(共32张PPT)
第一章
导数及其应用
§1.1 变化率与导数
§1.1.1 变化率问题
§1.1.2 导数的概念
[课标要求]
1．通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景．(难点)
2．会求函数在某一点附近的平均变化率．(重点)
3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点、难点)
平均变化率
瞬时变化率
知识点一 平均变化率
【问题1】 气球的膨胀率
阅读教材，思考下面的问题．
吹一只气球，观察一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．从数学的角度，如何描述这种现象呢？
【问题3】 结合问题1和问题2说出你对平均变化率的理解．
知识点二 函数在某点处的导数
【问题1】 (1)物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？
(2)什么叫做瞬时速度？
(3)它与平均速度有什么关系？
【问题2】 平均变化率与瞬时变化率有什么关系？
【问题3】 导数与瞬时变化率有什么关系？
题型一 求函数的平均变化率
【例1】 求函数f(x)＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率．
2．一辆汽车按规律s＝2t2＋3做直线运动，求这辆车在t＝2时的瞬时速度(时间单位：s，位移单位：m)．
3．利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．
易错误区(一) 对导数的概念理解不清致误
【答案】 4m
答案 －1
008§1.1.1 变化率问题
§1.1.2 导数的概念
[限时50分钟，满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．质点运动规律s＝2t2＋5，则在时间(2，2＋Δt)中，相应的平均速度等于
A．8＋2Δt
B．8＋2Δt＋
C．4＋Δt
D．8＋Δt
解析 Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝2(2＋Δt)2＋5－(2×22＋5)＝2(Δt)2＋8Δt.
∴＝＝8＋2Δt.
答案 A
2．函数y＝x2－2x在x＝2附近的平均变化率是
A．2
B．Δx
C．Δx＋2
D．1
解析 Δy＝f(2＋Δx)－f(2)
＝(2＋Δx)2－2(2＋Δx)－(4－4)
＝(Δx)2＋2Δx，
∴＝＝Δx＋2.
答案 C
3．设函数y＝f(x)可导，则等于
A．f′(1)
B．3f′(1)
C.f′(1)
D．以上都不对
解析
＝3
＝3f′(1)．
答案 B
4．一个物体的运动方程为s＝(2t＋1)2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么该物体在1秒末的瞬时速度是
A．10米/秒
B．8米/秒
C．12米/秒
D．6米/秒
解析 ∵s＝4t2＋4t＋1，
Δs＝[4(1＋Δt)2＋4(1＋Δt)＋1]－(4×12＋4×1＋1)
＝4(Δt)2＋12Δt，
＝＝4Δt＋12，
∴v＝＝(4Δt＋12)＝12(米/秒)．
答案 C
5．如果函数y＝f(x)＝在点x＝x0处的瞬时变化率是，那么x0的值是
A.
B.
C．1
D．3
解析 函数f(x)＝在x＝x0处的瞬时变化率，
f′(x0)＝＝
＝＝，
∴x0＝.
答案 A
6．某物体做直线运动，其运动规律是s＝t2＋(t的单位是秒，s的单位是米)，则它的瞬时速度为0米/秒的时刻为
A．8秒末
B．6秒末
C．4秒末
D．2秒末
解析 设当t＝t0时该物体瞬时速度为0米/秒，
∵＝eq
\f(（t0＋Δt）2＋\f(16,t0＋Δt)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(16,t0))),Δt)
＝2t0＋Δt－，
∴＝2t0－eq
\f(16,t)，
由2t0－eq
\f(16,t)＝0得t0＝2.
答案 D
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．函数y＝－3x2＋6在区间[1，1＋Δx]内的平均变化率是________．
解析 ＝
＝＝－6－3Δx.
答案 －6－3Δx
8．一质点的运动方程为s＝，则t＝3时的瞬时速度为________．
解析 由导数定义及导数的物理意义知
s′＝＝
＝＝－，
∴s′＝－，即t＝3时的瞬时速度为－.
答案 －
9．已知曲线y＝－1上两点A、B，当Δx＝1时，割线AB的斜率为________．
解析 Δy＝－
＝－＝＝.
∴＝＝－，
即k＝＝－.
∴当Δx＝1时，k＝－＝－.
答案 －
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10．(10分)一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2.
(1)求此物体的初速度；
(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；
(3)求t＝0到t＝2的平均速度．
解析 (1)v0＝
＝＝(3－Δt)＝3.
(2)v2＝＝(－Δt－1)＝－1.
(3)＝＝＝1.
11．(12分)已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求适合f′(x0)＋2＝g′(x0)的x0值．
解析 由导数的定义知，
f′(x0)＝＝eq
\f(（x0＋Δx）2－x,Δx)＝2x0，
g′(x0)＝＝eq
\f(（x0＋Δx）3－x,Δx)＝3x.
因为f′(x0)＋2＝g′(x0)，
所以2x0＋2＝3x，即3x－2x0－2＝0，
解得x0＝或x0＝.
