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突破2.2
指数与指数函数重难点突破
一、考情分析
二、经验分享
【知识点1
根式的意义】
1.次方根
定义
一般地,如果=a,那么叫做a的次方根,其中n>1,且nN
个数
n是奇数
a>0
x>0
x仅有一个值,记为
a<0
x<0
n是偶数
a>0
x有两个值,且互为相反数,记为±
a<0
x不存在
根式
(1)定义:式子叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.
(2)性质:(n>1,且nN
)
①=a.
②=
【知识点2
分数指数幂及其运算】
1.分数指数幂
(1)意义:=,==,其中a>0,m,n∈N
,n>1;
(2)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义;
(3)规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.
2.有理数指数幂的运算性质
(1)=>0,r,sQ;
(2)=
>0,r,sQ;
(3)=>0,r,sQ.
3.无理数指数幂
一般地,无理数指数幂(>0,是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.
【知识点3
化简求值的方法与技巧】
在进行幂和根式的化简时,一般是先将根式化成幂的形式,并化小数指数幂为分数指数幂,并尽可能统一成分数指数幂的形式,再利用分数指数幂的性质进行化简、求值、计算.
结果必须化为最简的形式.
巧妙公式变形:完全平方公式,立方和、立方差等.
【知识点4
指数函数的概念】
1.指数函数的定义
一般地,函数(>0,且1)叫做指数函数,其中是自变量.它的结构特征:
底数:大于零且不等于1的常数;
指数:仅有自变量;
(3)系数:的系数是1.
指数函数的图象与性质
图象
性质
定义域
值域
过定点
单调性
在上是增函数
在上是减函数
奇偶性
非奇非偶函数
【知识点5
指数函数单调性的应用】
1.比较幂的大小
比较幂的大小的常用方法:
(1)对于底数相同,指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断;
(2)对于底数不同,指数相同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数图象的变化规律来判断;
(3)对于底数不同,且指数也不同的幂的大小比较,可先化为同底的两个幂,或者通过中间值来比较.
2.有关指数型函数的性质
(1)求复合函数的定义域
形如的函数的定义域就是的定义域.
求形如的函数的值域,应先求出的值域,再由单调性求出的值域.若的范围不确定,则需对进行讨论.
求形如的函数的值域,要先求出的值域,再结合确定出的值域.
(2)判断复合函数的单调性
令,,如果复合的两个函数与的单调性相同,那么复合后的函数在上是增函数;如果两者的单调性相异(即一增一减),那和复合函数在上是减函数.
(3)研究函数的奇偶性
一是定义法,即首先是定义域关于原点对称,然后分析式子与的关系,最后确定函数的奇偶性.
二是图象法,作出函数图象或从已知函数图象观察,若图象关于原点或轴对称,则函数具有奇偶性.
三、题型分析
(一)
指数与指数幂的运算
例1.下列关系式中,根式与分数指数幂互化正确的是
A.
B.
C.
D.
【分析】根据各式是否有意义,是否符合根式与分数指数幂的互相转化规律进行判断.
【答案】解:对于,由有意义可知,而当时,无意义,故错误;
对于,当时,,而无意义,故错误;
对于,,故错误.
对于,.故正确.
故选:.
【点睛】本题考查了分数指数幂与根式的互相转化,属于基础题.
【变式训练1】(2019秋?桐庐县期中)下列根式中,分数指数幂的互化,正确的是
A.
B.
C.
D.
【分析】利用根式与分数指数幂的关系得出,,,,从而选出答案.
【答案】解:.故错;
故错;
故正确;
故错
故选:.
【点睛】本题考查了根式与分数指数幂的互化,解题过程中尤其要注意根式有意义的条件,属于基础题.
【变式训练2】(2019秋?景泰县校级期中)等于
A.
B.2
C.
D.2
【分析】把根号下的式子表示成平方式,然后进行开方,再计算即可得答案.
【答案】解:
.
故选:.
【点睛】本题考查了根式与分数指数幂的互化及其化简运算,是基础题.
例2.(2019秋?凌源市月考)已知,则化为
A.
B.
C.
D.
【分析】利用根式的运算性质即可得出.
【答案】解:原式.
故选:.
【点睛】本题考查了指数幂的运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
【变式训练1】2019秋?鸠江区校级期中)(1)化简:;
(2)求值:.
