中小学教育资源及组卷应用平台
突破3.1函数与方程重难点突破
一、考情分析
二、经验分享
【知识点1
二分法求方程的根的近似值】
二分法的概念
对于在区间上连续不断且
的函数，通过不断地函数的零点所在的区间
，使区间的两个端点
，进而得到零点近似值的方法叫二分法，由函数的零点与相应方程的根的关系，可用二分法来求
。[来源:学|科|网Z|X|X|K]
2、用二分法求函数
零点近似值的步骤（给定精确度）
（1）确定区间，使
。
（2）求区间的中点，
。
（3）计算
若，则
若，则令（此时零点
）；
若则令（此时零点
）；
（4）继续实施上述步骤，直到区间
，函数的零点总位于区间
上，当和按照给定精度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止。这时函数的近似零点满足给定的精确度。
【知识点2
方程的根与函数的零点】
1.对于函数,我们把使的实数x叫做函数
的
.
2.函数的零点就是方程
的
，也就是函数
的图像与x轴的交点的
.
3.方程
有实根函数的图像与x轴有
函数
有
.
4.函数零点的存在性的判定方法
5.如果函数在[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有
0，那么在区间（a,b）内有零点，即存在，使得
0，这个c就是方程的根.
三、题型分析
(一)
二分法求函数的近似值
例1．（上海市上海外国语大学附属大境中学2018-2019学年高一上期末）在下列区间中，函数的零点所在的一个区间为（
）
A.
(－2,－1)
B.
(－1,0)
C.
(0,1)
D.(1,2)
【答案】B
【解析】函数是单调递增的，根据函数零点存在定理得到：,,所以函数零点在之间.
故答案为：B.
【变式训练1】（浙江省杭州市学军中学2017-2018学年高一上期中）
函数存在零点的区间是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】∵在上单调递增，以上集合均属于，根据零点存在定理，
∴，易知选项符合条件，∴选择．
【变式训练2】（新疆疏勒县八一中学2018-2019学年高二上期末）
函数的一个零点所在的区间是(
)
A.
(0,1)
B.
(1,2)
C.
(2,3)
D.
(3,4)
【答案】B
【解析】由题得，，
所以所以函数的一个零点所在的区间是.故选：B
【变式训练3】（浙江省9＋1高中联盟2017-2018学年高一上期中联考）已知函数f(x)是R上的单调函数，且f(x)的零点同时在区间内，则与f(0)符号相同的是（
）
A．f(1)
B．f(2)
C．
D．f(4)
【答案】A
【解析】由二分法的过程可知，
（1）零点在内，则有，不妨设，，取中点2；
（2）零点在内，则有，则，，取中点1；
（3）零点在内，则有，则，，取中点；
（4）零点在内，则有，则，.
所以与符号相同的是，故选A.
(二)
方程的根与函数的零点
例2．（四川省绵阳市南山中学2018-2019学年高一上期中）
关于x的方程2015x=有实数根，则实数a的取值范围为______．
【答案】（-，5）
【解析】设，则y的值域为（0，+∞），即
【变式训练1】（2019·北京高考模拟（文））已知函数若函数存在零点，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】指数函数，没有零点，有唯一的零点，
所以若函数存在零点，须有零点，即，则，故选：B.
【变式训练2】（四川省绵阳市南山中学2018-2019学年高一上期中）
已知函数f（x）=x+2x，g（x）=x+lnx，f（x）=x+的零点分别为，则的大小关系为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】在同一直角坐标系中，作出图象，如图
观察图象可知，函数的零点分别为，满足
故选：B．
(三)
综合应用（多个零点或交点问题）
例3．（2015·湖南高考真题（文））若函数有两个零点，则实数的取值范围是_____.
【答案】
【解析】画出的图像，和如图，要有两个交点，那么
【变式训练1】函数是定义在上的奇函数，当时，，则方程在上的所有实根之和为（
）
【答案】：C
【解析】：函数是定义在上的奇函数，在其定义域上也是奇函数.方程在
上的所有实根之和为0，故问题转化为求方程在上的所有实根之和.