12．(13分)节日期间燃放烟花是中国的传统习惯之一，制造时通常希望它在达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h(m)与时间t(s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，求烟花在t＝2
s时的瞬时速度，并解释烟花升空后的运动状况．
解析 因为＝＝－9.8t－4.9Δt＋14.7，
所以h′(t)＝＝(－9.8t－4.9Δt＋14.7)
＝－9.8t＋14.7，
所以h′(2)＝－4.9，
即在t＝2
s时烟花正以4.9
m/s的速度下降．
由h′(t)＝0得t＝1.5，所以在t＝1.5
s附近，烟花运动的瞬时速度几乎为0，此时达到最高点并爆裂，在1.5
s之前，导数大于0且递减，所以烟花以越来越小的速度上升，在1.5
s之后，导数小于0且绝对值越来越大，所以烟花以越来越大的速度下降，直至落地．
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5(共35张PPT)
§1.1.3 导数的几何意义
[课标要求]
1．了解导函数的概念；理解导数的几何意义．(难点)
2．会求导函数．(重点)
3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．(重点、易错点)
斜率
y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
确定
导数
知识点一 导数的几何意义
【问题1】 曲线的切线是不是一定和曲线只有一个公共点？
【问题2】 曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线过某点(x0，y0)的切线有何不同？
答案 曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f(x0))一定是切点，只要求出k＝f′(x0)，利用点斜式写出切线即可；而曲线f(x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点．
知识点二 导数与函数的单调性
【问题1】 观察下面两个图形，在曲线的切点附近(Δx→0时)曲线与那一小段线段有何关系？
答案 能在曲线的切点附近，曲线与切线贴合在一起，可用切线近似代替曲线．
【问题2】 按照切线近似代替曲线的思想，切线的单调性能否表示曲线的变化趋势？如上左图，若在某一区间上曲线上各点的切线斜率均为负，则可判定在该区间上曲线的单调性如何？
答案 在连续区间上切线斜率的正负，对应了曲线的单调性．
【问题3】 如问题1中右图，当t在(t0，t2)上变化时，其对应各点的导数值变化吗？会怎样变化？
答案 会．当t变化时h′(t)便是t的一个函数，我们称它为h(t)的导函数．
知识点三 函数y＝f(x)的导函数
【问题】 函数在某点处的导数与导函数有什么关系？
答案 区别：(1)f′(x)是函数f(x)的导函数，简称导数，是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与x0，Δx无关；(2)f′(x0)表示的是函数f(x)在x＝x0处的导数，是对一个点而言的，它是一个确定的值，与给定的函数及x0的位置有关，而与Δx无关．
联系：在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这点的函数值.
●规律方法
求曲线上某点处的切线方程的步骤
(1)求出该点的坐标．
(2)求出函数在该点处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率．
(3)利用点斜式写出切线方程．
1．例1中的P点换为坐标原点(0，0)，其他不变，如何解答？
题型二 求切点坐标
【例2】 过曲线y＝x2上哪一点的切线满足下列条件？
(1)平行于直线y＝4x－5；
(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；
(3)倾斜角为135°.
●规律方法
求切点坐标的一般步骤
(1)先设切点坐标(x0，y0)．
(2)求导函数f′(x)．
(3)求切线的斜率f′(x0)．
(4)由已知条件求出切线的斜率k.由此得到方程f′(x0)＝k，解此方程求出x0.
(5)由于点(x0，y0)在曲线y＝f(x)上，故将x0代入曲线方程可得y0，即可写出切点坐标．
题型三 导数几何意义的综合应用
【例3】 已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1，0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.
(1)求直线l1，l2的方程；
(2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积．
●规律方法
与导数几何意义相关题目的解题策略
(1)与导数的几何意义相关的综合问题解题的关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可以求切点，切点的坐标是常设的未知量．
(2)与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题．
3．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a＜0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．
【典例】 (12分)已知函数y＝f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，求过点P与曲线y＝f(x)相切的直线l的方程．
规范解答(一) 求曲线过点P(x1，y1)的切线方程
[审题指导]
2．注意事项：
(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异．过点P的切线，点P不一定是切点，也不一定在曲线上；在点P处的切线，点P必为切点，且在曲线上．
(2)若曲线y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)不存在，则切线与y轴平行或不存在；若f′(x0)＝0，则切线与x轴平行．
已知曲线y＝2x2－7，求曲线过点P(3，9)的切线方程．§1.1.3 导数的几何意义
[限时50分钟，满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．已知y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是
A．f′(xA)＞f′(xB)
B．f′(xA)＜f′(xB)
C．f′(xA)＝f′(xB)
D．不能确定
解析 由图可知，曲线在点A处的切线的斜率比曲线在点B处的切线的斜率小，
结合导数的几何意义知f′(xA)＜f′(xB)，选B.
答案 B
2．曲线y＝x2－2在点处的切线的倾斜角为
A．1
B.
C.
