12[1].3.1 等腰三角形
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文档简介
12.3.1 等腰三角形
台州初级中学数学组 余如聪
【教学目标】
1.知识与能力
理解并掌握等腰三角形的定义，探索等腰三角形的性质和判定方法；能够用等腰三角形的知识解决相应的数学问题．
2.过程与方法
在探索等腰三角形的性质和判定的过程中体会知识间的关系，感受数学与生活的联系．
3.情感、态度与价值观
培养学生分析解决问题的能力，使学生养成良好的学习习惯．
【教学重点】
理解并掌握等腰三角形的定义，探索等腰三角形的性质和判定方法；能够用等腰三角形的知识解决相应的数学问题．
【教学难点】
等腰三角形性质和判定的应用．
【教学方法】
创设情境－主体探究－合作交流－应用提高．
【教学过程】
创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容
活动1
如图（1），把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特征？你能画出具有这种特征的三角形吗？
图（1）
学生活动设计：
学生动手操作，从剪出的图形观察△ABC的特点，可以发现AB=AC．
教师活动设计：
让学生总结出等腰三角形的概念：有两边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，底边和腰的夹角叫作底角．如图（2）：
图（2）
△ABC中，若AB=AC，则△ABC是等腰三角形，AB、AC是腰、BC是底边、∠A是顶角，∠B和∠C是底角．
二、自主探究、合作交流，探究等腰三角形的性质
活动2
把活动1中剪出的△ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段，填入下表：
重合的线段 重合的角
从上表中你能发现等腰三角形具有什么性质吗？
学生活动设计：
学生经过观察，独立完成上表，从表中总结等腰三角形的性质．
教师活动设计：
引导学生归纳：
性质1 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；
性质2 等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．
活动3
你能证明上述两个性质吗？
问题：如图（3），已知△ABC中，AB=AC，AD是底边上的中线．
求证：∠B=∠C；
AD平分∠A，AD⊥BC．
图（3）
学生活动设计：
学生在独立思考的基础上进行讨论，寻找解决问题的办法，若证∠B=∠C，根据全等三角形的知识可以知道，只需要证明这两个角所在的三角形全等即可，于是可以证明△ABD和△ACD全等即可，根据条件利用“边边边”可以证明．
教师活动设计：
让学生充分讨论，根据所学的数学知识利用逻辑推理的方式进行证明，证明过程中注意学生表述的准确性和严谨性
〔解答〕在△ABD和△ACD中
所以△ABD≌△ACD（SSS），所以∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC＝90°．
巩固练习：第51页练习．
活动4
如图（4），位于海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A＝∠B．如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
学生活动设计：
学生首先独立思考，然后可以分组讨论，观察问题中的条件，发现问题的本质是在条件∠A＝∠B下，线段AO和BO是否相等，证明两条线段相等，可以考虑这两条线段所在的三角形全等，而图中没有别的三角形，因此需要构造全等的三角形．
图（4）
学生活动设计：
教师启发学生发现问题本质，让学生探索“AO=BO”成立的原因，引导学生构造全等三角形：过O作OC⊥AB于点C，利用AAS可以证明△OAC和△OBC全等，进而得到AO=BO．
最后归纳出等腰三角形的判定性质．
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）
〔解答〕过点O作OC⊥AB于点C，由∠A＝∠B、∠ACO=∠BCO、OC=OC易证△AOC≌△BOC，进而得到AO=BO．
三、应用提高、拓展创新
问题1
如图（5），在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各个内角的度数．
图（5）
学生活动设计：
学生小组合作、分组讨论，交流．
教师活动设计：
引导学生分析图形中的关于角的数量关系（三角形的内角、外角、等腰三角形的底角）．
发现：
（1）∠ABC=∠ACB＝∠CDB＝∠A＋∠ABD；
（2）∠A＝∠ABD；
（3）∠A＋2∠C＝180°．
若设∠A＝x，则有x＋4x＝180°，得到x＝36°，进一步得到两个底角．
〔解答〕略
问题2
如图（6），∠CAE是△ABC的一个外角，∠1＝∠2，AD//BC，求证：AB=AC．
图（6）
师生活动设计：
学生自主探索，必要时教师进行引导，利用等腰三角形的判定方法来证明，只要推出∠B=∠C即可，由AD//BC和AD平分∠EAC容易得到．
问题3
如图（7），在△ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE∥AB交AC于E．
求证：AE=CE．
图（7）
师生活动设计：
通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定，平行线的性质．可以发现：
〔解答〕证明：延长CD交AB的延长线于P，如图（7）．
在△ADP和△ADC中，
∴△ADP≌△ADC，
∴∠P=∠ACD．
又∵DE∥AP
∴∠4=∠P，
∴∠4=∠ACD．
∴DE=CE．
同理可证：AE=DE．
∴AE=CE．
四、归纳小结、布置作业
