北京市平谷区2019-2020学年高二下学期期末质量监控数学试题 Word版含答案

平谷区2019—2020学年度第二学期质量监控试卷
高二数学
2020．6
第Ⅰ卷选择题（共40分）
—、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）
在复平面内，复数对应的点的坐标是
2．知抛物线，那么其焦点到准线的距离是
A．2
B．4
C．6
D．8
3．已知等差数列}中那么
A．17
B．9
C．
10
D．
24
4，已知直线与圆相切，那么a的值为
A．3或－1
B．
C．－3或－7
D．
5．已知函数f（x）的导函数图像如图所示，那么下列说法正确的是
A．函数f(x)在上单调递减
B．函数f（x）有三个零点
C．当x＝0时，函数f（x）取得最大值
D．当x＝0时，函数f（x）取得极大值
6．已知数列的前n项和为，则
A．48
B．
32
C．
24
D．
8
7．设函数，则f(x)是
A．有一个零点的增函数
B．有一个零点的减函数
C．有二个零点的增函数
D．没有零点的减函数
8．某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖，在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：
小张说：“甲或丙团队获得一等奖"；
小王说：“乙团队获得一等奖”；
小李说：“丁、丙两个团队均未获得一等奖"；
小赵说：“甲团队获得一等奖"．
若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是
A．
甲
B．乙
C．丙
D．丁
第Ⅱ卷非选择题（共110分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
9．已知复数，那么________
10．已知直线与直线互相垂直，那么b＝________
11．已知双曲线的一个焦点为（3，0），一个顶点为（1，0），那么其渐近线方程为________
12．已知等差数列中，，等比数列中，
，那么数列的前4项和________
13．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且焦点到渐近线的距离为，那么双曲线的离心率为________
14．日常生活中的饮用水通常都是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知1t水净化到纯净度为x%时所需费用（单位：元）为．那么净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是________元/t．
三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
）
15．
（本题满分13分）
已知函数
(Ⅰ)求曲线在点(1，f(1))处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在[—2，2]上的最大值和最小值．
16．
（本题满分13分）
设是等差数列的前n项和，，________．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和的最值．
从中任选一个，补充在上面的问题中并作答．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）．
17．
（本题满分13分）
已知椭圆的离心率为，过点（2，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设左、右焦点分别为，经过右焦点F2的直线l与椭圆C相交于A、B两点，若，求直线l方程。
18．
（本题满分14分）已知函数
(Ⅰ)若函数f(x)在x＝e处取得极值，求a的值；
（Ⅱ）若对所有，都有f（x），求实数a的取值范围．
19．（本题满分14分）
已知椭圆C：的左、右焦点分别为，椭圆上一点满足．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知椭圆C上两点M、N关于x轴对称，点P为椭圆上一动点（不与M、N重合），若直线PM，PN与
轴分别交于G、H两点，证明：为定值．
20．（本题满分13分）
定义首项为1，且公比为正数的等比数列为"M—数列”
(Ⅰ)已知数列是单调递增的等差数列，满足，求数列的通项公式；
（Ⅱ）已知数列的前n项和为，若是和1的等差中项，证明：数列是"M－数列"；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若存在"M—数列”
，对于任意正整数k，都有成立．求此时数列公比q的最小值．
平谷区2019-2020学年度第二学期教学试卷参考答案
高二数学　　　
2020.6
一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
B
A
D
C
A
B
二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9.
；
10.
2；
11.
；
12.
320；
13.
14.
40.15
三、解答题：本大题共6小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．
15．（本小题满分13分）
解：（I）因为，
………
2分
，即切线的斜率
………4分
又因为，即切点坐标为，
………
6分
所以曲线在点处的切线方程为.………
7分
（II）由，令，
………
8分
-2
-1
0
2
+
0
0
+
0
2
16
所以的最大值为16，最小值为0.
………13分
16．（本小题满分13分）
选①补充条件.
解：（I）设等差数列的公差为，
由，，得，解得，
所以．
………
7分
（II）解法1：由等差数列的通项公式可知，数列是单调递增数列，且首项为1，所以前项和有最小值，无最大值，且最小值为.
解法2：由数列的前项和
由二次函数图像性质可知，当时有最小值1，无最大值.
………
13分
选②补充条件.
解：（I）设等差数列的公差为，因为
，所以
由，
所以．
………7分
（II）解法1：因为，所以等差数列是单调递减数列.
令，，，所以前5项和为的最大值.
即前项和的最大值为，无最小值.
解法2：因为数列的前项和
由二次函数图像性质可知，当时有最大值，无最小值.
………
13分
选③补充条件.
解：（I）设等差数列的公差为，
由，，得，
解得，
所以．
………
7分
（II）解法1：因为，所以等差数列是单调递减数列.
令，，，即当时前项和有最大值.
所以前项和的最大值为，无最小值.
解法2：数列的前项和
由二次函数图像性质可知，当时有最大值45，无最小值.
……
13分
17.
（本小题满分13分）
解：（Ⅰ），且过点.
∴，
………
2分
∴
∴椭圆的标准方程为：；
………
4分
（Ⅱ）当斜率不存在时，设:，
得
显然不满足条件.
………6分
当斜率存在时设:，、，………
7分
联立整理得：，
∴，
………
9分
因为，
所以
即：
整理得
………
11分
带入化简：
∴直线方程为.
………
13分
18．（本小题满分14分）
解：（I）由得………
2分
因为函数在处取得极值，
所以，
………4分
解得
………5分
经检验，时，函数在处取得极大值.
所以
………
6分
（II）
因为对所有，都有，
所以
………
8分
设
则
………10分
因为，所以，
即在上单调递减
………12分
所以
即
………14分
19．（本小题满分14分）
解：（I）由椭圆上一点
满足.
得
………
2分
且
………
3分
所以
所以椭圆的方程为．
………
4分
（II）证明：因为，两点关于轴对称，
所以设，，则，
………
5分
得直线的方程为，
令得点的横坐标，
同理可得点的横坐标
.
………9分
∴，………
11分
因为，
∴，．
………
13分
即得：为定值．
………
14分
20．（本小题满分13分）
解：（I）因为是等差数列，
所以
………
1分
又因为是递增等差数列，
所以
即数列的通项公式为
………
3分
（II）因为是和1的等差中项，
所以
………
4分
当时，
………
5分
当时，
化简得
即数列是首项为1，公比为2的等比数列.
所以数列是“M-数列”.
………
7分
（III）因为数列是
“M-数列”
所以数列是首项为1，公比为正数的等比数列，设公比为，
则.
………
8分
因为对于任意正整数，都有成立，
即恒成立
两边取对数得
………
9分
设
则
令
即
即
所以比较大小
而
所以
………
11分
即
因为
所以
所以数列公比的最小值为.
………13分