当时，，故，而，故当时，方程成立；可判断当时，恒成立，故方程无解.故方程在上的所有实根之和为
【点评:】
由奇函数可将问题转化为求方程在上的所有实根之和，从而解得.
【变式训练2】．设，则下列关系式一定成立的是（
）
【答案】D
【解析】由题，，作出的图像，如图所示，由可知三点位置如图所示，即，又为增函数，故，错误；又，即，故选。
【变式训练3】．（2013安徽）已知函数有两个极值点，若
，则关于的方程的不同实根个数为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【解析】，是方程的两根，
由，则又两个使得等式成立，
，，其函数图象如下：
如图则有3个交点，故选A.
四、迁移应用
1.已知是定义在上的奇函数，是偶函数，当时，，则(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】：B
【解析】因为是定义在上的奇函数，所以，
因为是偶函数，所以，，，
，，
2.
已知函数满足，当时，，且，若，，则（
）
A.
B.
C.可能为
D.可正可负
【答案】：B
【解析】令，变为，所以该函数关于点对称.又因为，所以，则单调递减.
又，，，，所以.
3.设是连续的偶函数，且当时，是单调函数，则满足的所有之和为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】：C
【解析】由，是连续的偶函数且是单调函数，或，整理得或，故，，故满足的所有之和为
4．已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围为（
）
【答案】D
【解析】由题，作出与的图像，由有四个解，那么，如图，易知关于对称，即，令，解得，即互为倒数，由，得，故，易知所求在为减函数，解得，故选。
5.
已知定义在上的奇函数，满足当时，则关于的方程满足（
）
对任意,恰有一解
对任意,恰有两个不同解
存在,有三个不同解
存在,无解
【答案】：
【解析】：
当时，，.
，时，；当时，；
在上递减，在上递增，，在上递增.
所以时，时，
又在上的奇函数，其图象关于原点对称，结合图象知，对任意,方程都恰有一解.故选A.
【点评】:
先通过研究函数在上的单调性，再根据奇偶性得函数图象的对称性，最后结合图象可得.
6．（四川省绵阳市南山中学2018-2019学年高一上期中）
在用二次法求方程3x+3x-8=0在（1，2）内近似根的过程中，已经得到f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（ ）
A.
(1,1.25)
B.
(1.25,1.5)
C.
(1.5,2)
D.
不能确定
【答案】B
【解析】∵f（1）＜0，f（1.5）＞0，
∴在区间（1，1.5）内函数存在一个零点，
又∵f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，
∴在区间（1.25，1.5）内函数存在一个零点，
由此可得方程的根落在区间（1.25，1.5）内，
故选：B．
7.已知函数在上单调递减，且关于的方程恰有两个不相等的实数根，则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A.
【解析】由题意得
解得
，
所以的图像如图所示、
由图可得当时只有一个交点，所以当时也只有一个交点
当即时
只有一个解所以，解得
当即时由图可得
恒成立所以综上所述：
8.（天津市第一中学2017-2018学年高一上期末）
已知函数，，的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（
）．
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】令，则．令，则．
令，则,．
所以函数，，的零点可以转化为求函数与函数与函数，,的交点，如图所示，可知，，
∴．
故选:D．
9.已知函数的定义域是，函数，若方程有且仅有个不同的实数解，则这个实数解之和为_________.
【答案】21
【解析】因为，令，，关于点对称，又方程有且仅有个不同的实数解，所以有一个根为3，其余六个根关于对称。所以则这个实数解之和为
10.（北京高一期末）已知函数，，的图象如下图所示，则，，的大小关系为__________．（用“”号连接）
【答案】
【解析】函数y=ax，y=xb，y=logcx的图象如图所示，
由指数函数y=ax，x=2时，y∈（1，2）；对数函数y=logcx，x=2，y∈（0，1）；
幂函数y=xb，x=2，y∈（1，2）；
可得a∈（1，2），b∈（0，1），c∈（2，+∞）．可得b＜a＜c故答案为：b＜a＜c．
11．（改编自2018年理新课标I卷）已知函数
．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
.