【分析】(1)(2)利用指数幂的运算性质即可得出.
【答案】解:(1):;
原式
;
(2):.
原式
【点睛】本题考查了指数幂的运算性质,属于基础题.
【变式训练2】(2019秋?温江区校级月考)计算:
(1);
(2).
【分析】分别根据指数幂的运算性质计算即可.
【答案】解:(1)原式;
(2)原式
【点睛】本题考查了指数幂的运算性质,属于基础题
(二)
指数与指数幂的综合应用
例3.(2019秋?越秀区校级月考)已知,且,求的值.
【分析】.根据,,可得.又,可得.
【答案】解:.①
,,②
.
又,.③
将②③代入①,得原式.
【点睛】本题考查了乘法公式运用,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
【变式训练1】.(2018秋?湛江校级月考)已知,求的值.
【分析】根据立方和公式以及完全平方公式可得.
【答案】原式
.
【点睛】本题考查了有理指数幂及根式.属基础题.
例4.(2019秋?临沂期中)已知,.
(1)求证:是奇函数,并求的单调区间;
(2)分别计算(4)(2)(2)和(9)(3)(3)的值,由此概括出涉及函数和对所有不等于零的实数都成立的一个等式,并加以证明.
【分析】(1)利用函数的奇偶性的定义证明,利用单调性的定义确定函数的单调区间.
(2)分别求出(4)(2)(2)和(9)(3)(3)的值,然后根据规律得到结论.
【答案】解:(1)函数的定义域是,(1分)
,
是奇函数.(4分)
设,,(6分)
上是增函数,故,
,
即,在上是增函数.(8分)
又是奇函数,在上也是增函数.
函数的增区间是和.(10分)
(2),.(12分)
同理(9)(3)(3).猜想:
(14分)
证明:.
等式成立.(16分)
【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断,综合性较强.
【变式训练1】.(2019秋?双桥区校级期末)设函数,若,试求:
(1)求(a)的值;
(2)求的值.
【分析】(1)直接利用函数的表达式,求出(a)的值.
(2)利用(1)的结论,直接求解的值.
【答案】解:(1)因为函数,所以(a)
,
所以(a).
(2)由(1)可知,(a),
因为,
所以.
【点睛】本题考查函数的值的求法,考查计算能力.
(三)
指数函数的图像
例5.(2019秋?峨山县校级期末)若,则函数与的图象可能是下列四个选项
中的
A.
B.
C.
D.
【分析】根据指数函数的单调性和二次函数的开口方向进行判断是哪个选项.
【答案】解:
函数在上单调递增,可排除选项与
是开口向下的二次函数,可排除选项
故选:.
【点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质,以及二次函数的图象,同时考查了识图能力,属于基础题.
【变式训练1】(2018秋?西城区校级期中)已知函数,则函数的图象大致是
A.
B.
C.
D.
【分析】根据题意,先求的表达式,可得,进而分析可得单调递减,且其图象与轴交点在之下,比较选项可得答案.
【答案】解:根据题意,可得,单调递减;
同时有,,即函数图象与轴交点在之下;
、选项的图象为增函数,不符合;选项的图象与轴交点在之上,不符合;
只有的图象符合两点,
故选:.
【点睛】本题考查指数函数的性质和函数图象的变化,掌握指数函数的性质是解题的关键.
(四)
指数函数的定点与比较大小
例6.(2019秋?泸县校级期中)函数的图象恒过定点
A.
B.
C.
D.
【分析】运用指数函数的图象恒过定点,可令,即可得到所求定点.
【答案】解:可令,解得,
,
可得函数的图象
恒过定点.
故选:.
【点睛】本题考查指数函数的图象的特征,考查运算能力,属于基础题.
【变式训练1】(2019秋?承德期中)已知函数恒过定点,则函数不经过
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【分析】求出,得出的解析式,从而得出结论.
【答案】解:恒过定点,
,
,
为减函数,且过点,
的函数图象不经过第三象限.
故选:.
【点睛】本题考查了指数函数的图象变换与性质,属于中档题.
例7.(2018秋?泰山区校级期中)已知,,,则、、的大小关系是
A.
B.
C.
D.
【分析】根据指数函数的性质判断即可.
