华师大版数学八年级上册第13章全等三角形达标测试卷 含答案

第13章达标测试卷
一、选择题(每题3分，共30分)
1．下列命题是假命题的是(　　)
A．两点确定一条直线
B．角平分线上的点到角两边的距离相等
C．有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
D．角的边越长，角就越大
2．如图，已知AC＝DB，AB＝DC，你认为证明△ABC≌△DCB应该用(　　)
A．“边边边”
B．“边角边”
C．“角边角”
D．“角角边”
3．如图，已知△ABC的六个元素，图(1)(2)(3)中的三个三角形中标出了某些元素，则与△ABC全等的三角形是(　　)
A．(2)
B．(3)
C．(1)和(2)
D．(2)和(3)
4．“已知等腰三角形的底边和底边上的高，用尺规作图求作等腰三角形”里用到的基本作图是(　　)
A．作一条线段等于已知线段，作已知线段的垂直平分线
B．作已知角的平分线
C．过直线外一点作已知直线的垂线
D．作一个角等于已知角
5．已知△ABC≌△A′B′C′，且△ABC的周长为20，AB＝8，BC＝5，则A′C′等于(　　)
A．5
B．6
C．7
D．8
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E.若AB＝10
cm，AC＝6
cm，则BE的长度为(　　)
A．10
cm
B．6
cm
C．4
cm
D．2
cm
7．如图，将长方形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E.若∠1＝35°，则∠2的度数为(　　)
A．20°
B．30°
C．35°
D．55°
8．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为27和16，则△EDF的面积为(　　)
A．11
B．5.5
C．7
D．3.5
9．已知△ABC的三边长分别为4，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画(　　)条．
A．3
B．4
C．5
D．6
10．如图，将含有30°角的直角三角尺ABC绕直角顶点A逆时针旋转到△ADE的位置，使B点的对应点D落在BC边上，连结EB，EC，则下列结论：①∠DAC＝∠DCA；②ED为AC的垂直平分线；③EB平分∠AED；④△ABD为等边三角形．其中正确的是(　　)
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①②③④
二、填空题(每题3分，共30分)
11．把命题“等边对等角”的逆命题写成“如果……，那么……”的形式为________________________________________________________________________．
12．如图，两个三角形全等，根据图中所给的条件可知∠α＝________．
13．如图，∠1＝∠2，要使△ABE≌△ACE，还需添加一个条件是：________．(填上你认为适当的一个条件即可)
14．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线DE交AC于E，△ABC和△BEC的周长分别是30
cm和20
cm，则AB＝________
cm.
15．如图，已知PA⊥ON于A，PB⊥OM于B，且PA＝PB，∠MON＝50°，∠OPC＝30°，则∠PCA＝________．
16．已知等腰三角形ABC的周长为18
cm，BC＝8
cm，若△ABC≌△A′B′C′，则△A′B′C′的腰长等于________．
17．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠DCB＝70°，∠ABD＝40°，AB＝DC，则∠BAC＝________．
18．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和BE的交点，CD＝4，则线段DF的长度为________．
19．如图，AB＝12
m，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，且AC＝4
m．点P从点B开始以1
m/min的速度向点A运动；点Q从点B开始以2
m/min的速度向点D运动．P，Q两点同时出发，运动________后，△CAP≌△PBQ.
20．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线与∠BAC的邻补角的平分线相交于点D，DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CA－AB＝2AE；③∠BDC＋∠FAE＝180°；④∠BAC＝90°.其中正确的有____________．(填序号)
三、解答题(21，22题每题6分，23，24题每题8分，25，26题每题10分，27题12分，共60分)
21．如图，电信部门要在公路m，n之间的S区域修建一座电视信号发射塔P.按照设计要求，发射塔P到区域S内的两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路m，n的距离也必须相等．发射塔P应建在什么位置？在图中用尺规作图的方法作出它的位置并标出(不写作法但保留作图痕迹)．
22．如图，在平行四边形ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BE＝DF.连结EF，与对角线AC交于点O.
求证：OE＝OF.
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连结EC.
(1)求∠ECD的度数；
(2)若CE＝5，求BC的长．
24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，点F在AC上，BD＝DF.
求证：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB.
25．如图，A，B两建筑物位于河的两岸，要测得它们之间的距离，可以从B点出发在河岸上画一条射线BF，在BF上截取BC＝CD，过点D作DE∥AB，使E，C，A三点在同一直线上，则DE的长就是A，B之间的距离，请你说明道理．
26．如图①，点A，E，F，C在同一条直线上，AE＝CF，过点E，F分别作ED⊥AC，FB⊥AC，AB＝CD.
(1)若BD与EF交于点G，求证：BD平分EF；
(2)若将△DEC沿AC方向移动到图②的位置，其余条件不变，上述结论是否仍然成立？请说明理由．
27．如图a，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.
