，则A－B＝( )
A．{0,1}
B．{1,2}
C．{0,1,2}
D．{0,1,2,5}
【答案】D
【解析】A＝{0,1,2,3,4,5}，B＝{x|2(2)若对任意的x∈A，有∈A，则称A是“伙伴关系集合”，则集合M＝的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为__________．
【答案】7
【解析】具有伙伴关系的元素组有－1；1；2和共三组，它们中任一组、两组、三组均可组成非空伙伴关系集合，所以非空伙伴关系集合分别为{1}，{－1}，，{－1,1}，，，，共7个．
迁移应用
1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知集合，则=（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意得，
则．
故选C．
【名师点睛】注意区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者所有的部分．
2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设集合A={x|x2–5x+6>0}，B={x|x–1<0}，则A∩B=（
）
A．(–∞，1)
B．(–2，1)
C．(–3，–1)
D．(3，+∞)
【答案】A
【解析】由题意得，或，，则．
故选A．
【名师点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目．
3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】∵∴，∴，
又，∴.
故选A．
【名师点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.
4．【2019年高考天津理数】设集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为，所以.
故选D.
【名师点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．
5．【2019年高考浙江】已知全集，集合，，则=（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】∵，∴.
故选A.
【名师点睛】注意理解补集、交集的运算.
【名师点睛】易出现的错误：一是基本不等式掌握不熟练，导致判断失误；二是不能灵活地应用“赋值法”，通过取的特殊值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.
6．已知集合，，则
▲
.
【答案】
【解析】由题意利用交集的定义求解交集即可.
由题意知，.
【名师点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题.
7．已知集合，则中元素的个数为（
）
A．1
B．5
C．6
D．无数个
【答案】C
【解析】由题得，
所以A中元素的个数为6.
故选C.
【名师点睛】本题主要考查集合的表示和化简，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
8．已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】集合，即，
而，
所以，.
故选C.
【名师点睛】本题考查集合的交集、并集运算，属于简单题.
9．已知集合，，则=（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为集合，，所以.
故选B.
【名师点睛】本题主要考查集合的交集运算，熟记概念即可，属于基础题型.
10．已知全集，集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为＝，
所以或，
表示为区间形式即.
故选A.
【名师点睛】本题主要考查集合的表示方法，补集的定义与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
11．知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为=，，
所以.
故选B.
【名师点睛】本题考查并集其运算，考查了不等式的解法，是基础题．
12．设集合，集合，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为集合，，
所以.
故选B．
【名师点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及集合的并集运算，其中正确求解集合A，熟练应用集合并集的运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
13．已知集合，，若，则
（
）
A．0
B．0或1
C．2
D．0或1或2
【答案】B
【解析】由，可知或，
所以或1.
故选B.
【名师点睛】本小题主要考查子集的概念，考查集合中元素的互异性，属于基础题.
14．已知集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为，
所以.
故选B.
【名师点睛】本题主要考查集合的化简和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
15．已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由二次根式有意义的条件，可得，
解得，
所以.
由对数函数的性质可得，
解得，
所以，
所以.
故选B．
【名师点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质是求满足属于集合且属于集合的元素的集合.
16．设集合，，则集合（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
又，
所以.
故选C．
【名师点睛】本题考查了集合的交集运算、补集运算，正确求出函数的定义域，函数的值域是解题的关键.
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突破1
集合与函数概念的重难点考点与题型突破
一．考纲要求
1.
了解集合的含义、体会集合与元素、集合与集合之间的关系．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．
2．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．在具体情境中，了解全集与空集的含义．
3．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
4．能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.
二．考点分析
1.集合的含义及其表示
⑴.集合中元素的三个特征：
确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．
互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.
