2.1 指数与指数函数 重难点突破 学案(原卷版+解析版)-突破满分数学之2020-2021学年高一重难点突破(必修一)暑期初升高衔接

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名称 2.1 指数与指数函数 重难点突破 学案(原卷版+解析版)-突破满分数学之2020-2021学年高一重难点突破(必修一)暑期初升高衔接
格式 zip
文件大小 3.1MB
资源类型 试卷
版本资源 人教新课标A版
科目 数学
更新时间 2020-07-02 09:10:00

文档简介

中小学教育资源及组卷应用平台
突破2.2
指数与指数函数重难点突破
一、考情分析
二、经验分享
【知识点1
根式的意义】
1.次方根
定义
一般地,如果=a,那么叫做a的次方根,其中n>1,且nN
个数
n是奇数
a>0
x>0
x仅有一个值,记为
a<0
x<0
n是偶数
a>0
x有两个值,且互为相反数,记为±
a<0
x不存在
根式
(1)定义:式子叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.
(2)性质:(n>1,且nN
)
①=a.
②=
【知识点2
分数指数幂及其运算】
1.分数指数幂
(1)意义:=,==,其中a>0,m,n∈N
,n>1;
(2)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义;
(3)规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.
2.有理数指数幂的运算性质
(1)=>0,r,sQ;
(2)=
>0,r,sQ;
(3)=>0,r,sQ.
3.无理数指数幂
一般地,无理数指数幂(>0,是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.
【知识点3
化简求值的方法与技巧】
在进行幂和根式的化简时,一般是先将根式化成幂的形式,并化小数指数幂为分数指数幂,并尽可能统一成分数指数幂的形式,再利用分数指数幂的性质进行化简、求值、计算.
结果必须化为最简的形式.
巧妙公式变形:完全平方公式,立方和、立方差等.
【知识点4
指数函数的概念】
1.指数函数的定义
一般地,函数(>0,且1)叫做指数函数,其中是自变量.它的结构特征:
底数:大于零且不等于1的常数;
指数:仅有自变量;
(3)系数:的系数是1.
指数函数的图象与性质
图象
性质
定义域
值域
过定点
单调性
在上是增函数
在上是减函数
奇偶性
非奇非偶函数
【知识点5
指数函数单调性的应用】
1.比较幂的大小
比较幂的大小的常用方法:
(1)对于底数相同,指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断;
(2)对于底数不同,指数相同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数图象的变化规律来判断;
(3)对于底数不同,且指数也不同的幂的大小比较,可先化为同底的两个幂,或者通过中间值来比较.
2.有关指数型函数的性质
(1)求复合函数的定义域
形如的函数的定义域就是的定义域.
求形如的函数的值域,应先求出的值域,再由单调性求出的值域.若的范围不确定,则需对进行讨论.
求形如的函数的值域,要先求出的值域,再结合确定出的值域.
(2)判断复合函数的单调性
令,,如果复合的两个函数与的单调性相同,那么复合后的函数在上是增函数;如果两者的单调性相异(即一增一减),那和复合函数在上是减函数.
(3)研究函数的奇偶性
一是定义法,即首先是定义域关于原点对称,然后分析式子与的关系,最后确定函数的奇偶性.
二是图象法,作出函数图象或从已知函数图象观察,若图象关于原点或轴对称,则函数具有奇偶性.
三、题型分析
(一)
指数与指数幂的运算
例1.下列关系式中,根式与分数指数幂互化正确的是  
A.
B.
C.
D.
【分析】根据各式是否有意义,是否符合根式与分数指数幂的互相转化规律进行判断.
【答案】解:对于,由有意义可知,而当时,无意义,故错误;
对于,当时,,而无意义,故错误;
对于,,故错误.
对于,.故正确.
故选:.
【点睛】本题考查了分数指数幂与根式的互相转化,属于基础题.
【变式训练1】(2019秋?桐庐县期中)下列根式中,分数指数幂的互化,正确的是  
A.
B.
C.
D.
【分析】利用根式与分数指数幂的关系得出,,,,从而选出答案.
【答案】解:.故错;
故错;
故正确;
故错
故选:.
【点睛】本题考查了根式与分数指数幂的互化,解题过程中尤其要注意根式有意义的条件,属于基础题.
【变式训练2】(2019秋?景泰县校级期中)等于  
A.
B.2
C.
D.2
【分析】把根号下的式子表示成平方式,然后进行开方,再计算即可得答案.
【答案】解:

