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突破2.2
对数与对数函数重难点突破
一、考情分析
二、经验分享
【知识点1
对数的概念与基本性质】
1.对数的概念
条件
结论
数叫做以为底的对数，叫做对数的底数，叫做真数
记法
2.常用对数和自然对数
(1)常用对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把记为.
(2)自然对数：在科学技术中常使用以无理数＝2.71828…为底数的对数，以为底的对数称为自然对数，并把记为.
3.对数与指数的关系
当,且时，.
4.对数的基本性质
(1)负数和零没有对数，即；
(2)；
(3)．
【知识点2
对数的运算性质】
1.运算性质
条件
,且，
性质
(nR)
2.换底公式
(a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)．
3.知识拓展
(1)可用换底公式证明以下结论：
①；②；③；④；⑤.
(2)对换底公式的理解：
换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子．
【知识点3
对数函数的定义】
1.对数函数的概念
一般地，把函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
2.两种特殊的对数函数
（1）常用对数函数：以10为底的对数函数.
（2）自然对数函数：以无理数e为底的对数函数.
【知识点4
对数函数的图象与性质】
对数函数的图象与性质列表如下：
a＞1
0＜a＜1
图象
性质
定义域
(0，＋∞)
值域
R
过定点
过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0
函数值的变化
当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0
当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，y＜0
单调性
是(0，＋∞)上的增函数
是(0，＋∞)上的减函数
温馨提示：掌握对数函数的图象和性质，其关键是理解图象的特征，利用几何直观掌握函数的性质.
【知识点5
反函数】
在指数函数中，x是自变量，y是x的函数，其定义域是R，值域是（0，+）；
在对数函数中，y是自变量，x是y的函数，其定义域是R，值域是（0，+），
像这样的两个函数叫作互为反函数.
三、题型分析
(一)
对数运算
例1.（四川省绵阳市南山中学2018-2019学年高一上期中）若3a=5b=225，则+=（ ）
A.
B.
C.
1
D.
2
【变式训练1】.（2018年新课标I卷文）已知函数，若，则________．
(二)
对数函数化简求值
例2．（1）2(lg)2+lg·lg5+.
（2）
【变式训练1】.（2019?西湖区校级模拟）计算：
（1）；（2）．
【变式训练2】.（2019春?大武口区校级月考）（1）（）0+（）+（）；
（2）
(三)
利用对数函数比较大小
例3.（2019年高考全国Ⅰ卷理）已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1】.（2019年高考天津理）已知，，，则的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
对数函数的图像
例4.
在同一直角坐标系中，与的图像可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1】.（2019年高考浙江）在同一直角坐标系中，函数，(a>0，且a≠1)的图象可能是（ ）
对数函数的定义域
定点
奇偶性等相关问题
例5.（2019·江西高三高考模拟（文））已知函数，若，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1】.（2019·陕西西安中学高三期中（文））已知函数的定义域为______．
【变式训练2】.（山东省烟台市2019届高三3月一模）若函数是定义在上的奇函数，，当时，，则实数（
）
A．
B．0
C．1
D．2
对数型复合函数
例6．（四川省绵阳市南山中学2018-2019学年高一上期中）设函数f（x）=1-，g（x）=ln（ax2-3x+1），若对任意的x1∈[0，+∞），都存在x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的最大值为（ ）
A.
2
B.
C.
4
D.
【变式训练1】.（浙江省杭州市学军中学2017-2018学年高一上期中）当时，函数的图像在x轴下方，那么实数a的取值范围是___
___.
【变式训练2】.（江西省景德镇一中2018-2019学年高一上期中）已知函数.
（1）当时，求f(x)的值域和单调减区间；
（2）若f(x)存在单调递增区间，求a的取值范围．
【变式训练3】.．已知函数（，且）在上的最大值为2.
（1）求的值；
（2）若，求使得成立的的取值范围.
四、迁移应用
1.(2019年高考北京文)下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是(
)
A．
B．y=
C．
D．
2.（2018届四川省南充市三诊）在同一坐标系中，函数与的图象都正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
3.（四川省绵阳市南山中学2018-2019学年高一上期中）若3a=5b=225，则+=（ ）
A.
B.
C.
1
D.
2
4.
在同一直角坐标系中，与的图像可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
5（2019年高考全国Ⅰ卷理）已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
6.（山东省德州市2019届高三第二次练习）设函数，则（
）
A．9
B．11
C．13
D．15
7.（2019·北京高考模拟（理））若函数
则函数的值域是（
）
A．
B．
C．
D．
8.（云南省玉溪市第一中学2019届高三第二次调研）若，则的定义域为____________.
9.（2019年高考全国Ⅱ卷理）已知是奇函数，且当时，.若，则__________．
10．（浙江省2019届高三高考全真模拟（二)）若函数（且）的值域为，则________；实数的取值范围为________.
11．（浙江省宁波市2019届高三上期末）已知实数且若，则____；若，则实数的取值范围是___
12（浙江省杭州高级中学2019届高三上期中）已知函数，则___，若，则所有符合条件的组成的集合为____.