【答案】解:是减函数,
故,
而,
故,
故选:.
【点睛】本题考查了指数函数的性质,考查函数值的大小比较,是一道基础题.
【变式训练1】.已知,则(
)
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由题意得:,
两边同时取对数,
作差:;
所以,故此,从而
(五)
指数函数复合函数
例8.(2018秋?马山县期中)已知函数.
(1)当时,求的值;
(2)当,时,求的最大值和最小值.
【分析】(1),即,以为单位,解关于的方程,通过因式分解得,再讨论为的正数的性质,可得,故成立;
(2)以为单位,将原函数化简为关于它的二次函数,根据二次函数的图象与性质,结合,,找到函数取最大值和最小值对应的,从而找出函数的最大值和最小值.
【答案】解:(1)当,即时,
,
,,故(4分)
(2)
令
当,即时,函数的最小值(10分)
当,即时,函数的最大值(12分)
【点睛】本题考查了指数型复合函数的性质和应用,属于基础题.抓住题中的基本量与单位元,灵活地运用二次函数的图象与性质解题,是本题的关键.
【变式训练1】.求函数的单调区间.
【分析】令,则,运用指数函数和二次函数的单调性和复合函数的单调性:同增异减,即可得到函数的单调区间.
【答案】解:令,
则,且在上递减,
由于在,上递增,在,上递减,
则由复合函数的单调性,可得
函数的单调递减区间为,,单调递增区间为,.
【点睛】本题考查复合函数的单调性:同增异减,考查二次函数和指数函数的单调性的运用,属于基础题和易错题.
四、迁移应用
1.
函数图象一定过点
(
)
A
.(0,1)
B.(0,3)
C
.(1,0)
D.(3,0)
【答案】B
【解析】根据指数函数的图像和性质,当时,,所以此函数图像一定过点.故选B.
2.(2019·山东高三期中(理))已知集合0,,,则等于
A.
B.
C.
D.0,
【答案】C
【解析】由得,
所以,则,
又合因为0,,
所以,故选C.
3.
如图①,②,③,④,根据图象可得a、b、c、d与1的大小关系为
(
)
A.
a<b<1<c<d
B.
b<a<1<d<c
C.
1<a<b<c<d
D.
a<b<1<d<c
【答案】B
【解析】
由图,直线x=1与四条曲线的交点坐标从下往上依次是(1,b),(1,a),(1,d),(1,c),故有b<a<1<d<c,故选B.
4.(2019·湖南长沙一中高三高考模拟(文))已知函数,则下列判断正确的是(
)
A.函数是奇函数,且在R上是增函数
B.函数是偶函数,且在R上是增函数
C.函数是奇函数,且在R上是减函数
D.函数是偶函数,且在R上是减函数
【答案】A
【解析】的定义域为R,且;
∴是奇函数;
又和都是R上的增函数;
是R上的增函数.
故选:A.
5.(2019·华东师大二附中前滩学校高三月考)函数的图象可能是(
).
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】∵,∴,∴函数需向下平移个单位,不过(0,1)点,所以排除A,
当时,∴,所以排除B,
当时,∴,所以排除C,故选D.
6.(浙江省杭州市学军中学2017-2018学年高一上期中)已知函数(其中),若的图像如右图所示,则函数的图像是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由二次函数图像可知,所以为减函数,且将指数函数向下平移各单位.
7.(浙江省杭州市学军中学2017-2018学年高一上期中)如果,那么(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】根据函数在是减函数,且,
所以,所以,故选C.
8.(改编自2017·山东高考真题(文))已知f(x)是定义在R上的偶函数,且.若当时,,则________.
【答案】
【解析】由可知,是周期函数,且,所以.
9.【浙江省杭州高级中学2019届高三上学期期中】函数的定义域为__
_,值域为_
__.
【答案】
【解析】∵,
∴x2﹣1≠0,即x≠±1,即函数的定义域为{x|x≠±1}.
∴x2﹣1
∴
∴函数的值域为
故答案为:
10.(改编自上海市上海外国语大学附属大境中学2018-2019学年高一上期末)函数的单调递增区间为__________,单调递减区间为__________.
【答案】,.
【解析】函数,设t=,函数化为,外层函数是减函数,
而t=的减区间为,增区间为,
由内外层函数的单调性满足“同增异减”知答案为:,.