(1)如果AB＝AC，∠BAC＝90°，
①当点D在线段BC上时(与点B不重合)，如图b，线段CF，BD所在直线的位置关系为________，线段CF，BD的数量关系为________；
②当点D在线段BC的延长线上时，如图c，①中的结论是否仍然成立，并说明理由．
(2)如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC(点C，F不重合)？并说明理由．
答案
一、1.D　2.A　3.D　4.A　5.C　6.C
7．A　点拨：在Rt△DBC中，∠DCB＝90°，∠1＝35°，∴∠DBC＝55°.
由折叠的性质可知△DBC≌△DBC′，
∴∠DBC′＝∠DBC＝55°.
又∵DC∥AB，∴∠DBA＝∠1＝35°.
∴∠2＝∠DBC′－∠DBA＝20°.故选A.
8．B
9．B　点拨：假设AB＝AC＝4，BC＝6，如图，当CD＝AC＝4时，直线AD符合要求．当BE＝AB＝4时，直线AE符合要求．作线段AC的垂直平分线交BC于点F，则AF＝FC，直线AF符合要求．作线段AB的垂直平分线交BC于点G，则AG＝BG，直线AG符合要求．∴这样的直线最多可以画4条．故选B.
10．B
二、11.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等
12．51°
13．∠B＝∠C(答案不唯一)
14．10　15.55°　16.8
cm或5
cm
17．80°　18.4　19.4
min
20．①②③
三、21.解：如图．
22．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵BE＝DF，
∴AB＋BE＝CD＋DF，即AE＝CF.
∵AB∥CD，∴AE∥CF.
∴∠E＝∠F.
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF.∴OE＝OF.
23．解：(1)∵DE垂直平分AC，
∴AE＝CE，∴∠ECD＝∠A＝36°.
(2)∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°.
又∵∠ECD＝36°，
∴∠ECB＝72°－36°＝36°.
∴∠BEC＝180°－∠ABC－∠ECB＝180°－72°－36°＝72°.
∴∠B＝∠BEC，∴BC＝CE＝5.
24．证明：(1)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DE＝DC，∠C＝∠DEB＝90°.
又∵BD＝DF，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(H.L.)，
∴CF＝EB.
(2)由(1)可知DE＝DC，
又∵AD＝AD，∠C＝∠AED＝90°，
∴Rt△ADC≌Rt△ADE(H.L.)，
∴AC＝AE，
∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB.
点拨：(1)根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得CD＝DE.进而证得Rt△CDF≌Rt△EDB，得CF＝EB.(2)利用角平分线的性质证明Rt△ADC≌Rt△ADE，得AC＝AE，再将线段AB进行转化．
25．解：∵E，C，A三点在同一直线上，B，C，D三点在同一直线上，∴∠ACB＝∠ECD.
∵DE∥AB，∴∠A＝∠E.
在△ABC与△EDC中，
∴△ABC≌△EDC(A.A.S.)．
∴AB＝DE.
26．(1)证明：∵ED⊥AC，FB⊥AC，∴∠DEG＝∠BFE＝90°.
∵AE＝CF，
∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE.
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE(H.L.)．
∴BF＝DE.
在△BFG和△DEG中，
∴△BFG≌△DEG(A.A.S.)．
∴FG＝EG，即BD平分EF.
(2)解：BD平分EF的结论仍然成立．
理由：∵AE＝CF，
∴AE－EF＝CF－EF，即AF＝CE.
∵ED⊥AC，FB⊥AC，
∴∠AFB＝∠CED＝90°.
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE(H.L.)．
∴BF＝DE.
在△BFG和△DEG中，
∴△BFG≌△DEG(A.A.S.)．
∴GF＝GE，即BD平分EF，结论仍然成立．
点拨：本题综合考查了三角形全等的判定方法．(1)先利用H.L.判定Rt△ABF≌Rt△CDE，得出BF＝DE；再利用A.A.S.判定△BFG≌△DEG，从而得出FG＝EG，即BD平分EF.(2)中结论仍然成立，证明过程同(1)类似．
27．解：(1)①CF⊥BD；CF＝BD
②当点D在线段BC的延长线上时，①中的结论仍然成立．理由如下：由正方形ADEF得AD＝AF，∠DAF＝90°.
∵∠BAC＝90°，∴∠DAF＝∠BAC，
∴∠DAB＝∠FAC，
又∵AB＝AC，∴△DAB≌△FAC，
∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD.
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ACF＝45°，
∴∠BCF＝∠ACB＋∠ACF＝90°，
即CF⊥BD.
(2)当∠ACB＝45°时，CF⊥BC(如图)．
理由：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC＝90°，
∵∠ACB＝45°，∠AGC＝90°－∠ACB，
∴∠AGC＝90°－45°＝45°，∴∠ACB＝∠AGC＝45°，∴△AGC是等腰直角三角形，∴AC＝AG.
又∵∠DAG＝∠FAC(同角的余角相等)，AD＝AF，∴△GAD≌△CAF，
∴∠ACF＝∠AGC＝45°，
∴∠BCF＝∠ACB＋∠ACF＝45°＋45°＝90°，即CF⊥BC.