人教版数学九年级上册24．2．2 直线和圆的位置关系（3）课件（共34张PPT）

(共34张PPT)
24.2.2
直线和圆的位置关系
切线长定理及应用
人教版数学九年级上册
2.
初步学会运用切线长定理进行计算与证明。
1.
掌握切线长的定义及切线长定理。
学习目标
问题1
上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如左图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？
P
O
B
A
O.
P
A
B
切线长定理及应用
探究新知
P
1.切线长的定义：
切线上一点到切点之间的线段的长叫作这点到圆的切线长．
A
O
①切线是直线，不能度量.
②切线长是线段的长，这条线段的两个
端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
2.切线长与切线的区别在哪里？
问题2
PA为☉O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B．
OB是☉O的一条半径吗？
PB是☉O的切线吗？
（利用图形轴对称性解释）
PA、PB有何关系？
∠APO和∠BPO有何关系？
O.
P
A
B
B
P
O
A
切线长定理
过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
PA、PB分别切☉O于A、B
PA
=
PB
∠OPA=∠OPB
几何语言:
O.
P
已知，如图PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点.
求证：PA=PB，∠APO=∠BPO.
证明：∵PA切☉O于点A，
∴
OA⊥PA.
同理可得OB⊥PB.
∵OA=OB，OP=OP，
∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），
∴PA=PB，∠APO=∠BPO.
推理验证
A
B
想一想：若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.
OP垂直平分AB.
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点
∴PA
=
PB
，∠OPA=∠OPB
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线
∴OP垂直平分AB.
O.
P
A
B
M
想一想：若延长PO交⊙O于点C，连结CA、CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明.
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点，
∴PA
=
PB
，∠OPA=∠OPB.
∴PC=PC.
∴
△PCA
≌
△PCB，
∴AC=BC.
CA=CB
O.
P
A
B
C
例1
已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切于点E、F、G、H.
求证：AB+CD=AD+BC.
·
A
B
C
D
O
证明：∵AB、BC、CD、DA与⊙O分别相切于点E、F、G、H，
E
F
G
H
∴
AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH.
∴
AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH.
∴AB+CD=AD+BC.
考点探究1
切线长定理的应用
B
P
O
A
1.
PA、PB是☉O的两条切线，A,B是切点，OA=3.
（1）若AP=4,则OP=
;
（2）若∠BPA=60
°,则OP=
.
5
6
巩固练习
例2
为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA=5cm，求铁环的半径．
分析：欲求半径OP，取圆的圆心为O，连OA、OP，由切线性质知△OPA为直角三角形，从而在Rt△OPA中由勾股定理易求得半径．
O
考点探究2
切线长定理在生活中的应用
探究新知
在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，
O
Q
解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.
∵AP、AQ为⊙O的切线，
∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO.
又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.
即铁环的半径为
2.
如图,小敏家厨房一墙角处有一自来水管,装修时为了美观,准备用木板从AB处将水管密封起来,互相垂直的两墙面与水管分别相切于D、E两点,经测量发现AD和BE的长恰是方程x2-25x+150=0的两根(单位:cm),则该自来水管的半径为
cm(AD解析：设圆心为O,连接OD、OE,x2-25x+150=0,(x-10)(x-15)=0,
解得:x1=10,x2=15,∵AD设半径为r,又AB=AD+BE=25,∴(AD+r)2+(BE+r)2=AB2,
∴(10+r)2+(15+r)2=252,解得r=5.
5
巩固练习
小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？
三角形的内切圆及作法
探究新知
问题1
如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？
O
O
O
O
最大的圆与三角形三边都相切
三角形角平分线的这个性质，你还记得吗？
问题2
如何求作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？
(1)
如果半径为r的☉I与△ABC的三边都相切，那么圆心I应满足什么条件？
(2)
在△ABC的内部，如何找到满足条件的圆心I呢？
圆心I到三角形三边的距离相等，都等于r.
三角形三条角平分线交于一点，这一点与三角形的三边距离相等.
圆心I应是三角形的三条角平分线的交点.
为什么呢？
已知：△ABC.
求作：和△ABC的各边都相切的圆.
M
N
D
作法：
1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O.
2.过点O作OD⊥BC.垂足为D.
3.以O为圆心，OD为半径作圆O.
☉O就是所求的圆.
做一做
1.与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆.
2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.
3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.
B
A
C
I
☉I是△ABC的内切圆，点I是△ABC的内心，△ABC是☉I的外切三角形.
例3
已知:△ABC(如图),
(1)求作△ABC的内切圆☉I(要求:用尺规作图,保留作图痕迹,写出作法,不要求证明).
