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突破1.3
函数的基本性质（单调性与奇偶性）
一、考情分析
重难点突破：
函数的周期性命定义：
对于函数，如果存在一个非零常数，使得定义域内的每一个值，都满足
，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。
2．奇偶函数图象的对称性
①若是偶函数，则的图象关于直线对称；
②若是偶函数，则
的图象关于点中心对称；
三、题型分析
(一)
判断或证明函数的单调性
【重难点突破】
1.（单调性不能混合乘除）复合函数的单调性①增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数；
②增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数；
③如果是增函数，那么是减函数，也是减函数。
例1.已知函数当时，求函数的最小值.
【解题思路】当时，，这是典型的“对钩函数”，欲求其最小值，
【名师指引】对于函数若，则优先考虑用均值不等式求最小值，但要注意等号是否成立，否则会得到
而认为其最小值为，但实际上，要取得等号，必须使得，这时
所以，用均值不等式来求最值时，必须注意：一正、二定、三相等，缺一不可。其次,不等式恒成立问题常转化为求函数的最值。本题考查求函数的最小值的三种通法：利用均值不等式，利用函数单调性，二次函数的配方法，考查不等式恒成立问题以及转化化归思想；
【变式训练1】．（1）.下列四个函数中，在区间上为减函数的是（
）
A．；
B．；
C．；
D．
【答案】
C；
【解析】
显然在上是增函数，在上也是增函数，
而对求导得，对于，
，所以在区间上为增函数，从而应选择C
（2）.已知
是上的减函数，那么的取值范围是
【答案】
；
【解析】要在上是减函数，则，要在上为减函数，则需并且，所以
（3）．若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（
）
A．；
B．；
C．；
D．
【答案】
A；
【解析】若函数在上是增函数，则对于恒成立，即对于恒成立，而函数的最大值为，实数的取值范围是
(二)
判断或证明函数的奇偶性
【重难点突破】
1.（奇偶性不能混合加减）复合函数的单调性①奇函数+奇函数=奇函数，偶函数+偶函数=偶函数；
②奇函数奇函数=偶函数，奇函数偶函数=奇函数，偶函数偶函数=偶函数；
例2.判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）=|x+1|－|x－1|；（2）f（x）=（x－1）·；
（3）；（4）
【思路点拨】判断函数的奇偶性应依照定义解决，但都要先考查函数的定义域。
【解析】
（1）函数的定义域x∈（－∞，+∞），对称于原点.
∵f（－x）=|－x+1|－|－x－1|=|x－1|－|x+1|=－（|x+1|－|x－1|）=－f（x），
∴f（x）=|x+1|－|x－1|是奇函数.
（2）先确定函数的定义域.由≥0，得－1≤x＜1，其定义域不对称于原点，所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数.
（3）去掉绝对值符号，根据定义判断.由得
故f（x）的定义域为［－1，0）∪（0，1］，关于原点对称，且有x+2＞0.
从而有f（x）=
=，∴f（－x）==－=－f（x）
故f（x）为奇函数.
（4）∵函数f（x）的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且当x＞0时，－x＜0，
∴f（－x）=（－x）［1－（－x）］=－x（1+x）=－f（x）（x＞0）.
当x＜0时，－x＞0，∴f（－x）=－x（1－x）=－f（x）（x＜0）.
故函数f（x）为奇函数.
【名师指引】函数的奇偶性是函数的一个整体性质,
定义域具有对称性
(
即若奇函数或偶函数的定义域为D,
则时)
是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件
分段函数的奇偶性一般要分段证明.③判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.
【变式训练1】定义在区间上的函数f
(x)满足：对任意的，都有.
