人教八下数学教案18.2.3 正方形教案

18.2.3 正方形
教学目标
【知识与技能】
了解正方形的性质及其判定方法，能利用正方形的性质及判定解决实际问题.
【过程与方法】
在利用正方形的定义探索正方形的性质及其判定方法过程中，进一步增强学生的逻辑推理能力，锻炼分析问题、解决问题的能力.
【情感态度】
在探索正方形性质与判定方法过程中，获取成功的体验，增强学习数学的兴趣.
【教学重点】
正方形的性质及其判定方法.
【教学难点】
运用正方形解决问题.
教学过程
一、情境导入，初步认识
如图（1），平移矩形的一边，使得到的矩形有一组邻边相等，此时它是一个正方形；
如图（2），移动菱形的木框，使得它的一个内角为90°，这时所得到的菱形是正方形.
通过上述过程可以发现，正方形既是菱形又是矩形.你能说说正方形有哪些性质吗？
二、思考探究，获取新知
正方形即是矩形又是菱形，因而它既具有矩形的性质，又具有菱形的性质，因此正方形的性质有：
正方形的四个角都是直角；正方形的四条边都相等；正方形的对角线相等，并且互相垂直平分；正方形是轴对称图形，它有四条对称轴，分别是对边中点连线和对角线所在直线.
问题 正方形既是矩形，又是菱形，因而判别一个四边形是否是正方形，就必须证明它既是矩形，又是菱形.想想看，怎样判定一个四边形是正方形呢？与同伴交流一下，并说出你的理由.
【教学说明】让学生相互交流，写出判定一个四边形是正方形的方法，并探讨论证方法.教师巡视，听取他们的想法，并适时参与讨论，从而让学生感受证明一个四边形是正方形的方法.
三、典例精析，掌握新知
例1 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
已知：如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于O.
求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形.
证明：∵四边形ABCD是正方形.
∴AC=BD，AC⊥BD，OA=OB=OC=OD，
∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
例2 如图：点E，F，M，N分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE=BF=CM=DN.
求证：四边形EFMN是正方形.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D，AB=BC=CD=DA.
∵AE=BF=CM=DN，
∴AN=BE=CF=DM，
∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM.
∴EN=EF=MF=MN，∠1=∠2.
又∵∠2+∠3=90°，∴∠1+∠3=90°，
∴∠ENM=90°，∴四边形EFMN是正方形.
【教学说明】以上两例均可由学生自主探究，相互交流，最后师生共同讨论，加深学生对知识的领悟.
四、运用新知，深化理解
1.(1)把一个长方形纸片如图那样折一下，就可以裁出一个正方形纸片，为什么？
（2）如果是一个长方形木板，如何从中裁出一个最大的正方形木板呢？
2.满足下列条件的四边形是不是正方形，为什么？
（1）对角线互相垂直且相等的平行四边形；
（2）对角线互相垂直的矩形；
（3）对角线相等的菱形；
（4）对角线互相垂直平分且相等的四边形；
（5）一组邻边相等的矩形.
3.如图，以正方形ABCD的顶点D为顶点在正方形内作等边△DEF，使E、F分别在AB、BC上.求证：∠BEF＝∠BFE.
【教学说明】学生独立探究，加深对正方形判定方法的理解和掌握.教师巡视指导，及时予以点拨.
【答案】1.解：（1）由折叠可知：
∠B=∠D＝90°，∠DAB＝90°，∴四边形ABCD是矩形.又∵AB=AD，∴四边形ABCD是正方形.
（2）在长方形木块较长的一边上截取一段等于较短边长的一条边，即可得到最大的正方形木板.
2.满足（1）（2）（3）（4）（5）条件的四边形均是正方形.
3.证明：在正方形ABCD，正△DEF中，AD＝DC，∠A=∠C＝90°，DE＝DF，
∴Rt△DAE≌Rt△DCF，
∴∠ADE=∠CDF.
又∠ADC=90°，∠EDF＝60°，
∴∠ADE＝∠CDF＝＝15°，
∴∠AED=∠CFD=75°.
而∠DEF=∠DFE=60°，
∴∠BEF=∠BFE＝45°.
五、师生互动，课堂小结
通过这节课的学习你有哪些收获和体会？不妨说说看.
课后作业
1.布置作业：从教材“习题18.2”中选取.
2.完成练习册中本课时练习.
教学反思
正方形与菱形、矩形有着密切的联系，这使得学生容易混淆这几个概念，所以本课时先比较这几个概念的区别，然后再探究出正方形的性质和判定方法.教师教学时应注意让学生相互交流，写出判定一个四边形是正方形的方法，教师巡视并听取学生的想法.这样的过程可增强学生的逻辑推理能力，锻炼分析问题、解决问题的能力.