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专题1.2
函数的概念及其表示
一、考情分析
二、题型分析
(一)
函数以及函数图像的判断
例1.(1).设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有（ ）
①
②
③
④
A．①②③④
B．①②③
C．②③
D．②
【思路分析】利用函数的定义域与函数的值域判断函数的图象即可．
【答案】C
【解析】：①图象不满足函数的定义域，不正确；②③满足函数的定义域以及函数的值域，正确；
④不满足函数的定义，故正确答案是C.
(2).已知函数（其中），若的图像如右图所示，则函数的图像大致为（
）
A．B．C．
D．
【答案】A
【解析】根据的图像，得到，，进而可得出结果.
由的图像可知，，，观察图像可知，答案选A．
【点睛】
本题主要考查二次函数图像，指数函数图像，熟记函数性质即可，属于常考题型.
【变式训练1】设集合M＝{x|（x+1）（x﹣3）≤0}，N＝{y|y（y﹣3）≤0}，函数f（x）的定义域为M，值域为N，则函数f（x）的图象可以是（ ）
B．
C．
D．
【思路分析】可用排除法根据函数定义域、值域以及函数概念进行逐一验证可得答案．
【答案】解：M＝{x|（x+1）（x﹣3）≤0}＝[﹣1，3]，N＝{y|y（y﹣3）≤0}＝[0，3]
项定义域为，，项值域是，，项对任一都有两个与之对应，都不符．
故选：．
【变式训练2】下列对应是从集合到的函数的是
A．，，对应关系：“求平方根”
B．，，对应关系
C．，，，对应关系
D．，，对应关系
【思路分析】若中任一元素在中都有唯一元素对应，则该对应是函数；进而得到答案．
【答案】，，对应关系：“求平方根”，则中正元素在中都有两个元素对应，不是函数；
，，对应关系，则中元素3在中没有元素对应，不是函数；
，，，对应关系，则中任一元素在中都有唯一元素对应，是函数；
，，对应关系则中元素1在中没有元素对应，不是函数；
故选：．
(二)
同一函数的判断
例2.下列选项中，表示的是同一函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】利用同一函数的定义对每一选项的函数分析得解.
A.
函数定义域为R，函数的定义域为,两个函数的定义域不同，所以它们不是同一函数；
B.
两函数的定义域相同，但是对应关系不同，所以它们不是同一函数；
C.
函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以它们不是同一函数；
D.
两函数的定义域都是R,函数，所以两函数的对应关系相同，所以两函数是同一函数.故选：D
【变式训练1】下列函数中，是同一函数的是（
）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】D
【解析】逐一考查所给函数的性质：
A．与函数对应关系不一致，不是同一个函数；
B．两函数的对应关系不一致，不是同一个函数；
C．函数的定义域为，函数的定义域为R，不是同一个函数；
D．函数与定义域和对应关系都相同，是同一个函数.
本题选择D选项.
【点睛】：判断两个函数是否为相同函数．一是定义域是否相同，二是对应关系即解析式是否相同(注意解析式可以等价化简).
【变式训练2】函数f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），则实数a的取值范围是(
)
A．（﹣∞，+∞）
B．[0，）
C．（，+∞）
D．[0，]
【答案】B
【解析】由题意可得ax2+4ax+3≠0恒成立，讨论a为0和不为0，判别式小于0，解不等式即可得到所求范围．函数f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），
可得ax2+4ax+3≠0恒成立，当a＝0时，3≠0恒成立；
当a≠0时，△＜0，即16a2﹣12a＜0，解得0＜a．
综上可得a的范围是[0，）．
故答案为B．
(三)
求函数的定义域
例3.若函数的定义域是[0，4]，则函数的定义域是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】先根据抽象函数的定义域，求出的定义域，结合分式，可得选项.
因为的定义域是[0，4]，所以，即；由于，所以，故选：C.
【点睛】
本题主要考查函数定义域的求解，抽象函数的定义域的求解策略是整体代换，侧重考查数学抽象的核心素养.