无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。
⑵.元素与集合的关系有且只有两种：属于（用符号“”表示）和不属于（用符号“”表示）．
⑶.集合常用的表示方法有三种：列举法、Venn图、描述法．
(4).常见的数集及其表示符号
名称
自然数集(非负整数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
表示符号
N
或
Z
Q
R
集合间的基本关系
性质
符号表示
空集
空集是任何集合的子集
空集是任何非空集合的真子集
相等
集合A与集合B所有元素相同
A=B
子集
集合A中的任何一个元素均是集合B中的元素
真子集
集合A中的任何一个元素均是集合B中的元素,且B中至少有一个元素在A中没有
集合之间的基本运算
符号表示
集合表示
并集
交集
补集
【知识拓展?常用结论】
1.设有限集合A中含有n（）个元素，那么
.集合A的子集个数有个
.集合A的真子集有个
.集合A的非空子集有
.集合A的非空真子集有
2.其他经典结论
,
二、重难点题型分析
考点1
集合的含义与表示
归纳总结：与集合中的元素有关问题的求解策略
(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是其他类型的集合．
(2)看这些元素满足什么限制条件．
(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性．
例1
.(1)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )
A．1
B．3
C．5
D．9
(2)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝( )
A．
B．
C．0
D．0或
【变式训练】(1).已知集合A满足，那么集合A有多少种情况？
(2).【2018全国卷Ⅱ】已知集合，则中元素的个数为( )
A．9
B．8
C．5
D．4
(3).已知集合A={0,1,2}，则集合B=中元素的个数是( )
A．1
B．3
C．5
D．9
考点2 集合与集合的基本关系
归纳总结：
(1)判断集合间的关系，要注意先对集合进行化简，再进行判断，并且在描述关系时，要尽量精确．
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系(要注意区间端点的取舍)，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
例2.
(1)已知集合A＝{x|y＝ln(x＋3)}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是( )
A．A＝B
B．A∩B＝?
C．A?B
D．B?A
(2)已知集合A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{x|x≤a}，若A?B，则实数a的取值范围是( )
A．[2，＋∞)
B．(2，＋∞)
C．(－∞，0)
D．(－∞，0]
【变式训练】（1）已知集合A={x|x2－2x＞0}，B={x|－＜x＜＝，则( )
A．A∩B=
B．A∪B=R
C．B?A
D．A?B
（2）已知集合M＝{x|x＝+，k∈Z}，N＝{x|x＝+，k∈Z}，则（ ）
A．M＝N
B．M?N
C．N?M
D．M∩N＝?
考点3 集合的基本运算
归纳总结：
集合基本运算的求解规律
(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借用Venn图求解．
(2)集合中的元素若是连续的实数，常借助数轴求解，但是要注意端点值能否取到的情况．
(3)根据集合运算求参数，先把符号语言译成文字语言，然后灵活应用数形结合求解．
例3
(1)已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
(2)【2019·黄冈调研】已知函数f(x)＝的定义域为M，g(x)＝ln(1－x)的定义域为N，则M∪(?RN)＝( )
A．{x|x>－1}
B．{x|x≥1}
C．?
D．{x|－1＜x＜1}
(3)已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝( )
A．0或
B．0或3
C．1或
D．1或3
【变式训练】(1)．【江西省名校（临川一中、南昌二中)2019届高一5月联合考试数学】已知集合
，则（
）
A．
B．
C．
D．
(2)．【福建省龙岩市（漳州市）2019届高一5月月考数学】已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
考点4 集合中的新定义问题
解题技巧：集合中的新定义问题
(1)紧扣“新”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在．
(2)把握“新”性质：用好集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．
(3)遵守“新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算即可．
例4.
(1)【2019·武汉调研】设A，B是两个非空集合，定义集合A－B＝{x|x∈A，且x?B}．若A＝{x∈N|0≤x≤5}，B＝{x|x2－7x＋10＜0}，则A－B＝( )
A．{0,1}
B．{1,2}
C．{0,1,2}
D．{0,1,2,5}
(2)若对任意的x∈A，有∈A，则称A是“伙伴关系集合”，则集合M＝的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为__________．
迁移应用
1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知集合，则=（
）
A．
B．
C．
D．
2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设集合A={x|x2–5x+6>0}，B={x|x–1<0}，则A∩B=（
）
A．(–∞，1)
B．(–2，1)
C．(–3，–1)
D．(3，+∞)
3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
4．【2019年高考天津理数】设集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
5．【2019年高考浙江】已知全集，集合，，则=（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知集合，，则
▲
.
7．已知集合，则中元素的个数为（
）
A．1
B．5
C．6
D．无数个
8．已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
9．已知集合，，则=（
）
A．
B．
C．
D．
10．已知全集，集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
11．知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
12．设集合，集合，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
13．已知集合，，若，则
（
）
A．0
B．0或1
C．2
D．0或1或2
14．已知集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
15．已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
16．设集合，，则集合（
）
A．
B．
C．
D．
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