11.直线与函数
(且)的图象有且仅有两个公共点,则实数
的取值范围是
.
【答案】
【解析】在同一平面直角坐标系中作出与
(,且)的大致图象.
当时,如图2(1)所示.由图知两函数的图象若要有两个公共点,则,得,与矛盾,不合题意;
当时,如图2(2)所示,由图知满足题意时,,则.综上,a的取值范围是.
12.(2019秋?石河子校级月考)计算下列各式的值:
(1),
(2).
【分析】(1)根据根式与分数指数幂的互化及其化简运算.
(2)根据有理数指数幂的性质、运算法则直接求解.
【答案】解:(1)原式.
(2)原式.
【点睛】本题考查了根式与分数指数幂的互化和有理数指数幂的性质、运算法则,属于基础题
13.已知函数
(1)求的值;
(2)解不等式
【答案】(1);(2).
【解析】(1)因为是上的奇函数,则
所以
所以
(2),所以,
解得,
所以不等式的解集为.
14.已知函数.
(Ⅰ)判断并证明函数的奇偶性;
(Ⅱ)判断并证明函数的单调性;
(Ⅲ)若,求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ),或.
【解析】(Ⅰ)是奇函数.
证明:因为函数的定义域为,又,
所以是奇函数.
(Ⅱ)函数为上的增函数.
证明:任取,则.
因为,所以,
又,所以,,
所以.
所以函数为上的增函数.
(Ⅲ)由,可得.
由函数是奇函数,可得.
又函数为上的增函数,所以,即.
解得
,或.
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精品试卷·第
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指数与指数函数重难点突破
一、考情分析
二、经验分享
【知识点1
根式的意义】
1.次方根
定义
一般地,如果=a,那么叫做a的次方根,其中n>1,且nN
个数
n是奇数
a>0
x>0
x仅有一个值,记为
a<0
x<0
n是偶数
a>0
x有两个值,且互为相反数,记为±
a<0
x不存在
根式
(1)定义:式子叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.
(2)性质:(n>1,且nN
)
①=a.
②=
【知识点2
分数指数幂及其运算】
1.分数指数幂
(1)意义:=,==,其中a>0,m,n∈N
,n>1;
(2)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义;
(3)规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.
2.有理数指数幂的运算性质
(1)=>0,r,sQ;
(2)=
>0,r,sQ;
(3)=>0,r,sQ.
3.无理数指数幂
一般地,无理数指数幂(>0,是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.
【知识点3
化简求值的方法与技巧】
在进行幂和根式的化简时,一般是先将根式化成幂的形式,并化小数指数幂为分数指数幂,并尽可能统一成分数指数幂的形式,再利用分数指数幂的性质进行化简、求值、计算.
结果必须化为最简的形式.
巧妙公式变形:完全平方公式,立方和、立方差等.
【知识点4
指数函数的概念】
1.指数函数的定义
一般地,函数(>0,且1)叫做指数函数,其中是自变量.它的结构特征:
底数:大于零且不等于1的常数;
指数:仅有自变量;
(3)系数:的系数是1.
指数函数的图象与性质
图象
性质
定义域
值域
过定点
单调性
在上是增函数
在上是减函数
奇偶性
非奇非偶函数
【知识点5
指数函数单调性的应用】
1.比较幂的大小
比较幂的大小的常用方法:
(1)对于底数相同,指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断;
(2)对于底数不同,指数相同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数图象的变化规律来判断;
(3)对于底数不同,且指数也不同的幂的大小比较,可先化为同底的两个幂,或者通过中间值来比较.
2.有关指数型函数的性质
(1)求复合函数的定义域
形如的函数的定义域就是的定义域.
求形如的函数的值域,应先求出的值域,再由单调性求出的值域.若的范围不确定,则需对进行讨论.
求形如的函数的值域,要先求出的值域,再结合确定出的值域.
(2)判断复合函数的单调性
令,,如果复合的两个函数与的单调性相同,那么复合后的函数在上是增函数;如果两者的单调性相异(即一增一减),那和复合函数在上是减函数.
(3)研究函数的奇偶性
一是定义法,即首先是定义域关于原点对称,然后分析式子与的关系,最后确定函数的奇偶性.