小结：等腰三角形的定义及相关概念，等腰三角形的性质和判定．
作业：习题12.3 第1～7题．
台州初级中学数学组 余如聪
【教学目标】
1.知识与能力
理解并掌握等腰三角形的定义，探索等腰三角形的性质和判定方法；能够用等腰三角形的知识解决相应的数学问题．
2.过程与方法
在探索等腰三角形的性质和判定的过程中体会知识间的关系，感受数学与生活的联系．
3.情感、态度与价值观
培养学生分析解决问题的能力，使学生养成良好的学习习惯．
【教学重点】
理解并掌握等腰三角形的定义，探索等腰三角形的性质和判定方法；能够用等腰三角形的知识解决相应的数学问题．
【教学难点】
等腰三角形性质和判定的应用．
【教学方法】
创设情境－主体探究－合作交流－应用提高．
【教学过程】
创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容
活动1
如图（1），把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特征？你能画出具有这种特征的三角形吗？
图（1）
学生活动设计：
学生动手操作，从剪出的图形观察△ABC的特点，可以发现AB=AC．
教师活动设计：
让学生总结出等腰三角形的概念：有两边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，底边和腰的夹角叫作底角．如图（2）：
图（2）
△ABC中，若AB=AC，则△ABC是等腰三角形，AB、AC是腰、BC是底边、∠A是顶角，∠B和∠C是底角．
二、自主探究、合作交流，探究等腰三角形的性质
活动2
把活动1中剪出的△ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段，填入下表：
重合的线段 重合的角
从上表中你能发现等腰三角形具有什么性质吗？
学生活动设计：
学生经过观察，独立完成上表，从表中总结等腰三角形的性质．
教师活动设计：
引导学生归纳：
性质1 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；
性质2 等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．
活动3
你能证明上述两个性质吗？
问题：如图（3），已知△ABC中，AB=AC，AD是底边上的中线．
求证：∠B=∠C；
AD平分∠A，AD⊥BC．
图（3）
学生活动设计：
学生在独立思考的基础上进行讨论，寻找解决问题的办法，若证∠B=∠C，根据全等三角形的知识可以知道，只需要证明这两个角所在的三角形全等即可，于是可以证明△ABD和△ACD全等即可，根据条件利用“边边边”可以证明．
教师活动设计：
让学生充分讨论，根据所学的数学知识利用逻辑推理的方式进行证明，证明过程中注意学生表述的准确性和严谨性
〔解答〕在△ABD和△ACD中
所以△ABD≌△ACD（SSS），所以∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC＝90°．
巩固练习：第51页练习．
活动4
如图（4），位于海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A＝∠B．如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
学生活动设计：
学生首先独立思考，然后可以分组讨论，观察问题中的条件，发现问题的本质是在条件∠A＝∠B下，线段AO和BO是否相等，证明两条线段相等，可以考虑这两条线段所在的三角形全等，而图中没有别的三角形，因此需要构造全等的三角形．
图（4）
学生活动设计：
教师启发学生发现问题本质，让学生探索“AO=BO”成立的原因，引导学生构造全等三角形：过O作OC⊥AB于点C，利用AAS可以证明△OAC和△OBC全等，进而得到AO=BO．
最后归纳出等腰三角形的判定性质．
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）
〔解答〕过点O作OC⊥AB于点C，由∠A＝∠B、∠ACO=∠BCO、OC=OC易证△AOC≌△BOC，进而得到AO=BO．
三、应用提高、拓展创新
问题1
如图（5），在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各个内角的度数．
图（5）
学生活动设计：
学生小组合作、分组讨论，交流．
教师活动设计：
引导学生分析图形中的关于角的数量关系（三角形的内角、外角、等腰三角形的底角）．
发现：
（1）∠ABC=∠ACB＝∠CDB＝∠A＋∠ABD；
（2）∠A＝∠ABD；
（3）∠A＋2∠C＝180°．
若设∠A＝x，则有x＋4x＝180°，得到x＝36°，进一步得到两个底角．
〔解答〕略
问题2
如图（6），∠CAE是△ABC的一个外角，∠1＝∠2，AD//BC，求证：AB=AC．
图（6）
师生活动设计：
学生自主探索，必要时教师进行引导，利用等腰三角形的判定方法来证明，只要推出∠B=∠C即可，由AD//BC和AD平分∠EAC容易得到．
问题3
如图（7），在△ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE∥AB交AC于E．
求证：AE=CE．
图（7）
师生活动设计：
通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定，平行线的性质．可以发现：
〔解答〕证明：延长CD交AB的延长线于P，如图（7）．
在△ADP和△ADC中，
∴△ADP≌△ADC，
∴∠P=∠ACD．
又∵DE∥AP
∴∠4=∠P，
∴∠4=∠ACD．
∴DE=CE．
同理可证：AE=DE．
∴AE=CE．
四、归纳小结、布置作业
小结：等腰三角形的定义及相关概念，等腰三角形的性质和判定．
作业：习题12.3 第1～7题．