求证：f
(x)为奇函数；
【思路点拨】欲证明为奇函数，就要证明，但这是抽象函数，应设法充
分利用条件“对任意的，都有”中的进行合理“赋值”
【解析】令x
=
y
=
0，则f
(0)
+
f
(0)
=
∴
f
(0)
=
0，令x∈(－1,
1)
∴－x∈(－1,
1)
∴
f
(x)
+
f
(－x)
=
f
()
=
f
(0)
=
0
∴
f
(－x)
=－f
(x)
∴
f
(x)
在(－1，1)上为奇函数
【变式训练2】1．设函数为奇函数，则___________。
【答案】0；
【解析】由函数为奇函数得到，即
所以
2．已知函数是定义域为的偶函数，则的值是（
）
A．0；B．；C．1；D．
【答案】B；
【解析】由函数是定义域为的偶函数得，并且，即，所以的值是0
3．定义两种运算：，，则
是______________函数，（填奇、偶、非奇非偶，既奇又偶四个中的一个）
【答案】奇；
【解析】依和得
，其定义域为，所以
，可见，是奇函数
4．已知函数（a、b、c∈Z）是奇函数,又，，求a、b、c的值.
【答案】；由f（－x）=－f（x），得－bx+c=－（bx+c）.
∴c=0，由f（1）=2，得a+1=2b，由f（2）＜3，得＜3，
解得－1＜a＜2.又a∈Z，∴a=0或a=1.若a=0，则b=，与b∈Z矛盾.∴a=1，b=1，c=0.
(三)
利用函数的单调性或奇偶性求函数解析式或参数
例3
已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x．
（1）求f（0）及f（f（1））的值；
（2）求函数f（x）在（﹣∞，0）上的解析式；
【思路分析】（1）根据题意，由函数的解析式，将x＝0代入函数解析式即可得f（0）的值，同理可得f（1）的值，利用函数的奇偶性思路分析可得f（f（1））的值；
（2）设x＜0，则﹣x＞0，由函数的解析式思路分析f（﹣x）的解析式，进而由函数的奇偶性思路分析可得答案；
【答案】解：（1）根据题意，当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x；
则f（0）＝0，
f（1）＝1﹣2＝﹣1，
又由函数f（x）为偶函数，则f（1）＝f（﹣1）＝﹣1，
则f（f（1））＝f（﹣1）＝﹣1；
（2）设x＜0，则﹣x＞0，
则有f（﹣x）＝（﹣x）2﹣2（﹣x）＝x2+2x，
又由函数f（x）为偶函数，
则f（x）＝f（﹣x）＝x2+2x，
则当x＜0时，f（x）＝x2+2x，
【变式训练1】已知f（x）是实数集R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝﹣2x2+3x+1．
（1）求f（0）的值；
（2）求当x＜0时，f（x）的解析式；
（3）求f（x）在R上的解析式．
【思路分析】（1）直接利用函数的奇偶性求出函数的值．
（2）利用函数的奇偶性求出函数的关系式．
（3）利用分类讨论的思想求出函数的关系式．
【答案】解：（1）∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（﹣0）＝﹣f（0），
∴f（0）＝﹣f（0），
∴2f（0）＝0，
∴f（0）＝0…（4分）
（2）当x＜0，即﹣x＞0时，
f（﹣x）＝﹣2（﹣x）2+3（﹣x）+1＝﹣2x2﹣3x+1．
由于f（x）是奇函数，
∴f（﹣x）＝﹣f（x），
∴﹣f（x）＝﹣2x2﹣3x+1，
∴f（x）＝2x2+3x﹣1（x＜0）…（8分）
（3）在实数集R上函数f（x）的解析式为：
f（x）
【变式训练2】已知定义域为R的函数是奇函数．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－2k)<0恒成立，求k的取值范围．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）根据解得，根据解得
（Ⅱ）判断函数为奇函数减函数，将不等式化简为，求二次函数的最小值得到答案.
【详解】
（Ⅰ）定义域为的函数是奇函数
则
，，
根据，解得
，经检验，满足函数为奇函数
（Ⅱ）
易知为增函数，故为减函数
即
即
所以
恒成立，即
当时，有最小值
故的取值范围是
【点睛】
本题考查了函数的单调性，奇偶性，恒成立问题，将恒成立问题通过参数分离转化为二次函数的最值问题是解题的关键.
【变式训练3】已知函数,
(1)当时，试判断它的单调性；并证明
(2)若时，是减函数时，是增函数，试求的值及上的最小值．
【答案】（1）在区间上单调递增；证明见解析（2），的最小值为4
【解析】(1)
先判断函数单调递增，再利用定义法设，计算证明.
