(共21张PPT)
第七章
平行线的证明
7.2
定义与命题
第2课时
定理与证明
1
课堂讲解
定理与公理
证明的意义
命题的证明
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
想一想
举一个反例就可以说明一个命题是假命题，那
么如何证实一个命题是真命题呢？
1
知识点
定理与公理
知1－导
用我们以前学过的观察、实验、验证特例等方法.
这些方法往往不可靠.
能不能根据已经知道的真命题证实呢？
知1－导
那已经知道的真命题又是如何证实的？
哦……那可怎么办？
1.其实，在数学发展史上，数学家们也遇到过类似的问题.公元
前3世纪，人们已经积累了大量的数学知识，在此基础上，古
希腊数学家欧几里得
（Euclid，公元前300年前后）编写了一
本书，书名叫做《原本》（Elements）.
为了说明每一结论的
正确性，他在编写这本书时进行了大胆创造：挑选了一部分数
学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的出发点和依
据，其中的数学名词称为原名，公认的真命题称为公理(axiom).
除了公理外，其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行
判断.
知1－讲
2.本套教科书选用九条基本事实作为证明的出发点和依据，我们
已经认识了其中的八条，它们是：
（1）两点确定一条直线.
（2）两点之间线段最短.
（3）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
（4）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两
条直线平行
(简述为：同位角相等，两直线平行).
（5）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
（6）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
知1－讲
（7）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
（8）三边分别相等的两个三角形全等.
另外一条基本事实我们将在后面的学习中认识它.
此外，数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质，
以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据.
例如，如果a=b，b=c,
那么a=c,这一性质也可以作为
证明的依据，称为“等量代换”.又如，如果a>b，b>c，
那么a>c,这一性质同样可以作为证明的依据.
知1－讲
例1
下列命题不是公理的是( )
A．两点确定一条直线
B．两点之间线段最短
C．两条平行线被第三条直线所截，内错角相等
D．三边分别相等的两个三角形全等
导引：公认的真命题称为公理，其正确性不需要推理
证实．
知1－讲
C
知1－讲
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等是
定理，不是公理．
1
“两点之间，线段最短”这一语句是( )
A．定理
B．公理
C．定义
D．假命题
2
下列叙述错误的是( )
A．所有的命题都有条件和结论
B．所有的命题都是定理
C．所有的定理都是命题
D．所有的公理都是真命题
知1－练
B
B
2
知识点
证明的意义
知2－讲
演绎推理的过程称为证明，经过证明的真命
题称为
定理.
每个定理都只能用公理、定义和已
经证明
为真的命题来证明.
知2－讲
定义、命题、公理
(基本事实)、定理之间的区别
与联系：
(1)联系：这四者都是命题．
(2)区别：定义、公理（基本事实）、定理都是真
命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的
依据，只不过公理（基本事实）是最原始的依
据；而命题不一定是真命题，因而不
一定能作
为进一步判断其他命题真假的依据.
知2－讲
例2
已知：如图,直线AB与直线CD相交于点O,
∠AOC与∠BOD是对顶角.
求证：∠AOC=∠BOD.
证明：∵直线AB与直线CD相交于点O,
∴∠AOB和∠COD都是平角(平角的定义).
∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的补角(补角的定义).
∴∠AOC=∠BOD(同角的补角相等).
由上面的例题，我们可以得到定理：
定理
对顶角相等.
知2－讲
例3
如图，在直线AC上取一点O，作射线
OB，OE和OF，使OE和OF分别平分
∠AOB和∠BOC，求证：OE⊥OF.
证明：因为OE和OF分别平分∠AOB和∠BOC，
所以∠EOB＝
又因为∠AOB＋∠BOC＝180°，
所以∠EOB＋∠BOF＝
×180°＝90°.
即∠EOF＝90°，所以OE⊥OF.
知2－讲
要证明命题是正确的，可以从条件出发，根据
定义、公理和已学过的定理，逐步进行推理．
知2－练
1
下列说法错误的是( )
A．命题是判断一件事情的句子
B．基本事实的正确性必须得到证明
C．证明假命题举一个反例即可
D．推理的过程叫做证明
B
知2－练
2
在每一步推理后面的括号内填上理由．
证明：(1)如图①，因为AB∥CD，EF∥CD，所以
AB∥EF(________________________________)．
(2)如图②，因为AB∥CD，过点F画EF∥AB
(____________________________________________)，
所以
EF∥CD(______________________________)．
平行于同一条直线的两直线平行
平行于同一条直线的两直线平行
过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
3
知识点
命题的证明
知3－讲
证明一个命题的一般步骤：
①分清命题的条件和结论，如果与图形有关，
首先根据题意，画出图形，并在图形上标
出有关字母与符号；
②根据条件、结论，结合图形，写出已知、
求证；
③经过分析，找出由已知推出结论的途径，
有条理地写出证明过程．
几何的推理方法主要有两种：
一种是综合法，即由“因”到“果”，由已知条件
逐步推导出结论；
一种是分析法，即执“果”索“因”，根据要推出
的结论，分析必须找到什么样的条件，一步一步反
推到条件．
必做:
完成教材P171
习题T1-T2(共24张PPT)
第七章
平行线的证明
7.2
定义与命题
第1课时
定义与命题
1
课堂讲解
定义
命题及命题的结构
命题的分类
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
请阅读以下几句话：
（1）具有中华人民共和国国籍的人，叫做中华人民共和
国公民.
（2）两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离.
（3）无限不循环小数称为无理数.
（4）由不在同一直线上的若干线段首尾顺次连接所组成
的平面图形叫做多边形.