故选:.
【点睛】本题考查了根式与分数指数幂的互化及其化简运算,是基础题.
例2.(2019秋?凌源市月考)已知,则化为  
A.
B.
C.
D.
【分析】利用根式的运算性质即可得出.
【答案】解:原式.
故选:.
【点睛】本题考查了指数幂的运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
【变式训练1】2019秋?鸠江区校级期中)(1)化简:;
(2)求值:.
【分析】(1)(2)利用指数幂的运算性质即可得出.
【答案】解:(1):;
原式

(2):.
原式
【点睛】本题考查了指数幂的运算性质,属于基础题.
【变式训练2】(2019秋?温江区校级月考)计算:
(1);
(2).
【分析】分别根据指数幂的运算性质计算即可.
【答案】解:(1)原式;
(2)原式
【点睛】本题考查了指数幂的运算性质,属于基础题
(二)
指数与指数幂的综合应用
例3.(2019秋?越秀区校级月考)已知,且,求的值.
【分析】.根据,,可得.又,可得.
【答案】解:.①
,,②

又,.③
将②③代入①,得原式.
【点睛】本题考查了乘法公式运用,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
【变式训练1】.(2018秋?湛江校级月考)已知,求的值.
【分析】根据立方和公式以及完全平方公式可得.
【答案】原式

【点睛】本题考查了有理指数幂及根式.属基础题.
例4.(2019秋?临沂期中)已知,.
(1)求证:是奇函数,并求的单调区间;
(2)分别计算(4)(2)(2)和(9)(3)(3)的值,由此概括出涉及函数和对所有不等于零的实数都成立的一个等式,并加以证明.
【分析】(1)利用函数的奇偶性的定义证明,利用单调性的定义确定函数的单调区间.
(2)分别求出(4)(2)(2)和(9)(3)(3)的值,然后根据规律得到结论.
【答案】解:(1)函数的定义域是,(1分)

是奇函数.(4分)
设,,(6分)
上是增函数,故,

即,在上是增函数.(8分)
又是奇函数,在上也是增函数.
函数的增区间是和.(10分)
(2),.(12分)
同理(9)(3)(3).猜想:
(14分)
证明:.
等式成立.(16分)
【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断,综合性较强.
【变式训练1】.(2019秋?双桥区校级期末)设函数,若,试求:
(1)求(a)的值;
(2)求的值.
【分析】(1)直接利用函数的表达式,求出(a)的值.
(2)利用(1)的结论,直接求解的值.
【答案】解:(1)因为函数,所以(a)

所以(a).
(2)由(1)可知,(a),
因为,
所以.
【点睛】本题考查函数的值的求法,考查计算能力.
(三)
指数函数的图像
例5.(2019秋?峨山县校级期末)若,则函数与的图象可能是下列四个选项
中的  
A.
B.
C.
D.
【分析】根据指数函数的单调性和二次函数的开口方向进行判断是哪个选项.
【答案】解:
函数在上单调递增,可排除选项与
是开口向下的二次函数,可排除选项
故选:.
【点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质,以及二次函数的图象,同时考查了识图能力,属于基础题.
【变式训练1】(2018秋?西城区校级期中)已知函数,则函数的图象大致是  
A.
B.
C.
D.
【分析】根据题意,先求的表达式,可得,进而分析可得单调递减,且其图象与轴交点在之下,比较选项可得答案.
【答案】解:根据题意,可得,单调递减;
同时有,,即函数图象与轴交点在之下;
、选项的图象为增函数,不符合;选项的图象与轴交点在之上,不符合;
只有的图象符合两点,
故选:.
【点睛】本题考查指数函数的性质和函数图象的变化,掌握指数函数的性质是解题的关键.
(四)
指数函数的定点与比较大小
例6.(2019秋?泸县校级期中)函数的图象恒过定点  
A.
B.
C.
D.
【分析】运用指数函数的图象恒过定点,可令,即可得到所求定点.
【答案】解:可令,解得,

可得函数的图象
恒过定点.
故选:.
【点睛】本题考查指数函数的图象的特征,考查运算能力,属于基础题.
【变式训练1】(2019秋?承德期中)已知函数恒过定点,则函数不经过  
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【分析】求出,得出的解析式,从而得出结论.
【答案】解:恒过定点,