(2)通过定义法由时，是减函数得到，同理得到，得到答案.
【详解】
解:(1)函数，在区间上单调递增
设时，
，
所以在区间上单调递增；
(2)由时，是减函数可知：
恒成立
恒成立，
同理可得：时，是增函数，，故
当时，函数有最小值4
【点睛】
本题考查了函数的单调性，最小值，函数单调性定义法的证明是一个常考知识点，需要熟练掌握.
(四)
单调性与奇偶性的综合应用
例4
已知奇函数是定义在上的减函数，若，求实数的取值范围。
【思路点拨】欲求的取值范围，就要建立关于的不等式，可见，只有从
出发，所以应该利用的奇偶性和单调性将外衣“”脱去。
【解析】
是定义在上奇函数
对任意有
由条件得=
是定义在上减函数
，解得
实数的取值范围是
【名师指引】利用函数的奇偶性可以求对称区间上的函数的表达式
【变式训练1】已知定义域为的函数是奇函数。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；
【解析】（Ⅰ）因为是奇函数，所以，即
又由知
（Ⅱ）[解法一]由（Ⅰ）知，易知在上
为减函数。又因是奇函数，从而不等式：
等价于，因为减函数，由上式推得：
．即对一切有：，
从而判别式
[解法二]由（Ⅰ）知．又由题设条件得：
，
即，
整理得
上式对一切均成立，从而判别式
【变式训练2】．已知函数．
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）判断函数在区间上的单调性，并加以证明．
【答案】（1）奇函数，见解析；（2）在上是减函数，见解析
【解析】（1）先求函数的定义域，再利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性得解；（2）利用定义判断在区间上是减函数．
【详解】
（1）要函数有意义，则，
∴，即函数的定义域为，其定义域关于原点对称．
又，
∴，
∴函数是奇函数．
（2）依题意得：，设，，则：
；
∵，，∴，
∵且，∴，
∴，故>1，∴，即而，
∴在区间上是减函数．
【点睛】
本题主要考查对数型函数的定义域的求法，考查函数奇偶性的判断，考查函数单调性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
四、迁移应用
一、单选题
1．下列选项中，表示的是同一函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】利用同一函数的定义对每一选项的函数分析得解.
【详解】
A.
函数定义域为R，函数的定义域为,两个函数的定义域不同，所以它们不是同一函数；
B.
两函数的定义域相同，但是对应关系不同，所以它们不是同一函数；
C.
函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以它们不是同一函数；
D.
两函数的定义域都是R,函数，所以两函数的对应关系相同，所以两函数是同一函数.
故选：D
【点睛】
本题主要考查同一函数的定义及判断，考查函数定义域的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
2．若幂函数的图像不经过原点，则的值为（
）
A．2
B．-3
C．3
D．-3或2
【答案】A
【解析】先根据幂函数的定义求出的值，再根据函数不过原点，确定的值.
【详解】
由幂函数的定义得，
所以或.
当时，，函数的图象不过原点；
当时，，函数的图象过原点，与已知不相符.所以舍去.
故选：A
【点睛】
本题主要考查幂函数的定义及图象性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
3．函数的定义域是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题得，解不等式即得函数的定义域.
【详解】
由题得,解之得且.
故选：C
【点睛】
本题主要考查函数定义域的求法，考查对数型函数的定义域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
4．已知函数，则该函数是（
）
A．偶函数，且单调递增
B．偶函数，且单调递减
C．奇函数，且单调递增
D．奇函数，且单调递减
【答案】D
【解析】利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，再确定函数的单调性得解.
【详解】
当时，；
当时，，
所以；
当时，，
所以；
所以，
所以函数是奇函数.
当时，，由复合函数的单调性原理得函数单调递减，
由奇函数的性质得函数在R上单调递减.
故选：D
【点睛】
本题主要考查分段函数的奇偶性的判断，考查奇偶函数单调性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
5．已知函数的定义域为，则的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解不等式即得函数的定义域.
【详解】
由题得，解之得且.