【变式训练1】．已知函数，则函数的定义域是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】求出函数的解析式，再计算定义域.
，定义域满足：且，即且
故选：C
【变式训练2】．函数的定义域是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题得，解不等式即得函数的定义域.
【详解】
由题得,解之得且.
故选：C
【点睛】
本题主要考查函数定义域的求法，考查对数型函数的定义域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
【变式训练3】．已知函数的定义域为，则的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解不等式即得函数的定义域.
【详解】
由题得，解之得且.
故选：B
【点睛】
本题主要考查复合函数的定义域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
(四)
求函数的值域
例4．已知函数为二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值为12．
（1）求的解析式；
（2）设函数在上的最小值为，求的表达式及的最小值．
【答案】（1）．（2）.最小值
【解析】(1)根据是二次函数，且的解集是可设出的零点式,再根据在区间上的最大值在对称轴处取得为12即可算出对应的参数.
(2)由(1)求得后改写成顶点式,再根据对称轴与区间的位置关系,分情况进行讨论即可.
【详解】
（1）是二次函数，且的解集是，∴可设，
可得在区间在区间上函数是减函数，区间上函数是增函数．
∵，，，
∴在区间上的最大值是，得．
因此，函数的表达式为．
（2）由（1）得，函数图象的开口向上，对称轴为，
①当时，即时，在上单调递减，
此时的最小值；
②当时，在上单调递增，此时的最小值；
③当时，函数在对称轴处取得最小值，此时，，
综上所述，得的表达式为，当，取最小值
【变式训练1】．函数的定义域为，那么其值域为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】分别将定义域中的值代入计算得到答案.
的定义域为，分别将定义域中的值代入计算得到值：
故值域为，故选：A
【变式训练2】．求下列函数的值域：
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
⑺
⑻
⑼
⑽
⑾
(五)
求函数的解析式
例4．已知定义在的一次函数为单调增函数，且值域为．
（1）求的解析式；
（2）求函数的解析式并确定其定义域．
【答案】（1），；（2）；定义域为．
【解析】(1)根据一次函数可设,再根据单调性可知求解即可.
(2)由(1)中算得的即可算得解析式,又的值域满足的定义域可求得.
【详解】
（1）根据题意，为一次函数且在单调增函数，
设，又由其值域为，则有，解可得，
则，；
（2）由（1）的结论，，则；
又由的定义域为，则有，解可得；
则函数的定义域为．
【点睛】
(1)已知函数类型为一次函数可直接设再根据条件列式算.
(2)复合函数中的内函数需满足的定义域
【变式训练1】．⑴已知函数，求函数，的解析式。
⑵已知是二次函数，且，求的解析式。
⑶已知函数满足，则=
。
(六)
分段函数
例6．已知，则_________．
【答案】2
【解析】先求，再求的值得解.由题得，所以.
故答案为：2
【变式训练1】．设
,则(??)
A．10
B．11
C．12
D．13
【答案】B
【解析】根据题中给出的分段函数，只要将问题转化为求x≥10内的函数值，代入即可求出其值．
【详解】
∵f（x），∴f（5）＝f[f（11）]＝f（9）＝f[f（15）]＝f（13）＝11．
故选：B．
【变式训练2】．已知函数满足对任意，都有成立，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】由可知为单调递增函数,故利用分段函数的单调性需要满足的关系式进行列式求解.
【详解】
由可知为单调递增函数,故中
有与均为增函数,且在处的值小于.可得
故答案为：
三、迁移应用
1.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A.
与
B.
与
C.
与
D.
与?
