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突破2.3
含指数，对数，幂函数，二次函数的复合函数问题
一、考情分析
二、重难点突破
知识点1
幂函数的图象及性质
1.作出下列函数的图象：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．
幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：
(1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)；
(2)时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；
(3)时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．
知识点2.函数的周期性定义：
对于函数，如果存在一个非零常数，使得定义域内的每一个值，都满足
，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。
①；
②；
③.
知识点3.对称轴与对称中心
①函数关于对称，
也可以写成
或
；
若写成：，函数关于直线
对称.
②函数关于点对称，
或
；
若写成：，函数关于点
对称.
三、题型分析
(一)
复合函数的单调性与最值
①指数型复合函数
例1.函数的单调递增区间为__________，单调递减区间为__________．
【变式训练1】已知函数．
（1）当时，求的值；
（2）当，时，求的最大值和最小值．
【变式训练2】（2019秋?金堂县校级期中）已知函数，求其单调区间及值域．
②对数型复合函数
例2.
在同一直角坐标系中，与的图像可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1】.已知函数.
（1）当时，求f(x)的值域和单调减区间；
（2）若f(x)存在单调递增区间，求a的取值范围．
【变式训练2】．已知，函数.
（1）求的定义域；
（2）当时，求不等式的解集.
(二)
复合函数的奇偶性与周期性
①指数型复合函数
例3.（2019秋?高要市校级期中）已知定义域为的函数是奇函数
（1）求，的值．
（2）判断的单调性，并用定义证明
（3）若存在，使成立，求的取值范围．
【变式训练1】（2019春?甘肃校级期末）已知定义在上的奇函数，为常数．
（1）求的值；
（2）用单调性定义证明在，上是减函数；
（3）解不等式．
②对数型复合函数
例4.（四川省绵阳市南山中学2018-2019学年高一上期中）已知函数f（x）=logm（m＞0且m≠1），
（I）判断f（x）的奇偶性并证明；
（II）若m=，判断f（x）在（3，+∞）的单调性（不用证明）；
【变式训练1】（2019秋?荔湾区校级期末）已知函数f（x）＝log3（1+x）﹣log3（1﹣x）．
（1）求函数f（x）定义域，并判断f（x）的奇偶性．
（2）判断函数f（x）在定义域内的单调性，并用单调性定义证明你的结论．
（3）解关于x的不等式f（1﹣x）+f（1﹣x2）＞0．
(三)
幂函数
例5.（2019秋?连江县校级期中）已知幂函数的图象关于原点对称，且在上单调递增．
（1）求表达式；
（2）求满足的的取值范围．
【变式训练1】.
已知函数在区间上的最大值是，则的取值范围是
．
【变式训练2】.设幂函数的图像过点．
（1）求的值；
（2）若函数在上的最大值为，求实数的值．
(四)
二次函数以及其他函数综合问题
例6．已知定义为R的函数满足，且函数在区间上单调递增.如果，且，则的值（A
）.
A．恒小于0
B．恒大于0
C．可能为0
D．可正可负.
【变式训练1】.定义在上的奇函数满足是偶函数，且当时，，则（
）
【变式训练2】
已知是定义域为的偶函数，且，若时，，则（
）
【变式训练3】．设，则下列关系式一定成立的是（
）
四
迁移应用
1.已知函数和都是定义在上的偶函数，若时，，则（
）
2.若是奇函数，且.当（
）
3.已知定义域为的函数在单调递增，且为偶函数，若，则不等式的解集为（
）
4.已知是定义在上的奇函数，是偶函数，当时，，则(
)
A.
B.
C.
D.
5.
已知函数满足，当时，，且，若，，则（
）
A.
B.
C.可能为
D.可正可负
6.设是连续的偶函数，且当时，是单调函数，则满足的所有之和为（
）
A.
B.
C.
D.
7.定义在上的奇函数满足是偶函数，且当时，，则（
）
8.已知是定义域为的偶函数，且，若时，，则（
）
9．设，则下列关系式一定成立的是（
）
10．已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围为（
）
11．不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
12．已知函数，存在实数，使得，则实数的取值范围是
.
13.已知函数，若，则实数的取值范围是
..
14.已知函数，若，则实数的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D..
15.不等式的解集为
.
16.已知函数，存在两个不同的，使得，则实数的取值范围是
.
17.
设是实数，函数．
（1）求证：函数不是奇函数；
（2）当时，求满足的的取值范围；
（3）求函数的值域（用表示）．
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精品试卷·第
2
页
（共
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突破2.3
含指数，对数，幂函数，二次函数的复合函数问题
一、考情分析
二、重难点突破
知识点1
幂函数的图象及性质
1.作出下列函数的图象：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．
幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：
(1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)；
(2)时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；
(3)时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．
知识点2.函数的周期性定义：
对于函数，如果存在一个非零常数，使得定义域内的每一个值，都满足
，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。
①；
②；
③.
