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重难点
函数与方程及函数的应用重难点考点与题型突破
一、考情分析
二、经验分享
三、题型分析
(一)
方程的根与函数的零点
1.对于函数,我们把使的实数x叫做函数
的
.
2.函数的零点就是方程
的
，也就是函数
的图像与x轴的交点的
.
3.方程
有实根函数的图像与x轴有
函数
有
.
4.函数零点的存在性的判定方法
5.如果函数在[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有
0，那么在区间（a,b）内有零点，即存在，使得
0，这个c就是方程的根.
例1．若函数有两个零点，则实数的取值范围是_____.
【变式训练1】．定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程有且仅有6个不等的实数根，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
例2.（天津市第一中学2017-2018学年高一上期末）
已知函数，，的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（
）．
A.
B.
C.
D.
【变式训练1】．（四川省绵阳市南山中学2018-2019学年高一上期中）
已知函数f（x）=x+2x，g（x）=x+lnx，f（x）=x+的零点分别为，则的大小关系为（ ）
A.
B.
C.
D.
【变式训练2】．已知函数
．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
.
【变式训练3】．改编自2019年高考天津文）已知函数若关于x的方程恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为
.（6分）
(二)
二分法求方程的根的近似值
二分法的概念
对于在区间上连续不断且
的函数，通过不断地函数的零点所在的区间
，使区间的两个端点
，进而得到零点近似值的方法叫二分法，由函数的零点与相应方程的根的关系，可用二分法来求
。[来源:学|科|网Z|X|X|K]
2、用二分法求函数
零点近似值的步骤（给定精确度）
（1）确定区间，使
。
（2）求区间的中点，
。
（3）计算
若，则
若，则令（此时零点
）；
若则令（此时零点
）；
（4）继续实施上述步骤，直到区间
，函数的零点总位于区间
上，当和按照给定精度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止。这时函数的近似零点满足给定的精确度。
例3．（新疆疏勒县八一中学2018-2019学年高二上期末）
函数的一个零点所在的区间是(
)
A.
(0,1)
B.
(1,2)
C.
(2,3)
D.
(3,4)
【变式训练1．（浙江省9＋1高中联盟2017-2018学年高一上期中联考）已知函数f(x)是R上的单调函数，且f(x)的零点同时在区间内，则与f(0)符号相同的是（
）
A．f(1)
B．f(2)
C．
D．f(4)
(三)
几种不同类型增长的函数模型
例4．某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100，水温与时间近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度与时间近似满足函数的关系式为
（为常数）,
通常这种热饮在40时，口感最佳，某天室温为时，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为（
）
A．35
B．30
C．25
D．20
【变式训练1．（北京高一期末）已知函数，，的图象如下图所示，则，，的大小关系为__________．（用“”号连接）
四、迁移应用
1.【成都树德中学高2020届
高一上10月月考试题】
为奇函数，为偶函数，且,则的值为（
）
A．1
B.
3
C.4
D.
6
2．【成都树德中学高2020届
高一上10月月考试题，2】
已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
3．【四川省成都市东辰国际学校2019-2020学年上学期高一数学第一学月月考卷，7】
设函数，则的值为（
）
A．a
B．b
C．a、b中较小的数
D．a、b中较大的数
4.
【四川省成都市东辰国际学校2019-2020学年上学期高一数学第一学月月考卷，5】
已知函数，若有最小值-2，则的最大值为
（
）
A．-1
B.
0
C.1
D.
2
5.【四川成都外国语学校高2020届
高一上10月月考试题，6】
定义在R上的偶函数，当时，，则
的大小为
（
）
A．
B．
C．
D．
6.【2017年安徽理科高考数学试题，6】
已知函数有两个极值点，若，则关于的方程的不同实根个数为(
)
A．3
B．4
C．5
D．6
7．【四川成都外国语学校高2020届
高一上10月月考试题，10】
函数的零点个数为(
)
A．0
B．1
C．2
D．3
8.【四川成都华西中学校高2020届
高一上10月月考试题，9】
方程的根为，方程的根为，则(
)
A.
B.
C.
D.
【2016年北京理科高考数学试题，7】
已知函数，若关于的方程有两个不同的实根，则数的取值范围是_______．
10．对于实数和，定义运算“
”：
设=，且关于的方程为（∈R）恰有三个互不相等的实数根，则的取值范围是____________．
11．已知，函数，当时，不等式的解集是______．若函数恰有2个零点，则的取值范围是____．
12、已知函数若函数有两个不同的零点,函数有两个不同的零点
(1).,求的值;
(2).求的最小值
【2018天津高考理科数学，10】
已知函数
函数
，其中
，若函数
恰有4个零点，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
14.【2019全国Ⅱ，理，12】设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
15.【四川省成都七中2020届高三上半期考试，理科数学，12】
函数是定义在R上的偶函数，周期是4，当时，，则方程的根个数为（
）
A.3
B.4
C.5
D.6
16．已知函数其中．若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则的取值范围是_______．
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重难点
函数与方程及函数的应用重难点考点与题型突破
一、考情分析
二、经验分享
三、题型分析
(一)
方程的根与函数的零点
1.对于函数,我们把使的实数x叫做函数
的
.
