2.2 用公式法解一元二次方程

22.2 用公式法解一元二次方程
台州学院附中 陈云萍
教学目标和要求：
(1) 理解用配方法推导一元二次方程的求根方式；(2)掌握一元二次方程的求根公式；
（3）能熟练运用求根公式解一元二次方程
教学重点：一元二次方程的求根公式及其应用
教学难点：求根公式的推导
教学过程：
一、复习引入：
师问：到现在为止，我们学过的一元二次方程的解法有哪几种？
生答：因式分解法、直接开平方法、配方法
师问：那么对于具体的方程你们能灵活地选择相应的方法吗？
生（自信地）答：能
那我们一起来解几个方程：
1、解方程：(1) x2-3x=0 （2）(x-3)2=4 (3) 2x2+4x-7=0
解：（1）用因式分解法解得X1=0，X2=3
（2）用直接开平方法解得X1=5，X2=1
（3）用配方法解：（边做边复习配方法的一般步骤[一移、二除、三配、四开]）
2x2+4x=7, x2+2x= ； x2+2x+1= ；即(x+1)2 =; x+1=; x=－1
2、我们从上节课可知，只要一元二次方程有实根，我们都可以用配方法解，在这儿我想请同学们每人各写出一个一元二次方程的一般形式来，能不能让老师我试试。(1)（巡视等同学们都完成后）说：我发现每个同学所写的各个方程大多不一样，你们知道为什么不同？即一元二次方程是由什么确定的吗？（学生答：由二次项系数、一次项系数、常数项确定的）。（2）由于本节的时间有限，我不能一 一用配方法求得同学们各自方程的解，但可以设计一个计算机程序，我只须把同学们各自的a,b,c输入电脑，我就很快地求出相应方程的根。大家想知道我个程序吗？（学生答：想）（3）一元二次方程由a,b,c确定，换言之，方程的解也由a，b，c这三个数确定，那能不能用这a，b，c三个字母来表示一元二次方程ax2+bx+c=0的根呢？（生答：能），那具体怎么表示呢？想知道吗？（生答：想），那我们一起来探求之，好不好？（生答：好）
二、一元二程方程ax2+bx+c=0(a0)求根公式的推导。
1、（1）能用分解因式解吗？通过考虑不能，各项系数不定。
（2）能不能用直接开平方法求解？也不能，因为一边不是含未知数的完全平方式。
看来我们只能用配方法求解了
解：移项得ax2+bx= -c
方程两边都除以a得
x2 ＋
配方得x2 ＋=－
即=
当b时
∴
得一元二次方程ax2+bx+c=0 （a0, b）时的求根公式为
三、公式分析
（1）现在，同学们可以看出了，一元二次方程的根确实是由各项系数与常数项来决定的。我们只须给出a,b,c三个值确定了，就可以代入这个公式，求出方程的根。回到开始时，你们知道老师刚才的程序是什么了吧，学生说知道了，就是这个公式。现在我们一起来验证一下这个公式，把开始时解过的三个方程，通过学生的代入，可以很快地验证了。
（2）从因式分解法，直接开平方法到配方法、公式法，其实人类对一元二次方程的根的研究经历了漫长岁月，为此也付出了艰辛的劳动。
我国古代的《九章算术》、宋朝的著名数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》等腰三角形书中都对一元二次方程的一些解法作了记载：西方古希腊数学家丢番图的《算术》、欧几里得的《几何原本》也对一元二次方程的一些解法作了研究，直到16世纪，随着数学符号体系的建立，使人们在数学表述上免去了冗繁的叙述，法国数学家韦达推导出了完整的一元二次方程的求根公式，即x=( b),也就是说我们刚才做了一项当年数学家的工作，大家真了不起！
四、公式的应用
1、由于公式法的一般性，不管你写出怎样的一元二次方程我们都能够（由学生自由报出方程，再集体解）
注意：（1）格式：先确定a,b,c的值，再算出b的值，再套入公式，化简（即一确，二判，三套）；(2)若b的值为负，则方程无实根。（3）若学生所给出的类型不全，可指出（刚才都是同学们给老师出题，现在也让老师出题了）老师准备方程；
； （m-5）(m-2)=6; ;
思考题：
已知关于x的方程x2=3x+a=0有整数解，a为整数且|a|＜30,则a的个数共有几个？
五、小结：
通过本节课的研究
（1）我理解了 ；
（2）我记住了一元二次方程ax2+bx+c=0 （a0）的求根公式 ；
（3）我会用 法解一元二次方程。
六、作业：
1、《作业本》《练闯考》
2、同桌之间互出两题给对方做，并批改。
由学生讨论：能直接开方吗？左边含未知数的完全平方，右边要求是非负常数才能用直接开平方求解？而右边是不是一定是非负数呢？满足什么条件下才是非负数呢？经讨论当b时才能保证能用直接开方求解。