(2)在题(1)已经作好的图中,若∠BAC=88°,求∠BIC的度数.
考点探究3
三角形的内切圆的作法
解析：(1)①以A为圆心、任意长为半径画圆,分别交AC、AB于点H、G;
②分别以H、G为圆心,以大于
HG的长为半
径画圆,两圆相交于K点,连接AK,则AK即为
∠BAC的平分线;
③同理作出∠ABC的平分线BF,交AK于点I,则I即为△ABC内切圆的圆心;
④过I作IM⊥BC于M,以I为圆心,IM为半径画圆,则☉I即为所求圆.
(2)∵∠BAC=88°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-88°=92°,
∴∠IBC+∠ICB=
(∠ABC+∠ACB)=
×92°=46°,
∴∠BIC=180°-46°=134°.
3.
△ABC的内切圆半径为r，
△ABC的周长为l，求△ABC的面积.（提示：设内心为O，连接OA、OB、OC.）
解：
设AB
=
c，BC
=
a，AC
=
b.
C
A
B
·
O
D
M
N
r
r
r
则S△OBC=
ar,
S△OBA=
cr,
S△OAC=
br,
S△ABC=S△OBC
+S△OBA
+S△OAC
=
ar
+
cr
+
br
=
r（a+c+b）
=
lr
巩固练习
B
A
C
I
问题1
如图，☉I是△ABC的内切圆，那么线段IA，IB
,IC有什么特点？
线段IA，IB
,IC
分别是∠A，∠B，∠C的平分线.
三角形的内心的定义和性质
探究新知
B
A
C
I
问题2
如图，分别过点作AB、AC、BC的垂线，垂足分别为E、F，G，那么线段IE、IF、IG之间有什么关系？
E
F
G
IE=IF=IG
三角形内心的性质
三角形的内心在三角形的角平分线上.
三角形的内心到三角形的三边距离相等.
B
A
C
I
E
F
G
IA，IB，IC是△ABC的角平分线，IE=IF=IG.
例4
如图，△ABC中，∠
B=43°，∠C=61
°，点I是△ABC的内心，求∠
BIC的度数.
解：连接IB，IC.
A
B
C
I
∵点I是△ABC的内心，
∴IB，IC分别是∠
B，∠C的平分线，
在△IBC中，
考点探究4
利用三角形内心的性质求角度
4.如图,在△ABC中,点P是△ABC的内心,则∠PBC+∠PCA+∠PAB=
.
解析：∵点P是△ABC的内心,
∴PB平分∠ABC,PA平分∠BAC,PC平分∠ACB,
∴∠PBC+∠PCA+∠PAB=90°.
90°
巩固练习
名称
确定方法
图形
性质
外心：三角形外接圆的圆心
内心：三角形内切圆的圆心
三角形三边中垂线的交点
1.OA=OB=OC
2.外心不一定在三角形的内部．
三角形三条
角平分线的
交点
1.到三边的距离相等；
2.OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB
3.内心在三角形内部．
A
B
O
A
B
C
O
探究新知
A
2.如图，已知点O是△ABC
的内心，且∠ABC=
60
°,
∠ACB=
80
°,则∠BOC=
.
1.如图，PA、PB是☉O的两条切线，切点分别是A、B，如果AP=4,
∠APB=
40
°
,则∠APO=
,PB=
.
B
P
O
A
第1题
B
C
O
第2题
20
°
4
110
°
课堂检测
（3）若∠BIC=100
°，则∠A
=
度.
（2）若∠A=80
°，则∠BIC
=
度.
130
20
3.如图，在△ABC中，点I是内心，
（1）若∠ABC=50°，
∠ACB=70°，∠BIC=_____.
A
B
C
I
（4）试探索：
∠A与∠BIC之间存在怎样的数量关系？
120°
4.如图所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC.
证明：连接OD，
∵AC切⊙O于点D，∴OD⊥AC，
∴∠ODC=∠B=90°.
在Rt△OCD和Rt△OCB中，OD＝OB
，OC＝OC
∴Rt△ODC≌Rt△OBC（HL），
∴∠DOC=∠BOC.
∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED，
∵∠DOB=∠ODE+∠OED，
∴∠BOC=∠OED，∴DE∥OC．
5.如图，△ABC中，I是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.
求证：DI＝DB.
证明：连接BI.
∵I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠BAD=∠CBD，
∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠CBD，
∴∠BID=∠IBD，
∴BD=ID．
切线长
切线长定理
作用
图形的轴对称性
原理
提供了证线段和角相等的新方法
辅助线
分别连接圆心和切点；
连接两切点；
连接圆心和圆外一点.
三角形内切圆
运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.
有关概念
内心概念及性质
应用
总结新知