13．已知函数（，且）在上的最大值为2.
（1）求的值；
（2）若，求使得成立的的取值范围.
14.
已知函数且．
当时，，求实数x的取值范围．
若在上的最大值大于0，求a的取值范围．
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精品试卷·第
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对数与对数函数重难点突破
一、考情分析
二、经验分享
【知识点1
对数的概念与基本性质】
1.对数的概念
条件
结论
数叫做以为底的对数，叫做对数的底数，叫做真数
记法
2.常用对数和自然对数
(1)常用对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把记为.
(2)自然对数：在科学技术中常使用以无理数＝2.71828…为底数的对数，以为底的对数称为自然对数，并把记为.
3.对数与指数的关系
当,且时，.
4.对数的基本性质
(1)负数和零没有对数，即；
(2)；
(3)．
【知识点2
对数的运算性质】
1.运算性质
条件
,且，
性质
(nR)
2.换底公式
(a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)．
3.知识拓展
(1)可用换底公式证明以下结论：
①；②；③；④；⑤.
(2)对换底公式的理解：
换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子．
【知识点3
对数函数的定义】
1.对数函数的概念
一般地，把函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
2.两种特殊的对数函数
（1）常用对数函数：以10为底的对数函数.
（2）自然对数函数：以无理数e为底的对数函数.
【知识点4
对数函数的图象与性质】
对数函数的图象与性质列表如下：
a＞1
0＜a＜1
图象
性质
定义域
(0，＋∞)
值域
R
过定点
过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0
函数值的变化
当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0
当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，y＜0
单调性
是(0，＋∞)上的增函数
是(0，＋∞)上的减函数
温馨提示：掌握对数函数的图象和性质，其关键是理解图象的特征，利用几何直观掌握函数的性质.
【知识点5
反函数】
在指数函数中，x是自变量，y是x的函数，其定义域是R，值域是（0，+）；
在对数函数中，y是自变量，x是y的函数，其定义域是R，值域是（0，+），
像这样的两个函数叫作互为反函数.
三、题型分析
(一)
对数运算
例1.（四川省绵阳市南山中学2018-2019学年高一上期中）若3a=5b=225，则+=（ ）
A.
B.
C.
1
D.
2
【答案】A
【解析】
则
故选：A．
【变式训练1】.（2018年新课标I卷文）已知函数，若，则________．
【答案】-7
【解析】根据题意有，可得，所以，故答案是.
(二)
对数函数化简求值
例2．（1）2(lg)2+lg·lg5+.
（2）
【答案】（1）1；（2）
【解析】（1）原式=
=
=.
（2）原式
.
【变式训练1】.（2019?西湖区校级模拟）计算：
（1）；（2）．
【分析】（1）进行对数的运算即可；
（2）进行指数式和根式的运算即可．
【答案】解：（1）原式＝；
（2）原式＝．
【点睛】考查对数的运算性质，以及指数式和根式的运算．
【变式训练2】.（2019春?大武口区校级月考）（1）（）0+（）+（）；
（2）
【分析】（1）进行分数指数幂的运算即可；
（2）进行对数的运算即可．
【答案】解：（1）原式＝；
（2）原式＝．
【点睛】考查分数指数幂和对数的运算，以及对数的定义．
(三)
利用对数函数比较大小
例3.（2019年高考全国Ⅰ卷理）已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
即
则．
故选B．
【变式训练1】.（2019年高考天津理）已知，，，则的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为，
，
，即，
所以.
故选A.
对数函数的图像
例4.
在同一直角坐标系中，与的图像可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为的图象为过点的递增的指数函数图象，故排除选项；
的图象为过点的递减的函数图象，故排除选项，故选B．
【变式训练1】.（2019年高考浙江）在同一直角坐标系中，函数，(a>0，且a≠1)的图象可能是（ ）
【答案】D
【解析】当时，函数的图象过定点且单调递减，则函数的图象过定点且单调递增，函数的图象过定点且单调递减，D选项符合；
当时，函数的图象过定点且单调递增，则函数的图象过定点且单调递减，函数的图象过定点且单调递增，各选项均不符合.
综上，选D.
对数函数的定义域
定点
奇偶性等相关问题
例5.（2019·江西高三高考模拟（文））已知函数，若，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由函数的解析式可得函数为奇函数，绘制函数图像如图所示，
则不等式即，即，
观察函数图像可得实数的取值范围是.
故选：A.
【变式训练1】.（2019·陕西西安中学高三期中（文））已知函数的定义域为______．
【答案】
【解析】要是函数有意义，则需，解得，故函数定义域为.
【变式训练2】.（山东省烟台市2019届高三3月一模）若函数是定义在上的奇函数，，当时，，则实数（
）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】C
【解析】∵是定义在上的奇函数，，
且时，，
∴，
∴．
故选C．
对数型复合函数
例6．（四川省绵阳市南山中学2018-2019学年高一上期中）设函数f（x）=1-，g（x）=ln（ax2-3x+1），若对任意的x1∈[0，+∞），都存在x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的最大值为（ ）
A.