故选：B
【点睛】
本题主要考查复合函数的定义域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
6．已知集合，，，则集合的大小关系是（
）
A．
B．C
C．
D．A
【答案】A
【解析】列举出集合A,B,C即得三个集合的关系.
【详解】
由题得，
，
.
所以.
故选：A
【点睛】
本题主要考查集合的表示和集合的关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
7．已知函数是R上的减函数，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据分段函数的单调性得到，解不等式组即得解.
【详解】
由题得，解之得.
故选：C
【点睛】
本题主要考查分段函数的单调性，考查二次函数和指数函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
8．定义对任意，，，，则的最小值为（
）
A．7
B．3
C．
D．
【答案】B
【解析】在同一坐标系下作出两函数的图象，求出两函数图象的交点，再观察图象得解.
【详解】
在同一坐标系下作出两函数的图象如图所示，
解方程组得或，
所以的最小值为.
故选：B
【点睛】
本题主要考查新定义的理解和应用，考查函数图象的性质和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
二、填空题
9．已知，且，求_______．
【答案】3
【解析】先根据得到，再求解即可.
【详解】
因为，
所以，
所以，
所以.
故答案为：3
【点睛】
本题主要考查求函数值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
10．函数的单调递增区间是________．
【答案】
【解析】先求出函数的定义域，再利用复合函数的单调性原理求函数的单调递增区间.
【详解】
由题得.
函数在单调递增，在单调递减，
函数在定义域内单调递减，
所以函数的单调递增区间是.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查对数型复合函数的单调区间的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
三、解答题
11．已知二次函数．
（1）当时，求的最值；
（2）若不等式对定义域的任意实数恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）
【解析】（1）利用二次函数的图象和性质求的最值；（2）原命题等价于，再对分类讨论求解.
【详解】
（1）当，时，，对称轴，
∴在上单调递减，在上单调递增．
∴当时有最小值，；
当时有最大值，．
（2）依题意得：，
当时，，∴，∴
当时，，∴，∴
综上所述，符合条件的的取值范围是
【点睛】
本题主要考查二次函数的最值的计算，考查二次不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识理解掌握水平.
12．经市场调查，某超市的一种商品在过去的一个月内（以30天计算），销售价格与时间（天）的函数关系近似满足，销售量与时间（天）的函数关系近似满足．
（1）试写出该商品日销售金额关于时间的函数表达式；
（2）求该商品的日销售金额的最大值与最小值．
【答案】（1）；（2）当时，最大值为；当时，最小值为
【解析】（1）对分类讨论求出该商品日销售金额关于时间的函数表达式；（2）分别求出分段函数的每一段的最值，再比较即得该商品的日销售金额的最大值与最小值．
【详解】
（1）当时，；
当时，
∴．
（2）①当时，由双勾函数的性质知在上单减，
在区间上单增，．
∴当时，最小值为，当时，最大值为；
②当时，，在单减，则在区间单减，
∴；
综上，当时，最大值为；当时，最小值为
【点睛】
本题主要考查分段函数的解析式的求法，考查分段函数的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
13．设函数的定义域为，对任意都有，并且当时，．
（1）判断在上的单调性并证明；
（2）若，解不等式．
【答案】（1）在上单调递减，见解析；（2）
【解析】（1）利用函数单调性的定义证明在上单调递减．（2）先求出，原不等式等价于，再利用函数的单调性解不等式得解.
【详解】
（1）设，且，
则
∵，且，∴又当时，，
∴，即，故
∴在上单调递减．
（2）∵∴
原不等式等价于：，即，
由（1）知，函数在上单调递减，
∴∴
综上所述，不等式的解集是．
【点睛】
本题主要考查函数的单调性的证明，考查函数单调性的应用，考查一元二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
14．已知，求在区间上的最小值和最大值．
【答案】,
【解析】求函数的对称轴为，讨论对称轴在区间的范围得到答案.
【详解】
因抛物线的对称轴是,所以分类讨论:
(1)①当,即
时,
;
②当,即时;
③当时,．
(2)①当,即时,;
②当,即时,．
综上所述:,
【点睛】
本题考查了二次函数的最大值的最小值，利用讨论的方法计算时需要格外注意是否有漏解和重复的情况.