2.函数的零点就是方程
的
，也就是函数
的图像与x轴的交点的
.
3.方程
有实根函数的图像与x轴有
函数
有
.
4.函数零点的存在性的判定方法
5.如果函数在[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有
0，那么在区间（a,b）内有零点，即存在，使得
0，这个c就是方程的根.
例1．若函数有两个零点，则实数的取值范围是_____.
【答案】
【解析】画出的图像，和如图，要有两个交点，那么
【变式训练1】．定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程有且仅有6个不等的实数根，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
当时，，为偶函数
画出函数图像，如图所示：
根据图像知：
当时：无解；
当时：有2个根；
当时：有4个根；
当时：有2个根；
当时：有1个根；
当时：无解；
有且仅有6个不等的实数根
和满足：
或
则满足：
则满足：
综上所述：
故选：
例2.（天津市第一中学2017-2018学年高一上期末）
已知函数，，的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（
）．
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】令，则．
令，则．
令，则,．
所以函数，，的零点可以转化为求函数与函数与函数，,的交点，
如图所示，可知，，
∴．
故选:D．
【变式训练1】．（四川省绵阳市南山中学2018-2019学年高一上期中）
已知函数f（x）=x+2x，g（x）=x+lnx，f（x）=x+的零点分别为，则的大小关系为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】在同一直角坐标系中，作出图象，如图
观察图象可知，函数的零点分别为，满足
故选：B．
【变式训练2】．已知函数
．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
.
【答案】[–1，+∞）
【解析】画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故答案为[–1，+∞）.
【变式训练3】．改编自2019年高考天津文）已知函数若关于x的方程恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为
.（6分）
【答案】
【解析】作出函数的图象，
以及直线，如图，
关于x的方程恰有两个互异的实数解，
即为和的图象有两个交点，
平移直线，考虑直线经过点和时，有两个交点，可得或，
考虑直线与在时相切，，
由，解得（舍去），
所以的取值范围是.
(二)
二分法求方程的根的近似值
二分法的概念
对于在区间上连续不断且
的函数，通过不断地函数的零点所在的区间
，使区间的两个端点
，进而得到零点近似值的方法叫二分法，由函数的零点与相应方程的根的关系，可用二分法来求
。[来源:学|科|网Z|X|X|K]
2、用二分法求函数
零点近似值的步骤（给定精确度）
（1）确定区间，使
。
（2）求区间的中点，
。
（3）计算
若，则
若，则令（此时零点
）；
若则令（此时零点
）；
（4）继续实施上述步骤，直到区间
，函数的零点总位于区间
上，当和按照给定精度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止。这时函数的近似零点满足给定的精确度。
例3．（新疆疏勒县八一中学2018-2019学年高二上期末）
函数的一个零点所在的区间是(
)
A.
(0,1)
B.
(1,2)
C.
(2,3)
D.
(3,4)
【答案】B
【解析】由题得，
，
所以
所以函数的一个零点所在的区间是.
故选：B
【变式训练1．（浙江省9＋1高中联盟2017-2018学年高一上期中联考）已知函数f(x)是R上的单调函数，且f(x)的零点同时在区间内，则与f(0)符号相同的是（
）
A．f(1)
B．f(2)
C．
D．f(4)
【答案】A
【解析】由二分法的过程可知，
（1）零点在内，则有，不妨设，，取中点2；
（2）零点在内，则有，则，，取中点1；
（3）零点在内，则有，则，，取中点；
（4）零点在内，则有，则，.
所以与符号相同的是，故选A.
(三)
几种不同类型增长的函数模型
例4．某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100，水温与时间近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度与时间近似满足函数的关系式为
（为常数）,
通常这种热饮在40时，口感最佳，某天室温为时，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为（
）
A．35
B．30
C．25
D．20
【答案】C
【解析】由题意，当0≤t≤5时，函数图象是一个线段，当t≥5时，函数的解析式为，
点（5，100）和点（15，60），代入解析式，
有，
解得a＝5,b=20，
故函数的解析式为，t≥5．令y=40，解得t=25,
∴最少需要的时间为25min．
故选C.