【答案】[–1，+∞）
【解析】画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故答案为[–1，+∞）.
12.（改编自2019年高考天津文）已知函数若关于x的方程恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为
.
【答案】
【解析】作出函数的图象，以及直线，如图，
关于x的方程恰有两个互异的实数解，
即为和的图象有两个交点，
平移直线，考虑直线经过点和时，有两个交点，可得或，
考虑直线与在时相切，，
由，解得（舍去），所以的取值范围是.
13.（浙江省杭州市学军中学2017-2018学年高一上期中）
已知函数，
(1)当时，求f(x)在区间[1,6]上最大值和最小值；
（2）如果方程f(x)=0有三个不相等的实数解，求的取值范围.
【答案】（1）最大值为，最小值为.（2）.
【解析】（1）因为，则
所以，
当时，函数为单调递增函数，所以，；
当时，函数是先减后增的函数，所以，，
所以函数的最大值为，最小值为.
（2）设，则方程，等价于有三个实数根，
此时，
①若，因为方程有三个不相等的实根，
故时，方程有两个不相等的实根，
时，方程有一个不相等的实根，
所以，解得，
不妨设，则，
所以，
所以的取值范围是；
②若，当时，方程的判别式小于，
不符合题意；
③若时，显然不合题意，
故的取值范围是.
14.（上海市上海外国语大学附属大境中学2018-2019学年高一上期末）
已知在是恒有.
（1）若，求；
（2）设有且仅有一个实数，使得，求函数f(x)的解析式.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）因为对任意，有，
所以，
又由，得，即.
（2）因为对任意，有，
又因为有且只有一个实数，使得，
所以对任意，有，
在上式中令，有，
又因为，所以，故或
若，则，即，
但方程有两个不相等实根，与题设条件矛盾，故
若，则有，即，
此时有且仅有一个实数1.
综上所述，所求函数为
.
15.
设是实数，函数．
（1）求证：函数不是奇函数；
（2）当时，求满足的的取值范围；
（3）求函数的值域（用表示）．
【答案】（1）略；（2）（3）略.
【解析】（1）证明：由定义域为，又，故不是奇函数．
（2）由，当时，，由，即，
即，又，即，即，
①，即时，恒成立.
②若，即时，由，得，故的取值范围为；
（3）令，则原函数为，
①若，则在上为增函数，，故的值域为.
②若，则，
当时，，若，则在上为减函数，
则的值域为，若时，，当时，的值域为，
当时，的值域为.
当时，，显然在上为增函数，则的值域为.
综上所述，当时，函数的值域为；
当时，函数的值域为；当时，函数的值域为.
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
突破3.1函数与方程重难点突破
一、考情分析
二、经验分享
【知识点1
二分法求方程的根的近似值】
二分法的概念
对于在区间上连续不断且
的函数，通过不断地函数的零点所在的区间
，使区间的两个端点
，进而得到零点近似值的方法叫二分法，由函数的零点与相应方程的根的关系，可用二分法来求
。[来源:学|科|网Z|X|X|K]
2、用二分法求函数
零点近似值的步骤（给定精确度）
（1）确定区间，使
。
（2）求区间的中点，
。
（3）计算
若，则
若，则令（此时零点
）；
若则令（此时零点
）；
（4）继续实施上述步骤，直到区间
，函数的零点总位于区间
上，当和按照给定精度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止。这时函数的近似零点满足给定的精确度。
【知识点2
方程的根与函数的零点】
1.对于函数,我们把使的实数x叫做函数
的
.
2.函数的零点就是方程
的
，也就是函数
的图像与x轴的交点的
.
3.方程
有实根函数的图像与x轴有
函数
有
.