D．－
解析 f′(1)＝
＝
＝(1＋Δx)＝1，
即切线的斜率为1，故切线的倾斜角为.
答案 B
3．若曲线y＝2x2－4x＋a与直线y＝1相切，则a等于
A．1
B．2
C．3
D．4
解析 设切点坐标为(x0，1)，
则f′(x0)＝eq
\f([2（x0＋Δx）2－4（x0＋Δx）＋a]－（2x－4x0＋a）,Δx)
＝(4x0＋2Δx－4)＝4x0－4＝0，
∴x0＝1，即切点坐标为(1，1)．
∴2－4＋a＝1，即a＝3.
答案 C
4．设曲线y＝x2＋x－2在点M处的切线斜率为3，则点M的坐标为
A．(0，－2)
B．(1，0)
C．(0，0)
D．(1，1)
解析 设点M(x0，y0)，
∴k＝eq
\f(（x0＋Δx）2＋（x0＋Δx）－2－（x＋x0－2）,Δx)
＝2x0＋1，
令2x0＋1＝3，
∴x0＝1，则y0＝0.故选B.
答案 B
5．曲线y＝x2在点(1，1)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为
A.
B.
C．1
D．2
解析 f′(1)＝＝＝(2＋Δx)＝2.
则曲线在点(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，
即y＝2x－1.
则三角形的面积为S＝×1×＝.
答案 A
6．已知点P在曲线F：y＝x3－x上，且曲线F在点P处的切线与直线x＋2y＝0垂直，则点P的坐标为
A．(1，1)
B．(－1，0)
C．(－1，0)或(1，0)
D．(1，0)或(1，1)
解析 设点P(x0，y0)，则f′(x0)＝
＝eq
\f([（x0＋Δx）3－（x0＋Δx）]－（x－x0）,Δx)
＝3x－1＝2?x0＝±1.
答案 C
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．如果函数f(x)在x＝x0处的切线的倾斜角是钝角，那么函数f(x)在x＝x0附近的变化情况是________(填“逐渐上升”或“逐渐下降”)．
解析 由题意知f′(x0)<0，根据导数的几何意义知，f(x)在x＝x0附近的变化情况是“逐渐下降”．
答案 逐渐下降
8．已知函数y＝ax2＋b在点(1，3)处的切线斜率为2，则＝________．
解析
＝(aΔx＋2a)＝2a＝2，
∴a＝1，又3＝a×12＋b，∴b＝2，
即＝.
答案
9．已知曲线y＝的一条切线的斜率为，则切点的坐标为________．
解析 设切点的坐标为(x0，y0)，
因为＝eq
\f(\f(（x0＋Δx）2,4)－\f(x,4),Δx)＝x0＋Δx，
当Δx→0时，→x0，而切线的斜率为，
所以x0＝，所以x0＝1，y0＝.
故切点坐标为.
答案
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10．(10分)已知曲线C：y＝x3.求：
(1)曲线C上横坐标为1的点处的切线的方程；
(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
解析 (1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，
∴切点为P(1，1)．
∵y′＝＝
＝
＝[3x2＋3xΔx＋(Δx)2]＝3x2，
∴y′|＝3.
∴点P处的切线方程为y－1＝3(x－1)，
即3x－y－2＝0.
(2)由
可得(x－1)(x2＋x－2)＝0，
解得x1＝1，x2＝－2.
从而求得公共点为P(1，1)或P(－2，－8)．
故第(1)小题中的切线与曲线C还有其他的公共点．
11．(12分)已知一物体的运动方程是s＝求此物体在t＝1和t＝4时的瞬时速度．
解析 当t＝1时，
＝＝6＋3Δt，
所以s′(1)＝＝(6＋3Δt)＝6.
故当t＝1时的瞬时速度为6.
当t＝4时，
＝＝6＋3Δt，
所以s′(4)＝＝(6＋3Δt)＝6，
故当t＝4时的瞬时速度为6.
12．(13分)已知曲线f(x)＝x2的一条在点P(x0，y0)处的切线，求：
(1)切线平行于直线y＝－x＋2时切点P的坐标及切线方程；
(2)切线垂直于直线x－4y＋5＝0时切点P的坐标及切线方程；
(3)切线的倾斜角为60°时切点P的坐标及切线方程．
解析 f′(x0)＝eq
\f(（x0＋Δx）2－x,Δx)＝2x0.
(1)因为切线与直线y＝－x＋2平行，
所以2x0＝－1，x0＝－，即P，
所以切线方程为y－＝－，
即4x＋4y＋1＝0.
(2)因为切线与直线x－4y＋5＝0垂直，
所以2x0·＝－1，x0＝－4，即P(－4，16)．
所以切线方程为y－16＝－8(x＋4)，
即8x＋y＋16＝0.
(3)因为切线的倾斜角为60°，
所以切线的斜率为，即2x0＝，x0＝，
所以P，所以切线方程为y－＝，
即4x－4y－3＝0.
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