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精品试卷·第
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突破1.3
函数的基本性质（单调性与奇偶性）
一、考情分析
重难点突破：
函数的周期性命定义：
对于函数，如果存在一个非零常数，使得定义域内的每一个值，都满足
，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。
2．奇偶函数图象的对称性
①若是偶函数，则的图象关于直线对称；
②若是偶函数，则
的图象关于点中心对称；
二、题型分析
(一)
判断或证明函数的单调性
【重难点突破】
1.（单调性不能混合乘除）复合函数的单调性①增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数；
②增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数；
③如果是增函数，那么是减函数，也是减函数。
例1.已知函数当时，求函数的最小值.
【变式训练1】．（1）.下列四个函数中，在区间上为减函数的是（
）
A．；
B．；
C．；
D．
（2）.已知
是上的减函数，那么的取值范围是
（3）．若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（
）
A．；
B．；
C．；
D．
(二)
判断或证明函数的奇偶性
【重难点突破】
1.（奇偶性不能混合加减）复合函数的单调性①奇函数+奇函数=奇函数，偶函数+偶函数=偶函数；
②奇函数奇函数=偶函数，奇函数偶函数=奇函数，偶函数偶函数=偶函数；
例2.判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）=|x+1|－|x－1|；（2）f（x）=（x－1）·；
（3）；（4）
【变式训练1】定义在区间上的函数f
(x)满足：对任意的，都有.
求证：f
(x)为奇函数；
【变式训练2】
1．设函数为奇函数，则___________。
2．已知函数是定义域为的偶函数，则的值是（
）
A．0；B．；C．1；D．
3．定义两种运算：，，则
是______________函数，（填奇、偶、非奇非偶，既奇又偶四个中的一个）
4．已知函数（a、b、c∈Z）是奇函数,又，，求a、b、c的值.
(三)
利用函数的单调性或奇偶性求函数解析式或参数
例3
已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x．
（1）求f（0）及f（f（1））的值；
（2）求函数f（x）在（﹣∞，0）上的解析式；
【变式训练1】已知f（x）是实数集R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝﹣2x2+3x+1．
（1）求f（0）的值；
（2）求当x＜0时，f（x）的解析式；
（3）求f（x）在R上的解析式．
【变式训练2】已知定义域为R的函数是奇函数．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－2k)<0恒成立，求k的取值范围．
【变式训练3】已知函数,
(1)当时，试判断它的单调性；并证明
(2)若时，是减函数时，是增函数，试求的值及上的最小值．
(四)
单调性与奇偶性的综合应用
例4
已知奇函数是定义在上的减函数，若，求实数的取值范围。
【变式训练1】已知定义域为的函数是奇函数。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；
【变式训练2】．已知函数．
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）判断函数在区间上的单调性，并加以证明．
四、迁移应用
一、单选题
1．下列选项中，表示的是同一函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．若幂函数的图像不经过原点，则的值为（
）
A．2
B．-3
C．3
D．-3或2
3．函数的定义域是（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知函数，则该函数是（
）
A．偶函数，且单调递增
B．偶函数，且单调递减
C．奇函数，且单调递增
D．奇函数，且单调递减
5．已知函数的定义域为，则的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知集合，，，则集合的大小关系是（
）
A．
B．C
C．
D．A
7．已知函数是R上的减函数，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
8．定义对任意，，，，则的最小值为（
）
A．7
B．3
C．
D．
二、填空题
9．已知，且，求_______．
10．函数的单调递增区间是________．
三、解答题
11．已知二次函数．
（1）当时，求的最值；
（2）若不等式对定义域的任意实数恒成立，求实数的取值范围．
12．经市场调查，某超市的一种商品在过去的一个月内（以30天计算），销售价格与时间（天）的函数关系近似满足，销售量与时间（天）的函数关系近似满足．
（1）试写出该商品日销售金额关于时间的函数表达式；
（2）求该商品的日销售金额的最大值与最小值．
13．设函数的定义域为，对任意都有，并且当时，．
（1）判断在上的单调性并证明；
（2）若，解不等式．
14．已知，求在区间上的最小值和最大值．
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精品试卷·第
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