为减函数,且过点,
的函数图象不经过第三象限.
故选:.
【点睛】本题考查了指数函数的图象变换与性质,属于中档题.
例7.(2018秋?泰山区校级期中)已知,,,则、、的大小关系是  
A.
B.
C.
D.
【分析】根据指数函数的性质判断即可.
【答案】解:是减函数,
故,
而,
故,
故选:.
【点睛】本题考查了指数函数的性质,考查函数值的大小比较,是一道基础题.
【变式训练1】.已知,则(

B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由题意得:,
两边同时取对数,
作差:;
所以,故此,从而
(五)
指数函数复合函数
例8.(2018秋?马山县期中)已知函数.
(1)当时,求的值;
(2)当,时,求的最大值和最小值.
【分析】(1),即,以为单位,解关于的方程,通过因式分解得,再讨论为的正数的性质,可得,故成立;
(2)以为单位,将原函数化简为关于它的二次函数,根据二次函数的图象与性质,结合,,找到函数取最大值和最小值对应的,从而找出函数的最大值和最小值.
【答案】解:(1)当,即时,

,,故(4分)
(2)

当,即时,函数的最小值(10分)
当,即时,函数的最大值(12分)
【点睛】本题考查了指数型复合函数的性质和应用,属于基础题.抓住题中的基本量与单位元,灵活地运用二次函数的图象与性质解题,是本题的关键.
【变式训练1】.求函数的单调区间.
【分析】令,则,运用指数函数和二次函数的单调性和复合函数的单调性:同增异减,即可得到函数的单调区间.
【答案】解:令,
则,且在上递减,
由于在,上递增,在,上递减,
则由复合函数的单调性,可得
函数的单调递减区间为,,单调递增区间为,.
【点睛】本题考查复合函数的单调性:同增异减,考查二次函数和指数函数的单调性的运用,属于基础题和易错题.
四、迁移应用
1.
函数图象一定过点
(
)
A
.(0,1)
B.(0,3)
C
.(1,0)
D.(3,0)
【答案】B
【解析】根据指数函数的图像和性质,当时,,所以此函数图像一定过点.故选B.
2.(2019·山东高三期中(理))已知集合0,,,则等于  
A.
B.
C.
D.0,
【答案】C
【解析】由得,
所以,则,
又合因为0,,
所以,故选C.
3.
如图①,②,③,④,根据图象可得a、b、c、d与1的大小关系为


A.
a<b<1<c<d
B.
b<a<1<d<c
C.
1<a<b<c<d
D.
a<b<1<d<c
【答案】B
【解析】
由图,直线x=1与四条曲线的交点坐标从下往上依次是(1,b),(1,a),(1,d),(1,c),故有b<a<1<d<c,故选B.
4.(2019·湖南长沙一中高三高考模拟(文))已知函数,则下列判断正确的是(

A.函数是奇函数,且在R上是增函数
B.函数是偶函数,且在R上是增函数
C.函数是奇函数,且在R上是减函数
D.函数是偶函数,且在R上是减函数
【答案】A
【解析】的定义域为R,且;
∴是奇函数;
又和都是R上的增函数;
是R上的增函数.
故选:A.
5.(2019·华东师大二附中前滩学校高三月考)函数的图象可能是(
).
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】∵,∴,∴函数需向下平移个单位,不过(0,1)点,所以排除A,
当时,∴,所以排除B,
当时,∴,所以排除C,故选D.
6.(浙江省杭州市学军中学2017-2018学年高一上期中)已知函数(其中),若的图像如右图所示,则函数的图像是(

A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由二次函数图像可知,所以为减函数,且将指数函数向下平移各单位.
7.(浙江省杭州市学军中学2017-2018学年高一上期中)如果,那么(

A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】根据函数在是减函数,且,
所以,所以,故选C.
8.(改编自2017·山东高考真题(文))已知f(x)是定义在R上的偶函数,且.若当时,,则________.
【答案】
【解析】由可知,是周期函数,且,所以.
9.【浙江省杭州高级中学2019届高三上学期期中】函数的定义域为__
_,值域为_
__.
【答案】
【解析】∵,
∴x2﹣1≠0,即x≠±1,即函数的定义域为{x|x≠±1}.
∴x2﹣1