【答案】D
【解析】
A．f（x）=x+1的定义域为R，的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，不是同一函数；
B.的定义域为（0，+∞），g（x）=x的定义域为R，定义域不同，不是同一函数；
C．f（x）=|x|，，解析式不同，不是同一函数；
D．f（x）=x的定义域为R，的定义域为R，定义域和解析式都相同，是同一函数．
故正确答案选：D．
通过求定义域，可以判断选项A，B的两函数都不是同一函数，通过看解析式可以判断选项C的两函数不是同一函数，从而只能选D．
2.某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t（年）的函数关系图象正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
∵前3年年产量的增长速度越来越快，
故函数为增函数，且为凹函数；
又∵后3年年产量保持不变，
故函数图象为平行于x轴的线段，
故选：C．
根据已知，分析函数的单调性和凸凹性，进而得到函数的图象．
本题考查的知识点是函数的图象，难度不大，属于基础题．
3.关于x不等式ax+b＞0（b≠0）的解集不可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
R
【答案】A
【解析】
若a=0，则不等式等价为b＞0，当b＜0时，不等式不成立，此时解集为?，
当a=0，b＞0时，不等式恒成立，解集为R，
当a＞0时，不等式等价为ax＞-b，即x＞-，此时不等式的解集为（-，+∞），
当a＜0时，不等式等价为ax＞-b，即x＜-，此时不等式的解集为（-∞，-），
故不可能的是A，
故选：A．
结合a，b的符号，以及一元一次不等式的解法进行判断即可．
本题主要考查不等关系与不等式的解法，结合一元一次不等式的解法是解决本题的关键．
4.若关于x的不等式ax2+bx+3＞0的解集为，其中a，b为常数，则不等式3x2+bx+a＜0的解集是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
关于x的不等式ax2+bx+3＞0的解集为，则方程ax2+bx+3=0的两实数根为-1和，且a＜0；
由根与系数的关系知，解得a=-6，b=-3，所以不等式3x2+bx+a＜0可化为3x2-3x-6＜0，
即x2-x-2＜0，解得-1＜x＜2，所以所求不等式的解集是（-1，2）．
故选：B．
根据题意利用根与系数的关系求出a、b的值，再化简不等式3x2+bx+a＜0并求出它的解集．
本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．
5.已知集合A={x|≤0}，B={x|2m-1＜x＜m+1}且A∩B=B，则实数m的取值范围为（ ）
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】A={x|≤0}={x|-3＜x≤4}，∵A∩B=B，∴B?A，
若B=?，则2m-1≥m+1，解可得m≥2，
若B≠?，则，解可得，-1≤m＜2，则实数m的取值范围为[-1，+∞）
故选：D．
解不等式可求出A，然后由A∩B=B，可知B?A，分B=?，及B≠?两种情况进行讨论即可求解
本题主要考查了集合之间的包含关系的应用，体现了分类讨论思想的应用．
6.函数值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
当x＜2时，f（x）=（）x-1＞-1=-，
当x=2时，f（x）=0，（x≥2），此时f（x）的值域不是R，
要使函数f（x）的值域是R，
则，得，得≤a＜2，
即实数a的取值范围是[，2），
故选：D．
先求出当x＜2时函数f（x）的范围，结合函数的值域是R，然后确定当x≥2时，函数f（x）满足的条件即可．
本题主要考查函数值域的应用，结合分段函数的解析式，讨论当x≥2时，函数满足的条件是解决本题的关键．
7.已知，则不等式f（x-2）+f（x2-4）＜0的解集为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
根据题意，，
当x＞0时，f（x）=x2+3x，则f（-x）=（-x）2+3（-x）=x2-3x=-f（-x），函数f（x）为奇函数，
又由，则函数f（x）在R上为增函数；
f（x-2）+f（x2-4）＜0?f（x-2）＜-f（x2-4）?f（x-2）＜f（4-x2）?x-2＜4-x2，
则有x2+x-6＜0，解可得：-3＜x＜2，
即不等式的解集为（-3，2）；故选：C．
根据题意，由函数的解析式分析可得f（x）为奇函数且在R上为增函数，据此分析可得f（x-2）+f（x2-4）＜0?x-2＜4-x2，解可得x的取值范围，即可得答案．
本题考查分段函数的奇偶性与单调性，关键是分析函数f（x）的奇偶性以及单调性，属于基础题．
8．某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天，他骑自行车匀速前往旅游，他先前进了，觉得有点累，就休息了一段时间，想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了,
当他记起诗句“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进.