2
B.
C.
4
D.
【答案】B
【解析】设的值域为A，
∵在[0，+∞）上的值域为，
∴?A，
∴至少要取遍（0，1]中的每一个数，
又
∴实数a需要满足a≤0或
解得.
∴故选：B．
【变式训练1】.（浙江省杭州市学军中学2017-2018学年高一上期中）当时，函数的图像在x轴下方，那么实数a的取值范围是___
___.
【答案】
【解析】由题意得，当时，函数的图象在轴下方，
当，时，且，所以，不满足题意；
当，时，函数为单调递增函数，
所以，
要使得函数的图象在轴下方，则，即，
即，解得，所以实数的取值范围是.
【变式训练2】.（江西省景德镇一中2018-2019学年高一上期中）已知函数.
（1）当时，求f(x)的值域和单调减区间；
（2）若f(x)存在单调递增区间，求a的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）当时，，
设，
由，得，得，即函数的定义域为，
此时，
则，即函数的值域为，
要求的单调减区间，等价为求的单调递减区间，
的单调递减区间为，
的单调递减区间为．
（2）若存在单调递增区间，
则当，则函数存在单调递增区间即可，则判别式得或舍，
当，则函数存在单调递减区间即可，则判别式得或，此时不成立，
综上实数的取值范围是．
【变式训练3】.．已知函数（，且）在上的最大值为2.
（1）求的值；
（2）若，求使得成立的的取值范围.
【答案】（1）或；（2）.
【解析】（1）由题意，当时，函数在上单调递增，
因此，解得；
当时，函数在上单调递减，
因此，解得.
综上可知：或.
（2）由不等式，即，
又，根据对数函数的性质，可得，
即，解得.
四、迁移应用
1.(2019年高考北京文)下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是(
)
A．
B．y=
C．
D．
【答案】A
【解析】易知函数，在区间上单调递减，
函数在区间上单调递增.
故选A.
2.（2018届四川省南充市三诊）在同一坐标系中，函数与的图象都正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】因为，.所以函数单调递减，排除B，D.
与的图象关于轴对称.排除A.
故选A.
3.（四川省绵阳市南山中学2018-2019学年高一上期中）若3a=5b=225，则+=（ ）
A.
B.
C.
1
D.
2
【答案】A
【解析】
则
故选：A．
4.
在同一直角坐标系中，与的图像可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为的图象为过点的递增的指数函数图象，故排除选项；
的图象为过点的递减的函数图象，故排除选项，故选B．
5（2019年高考全国Ⅰ卷理）已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
即
则．
故选B．
6.（山东省德州市2019届高三第二次练习）设函数，则（
）
A．9
B．11
C．13
D．15
【答案】B
【解析】∵函数，
∴=2+9=11．
故选B．
7.（2019·北京高考模拟（理））若函数
则函数的值域是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】画出函数的图像如下图所示，由图可知，函数的值域为，故选A.
8.（云南省玉溪市第一中学2019届高三第二次调研）若，则的定义域为____________.
【答案】
【解析】要使函数有意义，需，
解得.
则的定义域为.
9.（2019年高考全国Ⅱ卷理）已知是奇函数，且当时，.若，则__________．
【答案】
【解析】由题意知是奇函数，且当时，，
又因为，，
所以，
两边取以为底数的对数，得，
所以，即．
10．（浙江省2019届高三高考全真模拟（二)）若函数（且）的值域为，则________；实数的取值范围为________.
【答案】5
【解析】因为，所以.当时，是减函数，所以.若，函数是减函数，显然当时，，不符合题意；若，函数是增函数，所以，要想函数的值域为，只需，即，所以，实数的取值范围为.
11．（浙江省宁波市2019届高三上期末）已知实数且若，则____；若，则实数的取值范围是___
【答案】
【解析】∵实数且，，∴，∴，
∴，
∵，∴当时，；当时，无解，
综上的取值范围是．
故答案为，．
12（浙江省杭州高级中学2019届高三上期中）已知函数，则___，若，则所有符合条件的组成的集合为____.
【答案】0
【解析】（1）∵，
∴，
（2）如图，作出函数的图象，若，
则，
∴
故答案为：
13．已知函数（，且）在上的最大值为2.
（1）求的值；
（2）若，求使得成立的的取值范围.
【答案】（1）或；（2）.
【解析】（1）由题意，当时，函数在上单调递增，
因此，解得；
当时，函数在上单调递减，
因此，解得.
综上可知：或.
（2）由不等式，即，
又，根据对数函数的性质，可得，
即，解得.
14.
已知函数且．
当时，，求实数x的取值范围．
若在上的最大值大于0，求a的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）当a=3时，，
，得
（2）∵a＞0，∴在定义域内单调递增，
当a＞1时，函数在上单调递增，，
得即a＞，又a＞1，故a＞1；
当0
得；
又因为在上恒成立，故，即
综上：的取值范围
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