二是图象法,作出函数图象或从已知函数图象观察,若图象关于原点或轴对称,则函数具有奇偶性.
三、题型分析
(一)
指数与指数幂的运算
例1.下列关系式中,根式与分数指数幂互化正确的是
A.
B.
C.
D.
【变式训练1】(2019秋?桐庐县期中)下列根式中,分数指数幂的互化,正确的是
A.
B.
C.
D.
【变式训练2】(2019秋?景泰县校级期中)等于
A.
B.2
C.
D.2
例2.(2019秋?凌源市月考)已知,则化为
A.
B.
C.
D.
【变式训练1】2019秋?鸠江区校级期中)(1)化简:;
(2)求值:.
【变式训练2】(2019秋?温江区校级月考)计算:
(1);(2).
(二)
指数与指数幂的综合应用
例3.(2019秋?越秀区校级月考)已知,且,求的值.
【变式训练1】.(2018秋?湛江校级月考)已知,求的值.
例4.(2019秋?临沂期中)已知,.
(1)求证:是奇函数,并求的单调区间;
(2)分别计算(4)(2)(2)和(9)(3)(3)的值,由此概括出涉及函数和对所有不等于零的实数都成立的一个等式,并加以证明.
【变式训练1】.(2019秋?双桥区校级期末)设函数,若,试求:
(1)求(a)的值;
(2)求的值.
(三)
指数函数的图像
例5.(2019秋?峨山县校级期末)若,则函数与的图象可能是下列四个选项
中的
A.
B.
C.
D.
【变式训练1】(2018秋?西城区校级期中)已知函数,则函数的图象大致是
A.
B.
C.
D.
(四)
指数函数的定点与比较大小
例6.(2019秋?泸县校级期中)函数的图象恒过定点
A.
B.
C.
D.
【变式训练1】(2019秋?承德期中)已知函数恒过定点,则函数不经过
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
例7.(2018秋?泰山区校级期中)已知,,,则、、的大小关系是
A.
B.
C.
D.
【变式训练1】.已知,则(
)
B.
C.
D.
(五)
指数函数复合函数
例8.(2018秋?马山县期中)已知函数.
(1)当时,求的值;
(2)当,时,求的最大值和最小值.
【变式训练1】.求函数的单调区间.
四、迁移应用
1.
函数图象一定过点
(
)
A
.(0,1)
B.(0,3)
C
.(1,0)
D.(3,0)
2.(2019·山东高三期中(理))已知集合0,,,则等于
A.
B.
C.
D.0,
3.
如图①,②,③,④,根据图象可得a、b、c、d与1的大小关系为
(
)
A.
a<b<1<c<d
B.
b<a<1<d<c
C.
1<a<b<c<d
D.
a<b<1<d<c
4.(2019·湖南长沙一中高三高考模拟(文))已知函数,则下列判断正确的是(
)
A.函数是奇函数,且在R上是增函数
B.函数是偶函数,且在R上是增函数
C.函数是奇函数,且在R上是减函数
D.函数是偶函数,且在R上是减函数
5.(2019·华东师大二附中前滩学校高三月考)函数的图象可能是(
).
A.
B.
C.
D.
6.(浙江省杭州市学军中学2017-2018学年高一上期中)已知函数(其中),若的图像如右图所示,则函数的图像是(
)
A.
B.
C.
D.
7.(浙江省杭州市学军中学2017-2018学年高一上期中)如果,那么(
)
A.
B.
C.
D.
8.(改编自2017·山东高考真题(文))已知f(x)是定义在R上的偶函数,且.若当时,,则________.
9.【浙江省杭州高级中学2019届高三上学期期中】函数的定义域为__
_,值域为_
__.
10.(改编自上海市上海外国语大学附属大境中学2018-2019学年高一上期末)函数的单调递增区间为__________,单调递减区间为__________.
11.直线与函数
(且)的图象有且仅有两个公共点,则实数
的取值范围是
.
12.(2019秋?石河子校级月考)计算下列各式的值:
(1),
(2).
13.已知函数
(1)求的值;
(2)解不等式
14.已知函数.
(Ⅰ)判断并证明函数的奇偶性;
(Ⅱ)判断并证明函数的单调性;
(Ⅲ)若,求实数的取值范围.
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