则该同学离起点的距离与时间的函数关系的图象大致为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】分析：本题根据运动变化的规律即可选出答案．依据该同学出门后一系列的动作，匀速前往对应的图象是上升的直线，匀速返回对应的图象是下降的直线，等等，从而选出答案．
解答：解：根据他先前进了akm，得图象是一段上升的直线，
由觉得有点累，就休息了一段时间，得图象是一段平行于t轴的直线，
由想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了bkm（b＜a），得图象是一段下降的直线，
由记起诗句“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进，得图象是一段上升的直线，
综合，得图象是C，
故选C．
点评：本小题主要考查函数的图象、运动变化的规律等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题．
9.若，则
A.
B.
C.
9
D.
【答案】C
【解析】解：，，
．故选：C．
由已知得，从而，由此能求出结果．
本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
10．已知的定义域为，则函数,则的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】，则，即定义域为，故选A。
11．函数的定义域为__________.
【答案】
【解析】函数有意义，则：，求解关于实数的不等式组可得：，
则不等式的解集为：.
12．已知，则_________
【答案】
【解析】先求解，从而可得进而可得结果.
【详解】
因为，所以，
设，则，
所以，
所以，即.故答案为：.
【点睛】
本题主要考查函数的表示方法，观察解析式的特点，利用解析式存在的内在关系求解能简化过程，侧重考查数学运算和逻辑推理的核心素养.
13．经市场调查，某超市的一种商品在过去的一个月内（以30天计算），销售价格与时间（天）的函数关系近似满足，销售量与时间（天）的函数关系近似满足．
（1）试写出该商品日销售金额关于时间的函数表达式；
（2）求该商品的日销售金额的最大值与最小值．
【答案】（1）；（2）当时，最大值为；当时，最小值为
【解析】（1）对分类讨论求出该商品日销售金额关于时间的函数表达式；（2）分别求出分段函数的每一段的最值，再比较即得该商品的日销售金额的最大值与最小值．
【详解】
（1）当时，；
当时，
∴．
（2）①当时，由双勾函数的性质知在上单减，
在区间上单增，．
∴当时，最小值为，当时，最大值为；
②当时，，在单减，则在区间单减，
∴；
综上，当时，最大值为；当时，最小值为
【点睛】
本题主要考查分段函数的解析式的求法，考查分段函数的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
14.设函数，，为常数。
（1）求的最小值的解析式；
（2）求函数的最大值；
（3）是否存在最小的整数，使得对于任意均成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
【解析】：（1）对称轴
①
当时，在上是增函数，时有最小值
②当时，在上是减函数，时有最小值
③当时，在上是不单调，
时有最小值
（2）由题知在是增函数，在是减函数
时，，
（3）存在。恒成立，
为整数，的最小值为
某工厂生产甲、乙两种产品所得利润分别为P和Q（万元），它们与投入资金m（万元）的关系有如下公式：，，今将200万元资金投入生产甲、乙两种产品，并要求对甲、乙两种产品的投入资金都不低于25万元．
（Ⅰ）设对乙种产品投入资金x（万元），求总利润y（万元）关于x的函数关系式及其定义域；
（Ⅱ）如何分配投入资金，才能使总利润最大，并求出最大总利润．
【解析】（Ⅰ）根据题意，对乙种产品投入资金x万元，
对甲种产品投入资金（200-x）万元，那么y=（200-x）+60+70+6
=-x+6+230，由，解得25≤x≤175，
所以函数的定义域为[25，175]；
（Ⅱ）令t=，则?y=-t2+6t+230=-（t-6）2+248，
因为x∈[25，175]，所以t∈[5，5]，
当t∈[5，6]时函数单调递增，当t∈[6，5]时函数单调递减，
所以当t=6时，即x=36时，ymax=248，
答：当甲种产品投入资金164万元，乙种产品投入资金36万元时，总利润最大．
最大总利润为248万元．
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专题1.2
函数的概念及其表示
一、考情分析
二、题型分析
(一)
函数以及函数图像的判断
例1.(1).设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有（ ）
①
②
③
④
A．①②③④
B．①②③
C．②③
D．②
(2).已知函数（其中），若的图像如右图所示，则函数的图像大致为（
）
A．B．C．
D．
【变式训练1】设集合M＝{x|（x+1）（x﹣3）≤0}，N＝{y|y（y﹣3）≤0}，函数f（x）的定义域为M，值域为N，则函数f（x）的图象可以是（ ）
B．
C．
D．
【变式训练2】下列对应是从集合到的函数的是
A．，，对应关系：“求平方根”
B．，，对应关系
C．，，，对应关系
D．，，对应关系
(二)
同一函数的判断
例2.下列选项中，表示的是同一函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1】下列函数中，是同一函数的是（
）
A．与
B．与
C．与
D．与
【变式训练2】函数f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），则实数a的取值范围是(
)
A．（﹣∞，+∞）
B．[0，）
C．（，+∞）
D．[0，]
(三)
求函数的定义域
例3.若函数的定义域是[0，4]，则函数的定义域是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1】．已知函数，则函数的定义域是（）
A.