知识点3.对称轴与对称中心
①函数关于对称，
也可以写成
或
；
若写成：，函数关于直线
对称.
②函数关于点对称，
或
；
若写成：，函数关于点
对称.
三、题型分析
(一)
复合函数的单调性与最值
①指数型复合函数
例1.函数的单调递增区间为__________，单调递减区间为__________．
【答案】，.
【解析】函数，设t=,函数化为，外层函数是减函数，
而t=的减区间为，增区间为，
由内外层函数的单调性满足“同增异减”知答案为：，.
【变式训练1】已知函数．
（1）当时，求的值；
（2）当，时，求的最大值和最小值．
【分析】（1），即，以为单位，解关于的方程，通过因式分解得，再讨论为的正数的性质，可得，故成立；
（2）以为单位，将原函数化简为关于它的二次函数，根据二次函数的图象与性质，结合，，找到函数取最大值和最小值对应的，从而找出函数的最大值和最小值．
【答案】解：（1）当，即时，
，
，，故（4分）
（2）
令
当，即时，函数的最小值（10分）
当，即时，函数的最大值（12分）
【点睛】本题考查了指数型复合函数的性质和应用，属于基础题．抓住题中的基本量与单位元，灵活地运用二次函数的图象与性质解题，是本题的关键．
【变式训练2】（2019秋?金堂县校级期中）已知函数，求其单调区间及值域．
【分析】要求复合函数的单调递增（减区间的即求内函数的单调递减区间，根据二次函数的性质，求出内函数的单调递减（增区间和值域后，即可得到答案．
【答案】解：设
则的单调递减区间为，，递增区间为，
函数为减函数，
故函数的单调递增区间为，，递减区间为，
值域为，
【点睛】本题考查的知识点是复合函数的单调性，函数的值域，指数函数的性质及二次函数的性质，其中根据复合函数单调性“同增异减”的法则，将问题转化为求二次函数的单调递减区间问题是解答本题的关键．
②对数型复合函数
例2.
在同一直角坐标系中，与的图像可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为的图象为过点的递增的指数函数图象，故排除选项；
的图象为过点的递减的函数图象，故排除选项，故选B．
【变式训练1】.已知函数.
（1）当时，求f(x)的值域和单调减区间；
（2）若f(x)存在单调递增区间，求a的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）当时，，
设，
由，得，得，即函数的定义域为，
此时，
则，即函数的值域为，
要求的单调减区间，等价为求的单调递减区间，
的单调递减区间为，
的单调递减区间为．
（2）若存在单调递增区间，
则当，则函数存在单调递增区间即可，则判别式得或舍，
当，则函数存在单调递减区间即可，则判别式得或，此时不成立，
综上实数的取值范围是．
【变式训练2】．已知，函数.
（1）求的定义域；
（2）当时，求不等式的解集.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由题意得：，解得
因为，所以
故的定义域为
（2）因为，所以，，
因为，所以，即
从而，解得
故不等式的解集为.
(二)
复合函数的奇偶性与周期性
①指数型复合函数
例3.（2019秋?高要市校级期中）已知定义域为的函数是奇函数
（1）求，的值．
（2）判断的单调性，并用定义证明
（3）若存在，使成立，求的取值范围．
【分析】（1）根据函数奇偶性的性质建立方程关系进行求解．
（2）利用函数单调性的定义进行证明即可．
（3）根据函数单调性和奇偶性的性质将不等式进行转化求解即可．
【答案】解：（1）是上的奇函数，
即
（1）
即
经验证符合题意．，
（2）
在上是减函数，证明如下：
任取，，且
，
即
在上是减函数．
（3），是奇函数．
又是减函数，
设
，
问题转化为
（2），
【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数单调性的判断和应用，利用定义法，结合函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化是解决本题的关键．
【变式训练1】（2019春?甘肃校级期末）已知定义在上的奇函数，为常数．
（1）求的值；
（2）用单调性定义证明在，上是减函数；
（3）解不等式．
【分析】（1）根据解出；
（2）设，计算并化简，只需证明即可；
