人教版数学九年级上册24．3 正多边形和圆（1）课件（共21张PPT）

(共21张PPT)
24.3
正多边形和圆
正多边形的相关概念及计算
人教版数学九年级上册
3.
会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题。
1.
了解正多边形和圆的有关概念。
2.
理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系。
学习目标
问题1
什么叫做正多边形？
各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.
问题2
矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？
不是，因为矩形不符合各边相等；
不是，因为菱形不符合各角相等；
正多边形
各边相等
各角相等
缺一不可
正多边形的对称性
探究新知
问题3
正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？
正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，只有边数为偶数的正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形.
问题4
正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？
归纳
正多边形的有关概念
O
A
B
C
D
问题1
以正四边形为例,根据对称轴的性质，你能得出什么结论？
E
F
G
H
EF是边AB、CD的垂直平分线，∴OA=OB，OD=OC.
GH是边AD、BC的垂直平分线，
∴OA=OD；OB=OC.
∴OA=OB=OC=OD.
∴正方形ABCD有一个以点O为圆心的外接圆.
O
A
B
C
D
E
F
G
H
AC是∠DAB及∠DCB的角平分线，BD是∠ABC及∠ADC的角平分线，
∴OE=OH=OF=OG.
∴正方形ABCD还有一个以点O为圆心的内切圆.
1.所有的正多边形是不是也都有一个外接圆和一个内切圆？
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.
2.一个正多边形的各个顶点在同一个圆上?
3.所有的多边形是不是都有一个外接圆和内切圆？
一个正多边形的各个顶点在同一个圆上，则这个正多边形就是这个圆的一个内接正多边形，圆叫做这个正多边形的外接圆.
多边形不一定有外接圆和内切圆，只有是正多边形时才有，任意三角形都有外接圆和内切圆.
想一想
O
A
B
C
D
E
F
G
H
R
r
正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫作正多边形的中心.
外接圆的半径叫作正多边形的半径.
内切圆的半径叫作正多边形的边心距.
正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.正多边形的每个中心角都等于
中心角
A
B
C
D
E
F
O
半径R
边心距r
中心
正多边形边数
内角
中心角
外角
3
4
6
n
60
°
120
°
120
°
90
°
90
°
90
°
120
°
60
°
60
°
正多边形的外角=中心角
完成下面的表格：
练一练
如图，已知半径为4的圆内接正六边形ABCDEF：
①它的中心角等于
度
；
②
OC
BC
(填＞、＜或＝）；
③△OBC是
三角形；
④圆内接正六边形的面积是
△OBC面积的
倍.
⑤圆内接正n边形面积公式:_______________________.
C
D
O
B
E
F
A
P
60
=
等边
6
正多边形的有关计算
例1
有一个亭子,它的地基是半径为4
m的正六边形,求地基的周长和面积
(精确到0.1
m2).
C
D
O
E
F
A
P
抽象成
考点探究
正多边形的有关计算
利用勾股定理,可得边心距
亭子地基的面积：
在Rt△OMB中,OB＝4,
MB＝
4m
O
A
B
C
D
E
F
M
r
解：过点O作OM⊥BC于M.
1.如图所示，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ADE的度数是
（
）
A．60°
B．45°
C．
36°
D．
30°
·
A
B
C
D
E
O
C
巩固练习
2.作边心距，构造直角三角形.
1.连半径，得中心角；
O
A
B
C
D
E
F
R
M
r
·
方法归纳
：圆内接正多边形的辅助线
O
边心距r
边长一半
半径R
C
M
中心角一半
探究新知
2.
已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？
广东省怀集县中洲镇泰来学校
李周林
解：∵直角三角形两直角边之和为8,设一边长x
∴
另一边长为8-x。
则该直角三角形面积：S=（8-x）x÷2
即
当x=
=4,另一边为4时，S有最大值
＝8
∴当两直角边都是4时，直角面积最大，最大值为8.
巩固练习
正多边形边数
半径
边长
边心距
周长
面积
3
4
1
6
1.
填表
2
1
2
8
4
2
2
12
2.
若正多边形的边心距与半径的比为1:2，则这个多边形的边数是
.
3
课堂检测
4.
要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要____cm.
也就是要找这个正方形外接圆的直径
3.如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状近似看作为正七边形，则一个内角为
度.（不取近似值）
5.
如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，求⊙O的面积．
解：∵正方形的面积等于4，
∴⊙O的面积为
∴正方形的边长AB=2.
则圆的直径AC=2
，
∴⊙O的半径=
A
B
C
D
E
F
P
6.如图，正六边形ABCDEF的边长为
，点P为六边形内任一点．则点P到各边距离之和是多少？
∴点P到各边距离之和=3BD=3×6=18．
解：过P作AB的垂线，分别交AB、DE于H、K，连接BD，作CG⊥BD于G.
G
H
K
∴P到AF与CD的距离之和，及P到EF、BC的距离之和均为HK的长.
∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，
∵BC=CD，∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°，
∴∠CBD=∠BDC=30°，BD∥HK，且BD=HK.∴CG=
BC=
∵CG⊥BD，
∴BD=2BG=2×
=2×
3
=6.
7.如图,M,N分别是☉O内接正多边形AB,BC上的点,且BM=CN.
(1)求图①中∠MON=_______;图②中∠MON=
;
图③中∠MON=
;
(2)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系.
A
B
C
D
E
A
B
C
D
.
A
B
C
M
N
M
N
M
N
O
O
O
90
°
72
°
120
°
图①
图②
图③