4.函数零点的存在性的判定方法
5.如果函数在[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有
0，那么在区间（a,b）内有零点，即存在，使得
0，这个c就是方程的根.
三、题型分析
(一)
二分法求函数的近似值
例1．（上海市上海外国语大学附属大境中学2018-2019学年高一上期末）在下列区间中，函数的零点所在的一个区间为（
）
A.
(－2,－1)
B.
(－1,0)
C.
(0,1)
D.(1,2)
【变式训练1】（浙江省杭州市学军中学2017-2018学年高一上期中）
函数存在零点的区间是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2】（新疆疏勒县八一中学2018-2019学年高二上期末）
函数的一个零点所在的区间是(
)
A.
(0,1)
B.
(1,2)
C.
(2,3)
D.
(3,4)
【变式训练3】（浙江省9＋1高中联盟2017-2018学年高一上期中联考）已知函数f(x)是R上的单调函数，且f(x)的零点同时在区间内，则与f(0)符号相同的是（
）
A．f(1)
B．f(2)
C．
D．f(4)
(二)
方程的根与函数的零点
例2．（四川省绵阳市南山中学2018-2019学年高一上期中）
关于x的方程2015x=有实数根，则实数a的取值范围为______．
【变式训练1】（2019·北京高考模拟（文））已知函数若函数存在零点，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2】（四川省绵阳市南山中学2018-2019学年高一上期中）
已知函数f（x）=x+2x，g（x）=x+lnx，f（x）=x+的零点分别为，则的大小关系为（ ）
A.
B.
C.
D.
(三)
综合应用（多个零点或交点问题）
例3．（2015·湖南高考真题（文））若函数有两个零点，则实数的取值范围是_____.
【变式训练1】函数是定义在上的奇函数，当时，，则方程在上的所有实根之和为（
）
【变式训练2】．设，则下列关系式一定成立的是（
）
【变式训练3】．（2013安徽）已知函数有两个极值点，若
，则关于的方程的不同实根个数为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
四、迁移应用
1.已知是定义在上的奇函数，是偶函数，当时，，则(
)
A.
B.
C.
D.
2.
已知函数满足，当时，，且，若，，则（
）
A.
B.
C.可能为
D.可正可负
3.设是连续的偶函数，且当时，是单调函数，则满足的所有之和为（
）
A.
B.
C.
D.
4．已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围为（
）
5.
已知定义在上的奇函数，满足当时，则关于的方程满足（
）
对任意,恰有一解
对任意,恰有两个不同解
存在,有三个不同解
存在,无解
6．（四川省绵阳市南山中学2018-2019学年高一上期中）
在用二次法求方程3x+3x-8=0在（1，2）内近似根的过程中，已经得到f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（ ）
A.
(1,1.25)
B.
(1.25,1.5)
C.
(1.5,2)
D.
不能确定
7.已知函数在上单调递减，且关于的方程恰有两个不相等的实数根，则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
8.（天津市第一中学2017-2018学年高一上期末）
已知函数，，的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（
）．
A.
B.
C.
D.
9.已知函数的定义域是，函数，若方程有且仅有个不同的实数解，则这个实数解之和为_________.
10.（北京高一期末）已知函数，，的图象如下图所示，则，，的大小关系为__________．（用“”号连接）
11．（改编自2018年理新课标I卷）已知函数
．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
.
12.（改编自2019年高考天津文）已知函数若关于x的方程恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为
.
13.（浙江省杭州市学军中学2017-2018学年高一上期中）
已知函数，
(1)当时，求f(x)在区间[1,6]上最大值和最小值；
（2）如果方程f(x)=0有三个不相等的实数解，求的取值范围.
14.（上海市上海外国语大学附属大境中学2018-2019学年高一上期末）
已知在是恒有.
（1）若，求；
（2）设有且仅有一个实数，使得，求函数f(x)的解析式.
15.
设是实数，函数．
（1）求证：函数不是奇函数；
（2）当时，求满足的的取值范围；
（3）求函数的值域（用表示）．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