（3）利用单调性和奇偶性得出，等价于，解出．
【答案】解：（1）是定义在上的奇函数，
，即，解得．
（2），
设，则，
，，
，，即，
，
在，上是减函数．
（3）是奇函数且在，上单调递减，
在上是减函数．
．
，
，
解得．
【点睛】本题考查了函数单调性与奇偶性综合应用，属于基础题．
②对数型复合函数
例4.（四川省绵阳市南山中学2018-2019学年高一上期中）已知函数f（x）=logm（m＞0且m≠1），
（I）判断f（x）的奇偶性并证明；
（II）若m=，判断f（x）在（3，+∞）的单调性（不用证明）；
【答案】（Ⅰ）f（x）是奇函数（Ⅱ）见解析（Ⅲ）．
【解析】（Ⅰ）f（x）是奇函数；证明如下：
由解得x＜-3或x＞3，
所以f（x）的定义域为（-∞，-3）∪（3，+∞），关于原点对称．
∵=，
故f（x）为奇函数/
（Ⅱ）任取x1，x2∈（3，+∞）且x1＜x2，
=，
∵（x1-3）（x2+3）-（x1+3）（x2-3）＜0，∴（x1-3）（x2+3）＜（x1+3）（x2-3），
即，
当m=时，，即f（x1）＜f（x2）．
故f（x）在（3，+∞）上单调递减．
【变式训练1】（2019秋?荔湾区校级期末）已知函数f（x）＝log3（1+x）﹣log3（1﹣x）．
（1）求函数f（x）定义域，并判断f（x）的奇偶性．
（2）判断函数f（x）在定义域内的单调性，并用单调性定义证明你的结论．
（3）解关于x的不等式f（1﹣x）+f（1﹣x2）＞0．
【分析】（1）根据对数函数的性质以及函数的定义域，根据函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可；
（2）根据函数单调性的定义判断函数的单调性即可；
（3）根据函数的单调性以及函数的奇偶性判断即可．
【答案】解：（1）要使函数f（x）＝log3（1+x）﹣log3（1﹣x）有意义，
必须满足，解得：﹣1＜x＜1，
∴函数f（x）的定义域是（﹣1，1），
综上所述，结论是：函数f（x）的定义域是（﹣1，1）．
f（x）＝log3（1+x）﹣log3（1﹣x）
＝log3（）．
f（﹣x）＝log3＝﹣log3．
∴f（x）为奇函数．
（2）函数f（x）＝log3（），
在区间（﹣1，1）上任取两个不同的自变量x1，x2，
且设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝log3，
又（1+x1）（1﹣x2）﹣（1﹣x1）（1+x2）＝2（x1﹣x2）＜0，
即（1+x1）（1﹣x2）＜（1﹣x1）（1+x2），
∵﹣1＜x1＜x2＜1，∴1+x1＞0，1﹣x2＞0，
∵（1+x1）（1﹣x2）＞0，∴＜1，
∴log3＜0，即f（x1）＞f（x2），
∴函数f（x）是定义域内的单调递增函数．
（3）∵f（x）为奇函数，
∴f（1﹣x）+f（1﹣x2）＞0
∴f（1﹣x）＞f（x2﹣1），
又∵f（x）在定义域上单调递增，
∴1﹣x＞x2﹣1，
x2+x﹣2＜0，即（x+2）（x﹣1）＜0，
∴﹣2＜x＜1，
而，解得：0＜x＜，
综上：0＜x＜1．
【点睛】本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．
(三)
幂函数
例5.（2019秋?连江县校级期中）已知幂函数的图象关于原点对称，且在上单调递增．
（1）求表达式；
（2）求满足的的取值范围．
【分析】（1）由题意可得9﹣3m＞0，解不等式可得m的整数解，结合题意可得m，即有函数的解析式；
（2）由（1）可得奇函数f（x）在R上单调递增，原不等式可化为a+1＜4﹣3a，解不等式即可得到所求范围．
【答案】解：（1）幂函数f（x）＝x9﹣3m（m∈N
）的图象关于原点对称，
且在R上单调递增，
可得9﹣3m＞0，
解得m＜3，m∈N
，
可得m＝1，2，
若m＝1，则f（x）＝x6的图象不关于原点对称，舍去；
若m＝2，则f（x）＝x3的图象关于原点对称，
且在R上单调递增，成立．
则f（x）＝x3；
（2）由（1）可得奇函数f（x）在R上单调递增，
f（a+1）+f（3a﹣4）＜0，
可得f（a+1）＜﹣f（3a﹣4）＝f（4﹣3a），
即为a+1＜4﹣3a，
解得a＜．
【点睛】本题考查幂函数的解析式的求法，以及函数的奇偶性和单调性的判断和运用：解不等式，考查运算能力，属于中档题．
【变式训练1】.