【变式训练1．（北京高一期末）已知函数，，的图象如下图所示，则，，的大小关系为__________．（用“”号连接）
【答案】
【解析】函数y=ax，y=xb，y=logcx的图象如图所示，
由指数函数y=ax，x=2时，y∈（1，2）；
对数函数y=logcx，x=2，y∈（0，1）；
幂函数y=xb，x=2，y∈（1，2）；
可得a∈（1，2），b∈（0，1），c∈（2，+∞）．
可得b＜a＜c
故答案为：b＜a＜c．
四、迁移应用
1.【成都树德中学高2020届
高一上10月月考试题】
为奇函数，为偶函数，且,则的值为（
）
A．1
B.
3
C.4
D.
6
【答案】B
【解析】由题意得：
所以，，当时，，所以正确答案是B.
2．【成都树德中学高2020届
高一上10月月考试题，2】
已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】由题意得：，令时，，=
所以，正确答案是B
3．【四川省成都市东辰国际学校2019-2020学年上学期高一数学第一学月月考卷，7】
设函数，则的值为（
）
A．a
B．b
C．a、b中较小的数
D．a、b中较大的数
【答案】C
【解析】分析：如果,原式=，a是较小的数。
如果，原式=，
b是较小的数。
【点睛】：考查分段函数，分类讨论。
4.
【四川省成都市东辰国际学校2019-2020学年上学期高一数学第一学月月考卷，5】
已知函数，若有最小值-2，则的最大值为
（
）
A．-1
B.
0
C.1
D.
2
【答案】C
【解析】由题意得：已知，求对称轴，开口向下，
可以知道，函数在是增函数，当时，，当时，1，所以C为正确答案
5.【四川成都外国语学校高2020届
高一上10月月考试题，6】
定义在R上的偶函数，当时，，则
的大小为
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意得：在上是增函数，函数又是偶函数，所以在是减函数.所以从纵坐标来看，离原点越远的函数值越大。所以，正确答案是A.
6.【2017年安徽理科高考数学试题，6】
已知函数有两个极值点，若，则关于的方程的不同实根个数为(
)
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【解析】，是方程的两根，
由，则又两个使得等式成立，
，，其函数图象如下：
如图则有3个交点，故选A.
7．【四川成都外国语学校高2020届
高一上10月月考试题，10】
函数的零点个数为(
)
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【解析】因为在内单调递增，又，
所以在内存在唯一的零点．
8.【四川成都华西中学校高2020届
高一上10月月考试题，9】
方程的根为，方程的根为，则(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【2016年北京理科高考数学试题，7】
已知函数，若关于的方程有两个不同的实根，则数的取值范围是_______．
【答案】
【解析】当时，，说明函数在上单调递增，函数的值域是，又函数在上单调递减，函数的值域是，因此要使方程有两个不同实根，则．
10．对于实数和，定义运算“
”：
设=，且关于的方程为（∈R）恰有三个互不相等的实数根，则的取值范围是____________．
【答案】
【解析】由定义运算“
”可知
=，如图可知满足题意的的范围是，
不妨设，当时，=，即
∴；∴
当时，由，得
∴，
11．已知，函数，当时，不等式的解集是______．若函数恰有2个零点，则的取值范围是____．
【答案】；
【解析】若，则当时，令，得；当时，令，得．综上可知，所以不等式的解集为．令，解得；令，解得或．因为函数恰有2个零点，结合函数的图象（图略）可知或．
12、已知函数若函数有两个不同的零点,函数有两个不同的零点
(1).,求的值;
(2).求的最小值
【解析】：(1).当时,
,即或,∵
(2).∵
∵
∵
∵
?∵在上单调递增,
所以当时,
的最小值为1.
【2018天津高考理科数学，10】
已知函数
函数
，其中
，若函数
恰有4个零点，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由得，
所以，
即，
，所以恰有4个零点等价于方程有4个不同的解，即函数与函数
的图象的4个公共点，由图象可知．
14.【2019全国Ⅱ，理，12】设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
当时，，
当时，，，
当时，，，
当时，由解得或，
若对任意，都有，则．
故选B．
15.【四川省成都七中2020届高三上半期考试，理科数学，12】
函数是定义在R上的偶函数，周期是4，当时，，则方程的根个数为（
）
A.3
B.4
C.5
D.6
【答案】C
【解析】是定义在R上的偶函数，周期是4，当时，，根据性质我们可以画出函数图像，方程的根个数转化成的交点个数，有图像可以看出，一共有5个交点，ABCDE.其中我x=8处是要仔细看图，是易错点。
我们将图像放大在时，
可以看到有两个交点。
16．已知函数其中．若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则的取值范围是_______．
【答案】
【解析】当时，，其顶点为；当时，函数的图象与直线的交点为．
①当，即时，函数的图象如图1所示，此时直线与函数的图象有一个或两个不同的交点，不符合题意；
②当，即时，函数的图象如图2所示，则存在实数满足，使得直线与函数的图象有三个不同的交点，符合题意．
综上，的取值范围为．
图1
图2
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