（5）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
1
知识点
定
义
1.对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，
也就是给出它们的定义．
2.定义是今后证明的重要依据，它既可作为性质应
用，也可作为判定方法应用．
知1－讲
例1
下列语句属于定义的是( )
A．两点确定一条直线
B．两直线平行，同位角相等
C．等角的补角相等
D．三条边都相等的三角形叫做等边三边形
解：
定义是对名称和术语的含义加以描述，作出明
确的规定，只有D中语句符合要求，故选D.
知1－讲
D
知1－练
1
下列语句属于定义的有( )
①含有未知数的等式称为方程；
②等式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2称为两数和的完全平方
公式；
③如果a，b为实数，那么(a－b)2＝a2－2ab＋b2；
④三角形内角和等于180°.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
B
2
知识点
命题及命题的结构
知2－导
议一议
下面的语句中，哪些语句对事情作出了判断，哪些没有？
与同伴进行交流.
（1）任何一个三角形一定有一个角是直角；
（2）对顶角相等；
（3）无论n为怎样的自然数，式子n2－n+11的值都是质数；
（4）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也
互相平行；
（5）你喜欢数学吗？
（6）作线段AB=CD.
知2－讲
1.定义：判断一件事情的句子，叫做命题．
2.特别解读：（1）命题只是对事情进行判断，判断的结果
可能是正确的，也可能是错误的；
（2）命题必须是一个完整的句子，不能是一个词语；
（3）命题必须具有“判断”作用，要对事情作出肯定或否
定的判断，
故命题不能是祈使句或疑问句.
注：（1）命题常可以写成“如果……那么……”的形式，
其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的
部分是结论．
（2）有些命题的条件和结论不明显，可将它经过适
当变形，改写成“如果……那么……”的形式．
知2－讲
例2
下列语句：(1)时间都去哪儿了？(2)画一条直线的
平行线；(3)长方形的四个角都是直角；(4)4不是偶
数．其中命题共有( )个．
A．1 B．2 C．3 D．4
导引：紧扣命题的定义进行判断：(1)是一个疑问句，没有
作出判断，所以不是命题；(2)没有包含判断的意思，
所以不是命题；(3)对一件事情作出了肯定的判断，
所以是命题；(4)对事情作出了否定的判断，所以是
命题.
B
知2－讲
命题是表示判断的语句，它包含有因果关系，一
般都是以陈述句的形式展现；其他如疑问句、感叹句、
祈使句以及表示画图的语句都不是命题.
知2－讲
例3
把下列命题改写成“如果……那么……”的形式：
(1)对顶角相等；
(2)垂直于同一条直线的两条直线平行；
(3)同角或等角的余角相等．
导引：紧扣命题的结构形式进行改写．
解：(1)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
(2)如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
(3)如果两个角是同一个角的余角或两个相等的角的余角，那么
这两个角相等.
知2－讲
1．命题改写的原则：不改变命题的原意；
2．命题改写的方法：先弄清命题的条件（已知的事项）
部分和结论部分，再将其改写为“如果……那么……”
的形式，“如果”后面跟的是已知事项，“那么”
后面跟的是由已知事项推出的事项(即结论)．
知2－练
1
下列语句是命题的是( )
A．过一点能作无数条直线吗
B．直角大于锐角
C．作∠A的平分线
D．在线段AB上截取AC
B
知2－练
2
(中考·佛山)下列说法正确的是( )
A．互补的两个角是邻补角的定义
B．同旁内角互补不是命题
C．两直线平行，内错角相等的条件是内错角相等
D．相等的两个角是对顶角的条件是相等的两个角
D
3
知识点
命题的分类
知3－导
做一做
指出下列各命题的条件和结论，其中哪些命题是错
误的？你是如何判断的？与同伴进行交流.
（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；
（2）如果a≠b，b≠c,那么a≠c；
（3）全等三角形的面积相等；
（4）三角形三个内角的和等于180°.
知3－讲
1.正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题.
2.要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，
使它具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种
例子称为反例.
知3－讲
例4
指出下列命题的条件和结论，并判断是真命题还是
假命题．
(1)互为补角的两个角相等；
(2)若a＝b，则a＋c＝b＋c；
(3)如果两个长方形的周长相等，那么这两个长方形
的面积相等．
导引：紧扣真命题和假命题的定义进行判断．
知3－讲
解：(1)条件：两个角互为补角.
结论：这两个角相等.
假命题．
(2)条件：a＝b.
结论：a＋c＝b＋c.真命题．
(3)条件：两个长方形的周长相等.
结论：这两个
长方形的面积相等．假命题．
知3－讲
判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），使它符合命题的条件，但不满足结论就可以了.
而说明一个命题是真命题，需要从已知出发，经过一步一步推理，最后得出正确结论.
知3－练
(中考·庆阳)已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个命题：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；
②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；
④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c.
其中真命题是________．(填写所有真命题的序号)
①②④
知3－练
2
(中考·漳州)下列命题中，是假命题的是( )
A．对顶角相等
B．同旁内角互补
C．两点确定一条直线
D．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
B
(1)
命题必须是一个完整的句子，且具有“判断”
作用．
(2)
命题只需具有“判断”功能，而不论这个判断
正确与否．
判断命题及改写命题的要求：
看一句话是不是命题，关键是看它是不是作出了明
确的判断，是不是一个完整的句子．在改写命题时，不
是机械地在原命题中添上“如果……”和“那么……”，
而要使改写后命题的实质不变，条件和结论明朗化，主
要要求：(1)改写后的命题与改写前的命题的内容要一
致；(2)改写后的命题的句子要完整、语句要通顺，必
要时，要对原命题加一些修饰，并且补上原来省略的部
分．
必做:
完成教材P167，习题T1-T3