已知函数在区间上的最大值是，则的取值范围是
．
【答案】
【解析】，作出函数图象，如图所示，因为函数在上的最大值为，又所以，即．
【变式训练2】.设幂函数的图像过点．
（1）求的值；
（2）若函数在上的最大值为，求实数的值．
【答案】（1）；（2）；
【解析】（1）；过点，则
（2）由（1）知，则
当时，在单调递减，；
当时，
当时，在单调递增，
综上，的值为．
(四)
二次函数以及其他函数综合问题
例6．已知定义为R的函数满足，且函数在区间上单调递增.如果，且，则的值（A
）.
A．恒小于0
B．恒大于0
C．可能为0
D．可正可负.
【解析】：形似周期函数，但事实上不是，不过我们可以取特殊值代入，通过适当描点作出它的图象来了解其性质.或者，先用代替，使变形为
.它的特征就是推论3.因此图象关于点对称.在区间上单调递增，在区间上也单调递增.我们可以把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单位.
，且函数在上单调递增，所以，又由，有，.选A.
【变式训练1】.定义在上的奇函数满足是偶函数，且当时，，则（
）
【答案】：
C
【解析】：由题意，，则，，.
【变式训练2】
已知是定义域为的偶函数，且，若时，，则（
）
【答案】：
A
【解析】：由题意，，则，，.
【变式训练3】．设，则下列关系式一定成立的是（
）
【答案】D
【解析】由题，，作出的图像，如图所示，由可知三点位置如图所示，即，又为增函数，故，错误；又，即，故选。
四
迁移应用
1.已知函数和都是定义在上的偶函数，若时，，则（
）
【答案】：
A
【解析】：.
2.若是奇函数，且.当（
）
【答案】：
D
【解析】：由题意，是奇函数，且，则.
3.已知定义域为的函数在单调递增，且为偶函数，若，则不等式的解集为（
）
【答案】：
A
【解析】：由题意，关于对称，又在单调递增，，若，则，即.
4.已知是定义在上的奇函数，是偶函数，当时，，则(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】：B
【解析】因为是定义在上的奇函数，所以，
因为是偶函数，所以，，，
，，
5.
已知函数满足，当时，，且，若，，则（
）
A.
B.
C.可能为
D.可正可负
【答案】：B
【解析】令，变为，所以该函数关于点对称.又因为，所以，则单调递减.
又，，，，所以.
6.设是连续的偶函数，且当时，是单调函数，则满足的所有之和为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】：C
【解析】由，是连续的偶函数且是单调函数，或，整理得或，故，，故满足的所有之和为
7.定义在上的奇函数满足是偶函数，且当时，，则（
）
【答案】：
C
【解析】：由题意，，则，，.
8.已知是定义域为的偶函数，且，若时，，则（
）
【答案】：
A
【解析】：由题意，，则，，.
9．设，则下列关系式一定成立的是（
）
【答案】D
【解析】由题，，作出的图像，如图所示，由可知三点位置如图所示，即，又为增函数，故，错误；又，即，故选。
10．已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围为（
）
【答案】D
【解析】由题，作出与的图像，由有四个解，那么，如图，易知关于对称，即，令，解得，即互为倒数，由，得，故，易知所求在为减函数，解得，故选。
11．不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】
C
【解析】令，则，
所以不等式对于任意恒成立，
即，设，显然在上单调递减，在上单调递增，
则在上单调递减，在上单调递增，又，而当，，
所以.
12．已知函数，存在实数，使得，则实数的取值范围是
.
【答案】：.
【解析】：由
，可得有解，即
令，则原式可化为在有解。即，函数在单调递增，可得。
13.已知函数，若，则实数的取值范围是
.
【答案】：
【解析】：在上单调递增，.
14.已知函数，若，则实数的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】：A.
【解析】：是偶函数，当单调递增，在递减，
.
15.不等式的解集为
.
【答案】：.
【解析】：令，则原式可化为
16.已知函数，存在两个不同的，使得，则实数的取值范围是
.
【答案】：.
【解析】：
函数，存在两个不同的，使得，那么函数在区间是不单调函数，即对称轴，可得
17.
设是实数，函数．
（1）求证：函数不是奇函数；
（2）当时，求满足的的取值范围；
（3）求函数的值域（用表示）．
【答案】（1）略；（2）（3）略.
【解析】（1）证明：由定义域为，又，故不是奇函数．
（2）由，当时，，由，即，
即，又，即，即，
①，即时，恒成立.
②若，即时，由，得，故的取值范围为；
（3）令，则原函数为，
①若，则在上为增函数，，故的值域为.
②若，则，
当时，，若，则在上为减函数，
则的值域为，若时，，当时，的值域为，
当时，的值域为.
当时，，显然在上为增函数，则的值域为.
综上所述，当时，函数的值域为；
当时，函数的值域为；当时，函数的值域为.
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