∴函数的值域为
故答案为:
10.(改编自上海市上海外国语大学附属大境中学2018-2019学年高一上期末)函数的单调递增区间为__________,单调递减区间为__________.
【答案】,.
【解析】函数,设t=,函数化为,外层函数是减函数,
而t=的减区间为,增区间为,
由内外层函数的单调性满足“同增异减”知答案为:,.
11.直线与函数
(且)的图象有且仅有两个公共点,则实数
的取值范围是

【答案】
【解析】在同一平面直角坐标系中作出与
(,且)的大致图象.
当时,如图2(1)所示.由图知两函数的图象若要有两个公共点,则,得,与矛盾,不合题意;
当时,如图2(2)所示,由图知满足题意时,,则.综上,a的取值范围是.
12.(2019秋?石河子校级月考)计算下列各式的值:
(1),
(2).
【分析】(1)根据根式与分数指数幂的互化及其化简运算.
(2)根据有理数指数幂的性质、运算法则直接求解.
【答案】解:(1)原式.
(2)原式.
【点睛】本题考查了根式与分数指数幂的互化和有理数指数幂的性质、运算法则,属于基础题
13.已知函数
(1)求的值;
(2)解不等式
【答案】(1);(2).
【解析】(1)因为是上的奇函数,则
所以
所以
(2),所以,
解得,
所以不等式的解集为.
14.已知函数.
(Ⅰ)判断并证明函数的奇偶性;
(Ⅱ)判断并证明函数的单调性;
(Ⅲ)若,求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ),或.
【解析】(Ⅰ)是奇函数.
证明:因为函数的定义域为,又,
所以是奇函数.
(Ⅱ)函数为上的增函数.
证明:任取,则.
因为,所以,
又,所以,,
所以.
所以函数为上的增函数.
(Ⅲ)由,可得.
由函数是奇函数,可得.
又函数为上的增函数,所以,即.
解得
,或.
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精品试卷·第
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突破2.2
指数与指数函数重难点突破
一、考情分析
二、经验分享
【知识点1
根式的意义】
1.次方根
定义
一般地,如果=a,那么叫做a的次方根,其中n>1,且nN
个数
n是奇数
a>0
x>0
x仅有一个值,记为
a<0
x<0
n是偶数
a>0
x有两个值,且互为相反数,记为±
a<0
x不存在
根式
(1)定义:式子叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.
(2)性质:(n>1,且nN
)
①=a.
②=
【知识点2
分数指数幂及其运算】
1.分数指数幂
(1)意义:=,==,其中a>0,m,n∈N
,n>1;
(2)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义;
(3)规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.
2.有理数指数幂的运算性质
(1)=>0,r,sQ;
(2)=
>0,r,sQ;
(3)=>0,r,sQ.
3.无理数指数幂
一般地,无理数指数幂(>0,是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.
【知识点3
化简求值的方法与技巧】
在进行幂和根式的化简时,一般是先将根式化成幂的形式,并化小数指数幂为分数指数幂,并尽可能统一成分数指数幂的形式,再利用分数指数幂的性质进行化简、求值、计算.
结果必须化为最简的形式.
巧妙公式变形:完全平方公式,立方和、立方差等.
【知识点4
指数函数的概念】
1.指数函数的定义
一般地,函数(>0,且1)叫做指数函数,其中是自变量.它的结构特征:
底数:大于零且不等于1的常数;
指数:仅有自变量;
(3)系数:的系数是1.
指数函数的图象与性质
图象
性质
定义域
值域
过定点
单调性
在上是增函数
在上是减函数
奇偶性
非奇非偶函数
【知识点5
指数函数单调性的应用】
1.比较幂的大小
比较幂的大小的常用方法:
(1)对于底数相同,指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断;
(2)对于底数不同,指数相同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数图象的变化规律来判断;
(3)对于底数不同,且指数也不同的幂的大小比较,可先化为同底的两个幂,或者通过中间值来比较.
2.有关指数型函数的性质
(1)求复合函数的定义域
形如的函数的定义域就是的定义域.
求形如的函数的值域,应先求出的值域,再由单调性求出的值域.若的范围不确定,则需对进行讨论.
求形如的函数的值域,要先求出的值域,再结合确定出的值域.
(2)判断复合函数的单调性
令,,如果复合的两个函数与的单调性相同,那么复合后的函数在上是增函数;如果两者的单调性相异(即一增一减),那和复合函数在上是减函数.
(3)研究函数的奇偶性
一是定义法,即首先是定义域关于原点对称,然后分析式子与的关系,最后确定函数的奇偶性.
二是图象法,作出函数图象或从已知函数图象观察,若图象关于原点或轴对称,则函数具有奇偶性.
三、题型分析
(一)
指数与指数幂的运算
例1.下列关系式中,根式与分数指数幂互化正确的是  
A.
B.
C.
D.
【变式训练1】(2019秋?桐庐县期中)下列根式中,分数指数幂的互化,正确的是  
A.
B.
C.
D.
【变式训练2】(2019秋?景泰县校级期中)等于  
A.
B.2
C.
D.2
例2.(2019秋?凌源市月考)已知,则化为  
A.
B.
C.
D.
【变式训练1】2019秋?鸠江区校级期中)(1)化简:;
(2)求值:.
【变式训练2】(2019秋?温江区校级月考)计算:
(1);(2).
(二)
指数与指数幂的综合应用
例3.(2019秋?越秀区校级月考)已知,且,求的值.
【变式训练1】.(2018秋?湛江校级月考)已知,求的值.
例4.(2019秋?临沂期中)已知,.
(1)求证:是奇函数,并求的单调区间;
(2)分别计算(4)(2)(2)和(9)(3)(3)的值,由此概括出涉及函数和对所有不等于零的实数都成立的一个等式,并加以证明.
【变式训练1】.(2019秋?双桥区校级期末)设函数,若,试求:
(1)求(a)的值;
(2)求的值.
(三)
指数函数的图像
例5.(2019秋?峨山县校级期末)若,则函数与的图象可能是下列四个选项
中的  
A.
B.
C.
D.
【变式训练1】(2018秋?西城区校级期中)已知函数,则函数的图象大致是  
A.
B.
C.
D.
(四)
指数函数的定点与比较大小
例6.(2019秋?泸县校级期中)函数的图象恒过定点  
A.
B.
C.
D.
【变式训练1】(2019秋?承德期中)已知函数恒过定点,则函数不经过  
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
例7.(2018秋?泰山区校级期中)已知,,,则、、的大小关系是  
A.
B.
C.
D.
【变式训练1】.已知,则(