B.
C.
D.
【变式训练2】．函数的定义域是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3】．已知函数的定义域为，则的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
(四)
求函数的值域
例4．已知函数为二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值为12．
（1）求的解析式；
（2）设函数在上的最小值为，求的表达式及的最小值．
【变式训练1】．函数的定义域为，那么其值域为（
）
A.
B.
C.
D.
【变式训练2】．求下列函数的值域：
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
⑺
⑻
⑼
⑽
⑾
(五)
求函数的解析式
例4．已知定义在的一次函数为单调增函数，且值域为．
（1）求的解析式；
（2）求函数的解析式并确定其定义域．
【变式训练1】．⑴已知函数，求函数，的解析式。
⑵已知是二次函数，且，求的解析式。
⑶已知函数满足，则=
。
(六)
分段函数
例6．已知，则_________．
【变式训练1】．设
,则(??)
A．10
B．11
C．12
D．13
【变式训练2】．已知函数满足对任意，都有成立，则实数的取值范围是________．
三、迁移应用
1.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A.
与
B.
与
C.
与
D.
与?
2.某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t（年）的函数关系图象正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.关于x不等式ax+b＞0（b≠0）的解集不可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
R
4.若关于x的不等式ax2+bx+3＞0的解集为，其中a，b为常数，则不等式3x2+bx+a＜0的解集是（ ）
A.
B.
C.
D.
5.已知集合A={x|≤0}，B={x|2m-1＜x＜m+1}且A∩B=B，则实数m的取值范围为（ ）
B.
C.
D.
6.函数值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
7.已知，则不等式f（x-2）+f（x2-4）＜0的解集为（ ）
A.
B.
C.
D.
8．某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天，他骑自行车匀速前往旅游，他先前进了，觉得有点累，就休息了一段时间，想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了,
当他记起诗句“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进.
则该同学离起点的距离与时间的函数关系的图象大致为（
）
A．
B．
C．
D．
9.若，则
A.
B.
C.
9
D.
10．已知的定义域为，则函数,则的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
11．函数的定义域为__________.
12．已知，则_________
13．经市场调查，某超市的一种商品在过去的一个月内（以30天计算），销售价格与时间（天）的函数关系近似满足，销售量与时间（天）的函数关系近似满足．
（1）试写出该商品日销售金额关于时间的函数表达式；
（2）求该商品的日销售金额的最大值与最小值．
14.设函数，，为常数。
（1）求的最小值的解析式；
（2）求函数的最大值；
（3）是否存在最小的整数，使得对于任意均成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
15.某工厂生产甲、乙两种产品所得利润分别为P和Q（万元），它们与投入资金m（万元）的关系有如下公式：，，今将200万元资金投入生产甲、乙两种产品，并要求对甲、乙两种产品的投入资金都不低于25万元．
（Ⅰ）设对乙种产品投入资金x（万元），求总利润y（万元）关于x的函数关系式及其定义域；
（Ⅱ）如何分配投入资金，才能使总利润最大，并求出最大总利润．
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