B.
C.
D.
(五)
指数函数复合函数
例8.(2018秋?马山县期中)已知函数.
(1)当时,求的值;
(2)当,时,求的最大值和最小值.
【变式训练1】.求函数的单调区间.
四、迁移应用
1.
函数图象一定过点
(
)
A
.(0,1)
B.(0,3)
C
.(1,0)
D.(3,0)
2.(2019·山东高三期中(理))已知集合0,,,则等于  
A.
B.
C.
D.0,
3.
如图①,②,③,④,根据图象可得a、b、c、d与1的大小关系为


A.
a<b<1<c<d
B.
b<a<1<d<c
C.
1<a<b<c<d
D.
a<b<1<d<c
4.(2019·湖南长沙一中高三高考模拟(文))已知函数,则下列判断正确的是(

A.函数是奇函数,且在R上是增函数
B.函数是偶函数,且在R上是增函数
C.函数是奇函数,且在R上是减函数
D.函数是偶函数,且在R上是减函数
5.(2019·华东师大二附中前滩学校高三月考)函数的图象可能是(
).
A.
B.
C.
D.
6.(浙江省杭州市学军中学2017-2018学年高一上期中)已知函数(其中),若的图像如右图所示,则函数的图像是(

A.
B.
C.
D.
7.(浙江省杭州市学军中学2017-2018学年高一上期中)如果,那么(

A.
B.
C.
D.
8.(改编自2017·山东高考真题(文))已知f(x)是定义在R上的偶函数,且.若当时,,则________.
9.【浙江省杭州高级中学2019届高三上学期期中】函数的定义域为__
_,值域为_
__.
10.(改编自上海市上海外国语大学附属大境中学2018-2019学年高一上期末)函数的单调递增区间为__________,单调递减区间为__________.
11.直线与函数
(且)的图象有且仅有两个公共点,则实数
的取值范围是

12.(2019秋?石河子校级月考)计算下列各式的值:
(1),
(2).
13.已知函数
(1)求的值;
(2)解不等式
14.已知函数.
(Ⅰ)判断并证明函数的奇偶性;
(Ⅱ)判断并证明函数的单调性;
(Ⅲ)若,求实数的取值范围.
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精品试卷·第
2

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