7.4平行线的性质课件（29张PPT)

(共29张PPT)
第七章
平行线的证明
7.4
平行线的性质
1
课堂讲解
平行线的性质
平行线的性质与判定的关系
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
1、什么叫做平行线？
2、平行线的判定方法有哪些？
复
习
回
顾
1
知识点
平行线的性质
1.定理：两直线平行，同位角相等.
（1）已知：如图1，直线AB//CD，∠1和∠2是直线AB，CD被直线
EF截出的同位角.
求证：∠1
=
∠2.
知1－讲
如果∠1≠∠2，
AB与CD的位置关
系会怎样呢？
图1
知1－讲
证明：假设∠1≠∠2，那么我们可以
过点M作直线GH，使∠EMH=
∠2，如图2所示.
根据“同位角相等，两直线平行”，
可知GH//CD.
又因为AB//
CD，这样经过点M
存在两条直线AB和GH都与直线
CD平行.
这与基本事实“过直线外一点有
且只有一条直线与这条直线平行”
相矛盾.
这说明∠1≠∠2的假设不成立，所以∠1=∠2.
图2
知1－讲
（2）性质1：两条平行直线被第三条直线所截，同
位角相等．
简称：两直线平行，同位角相等．
表达方式：如图，因为a∥b，(已知)
所以∠1＝∠2.(两直线平行，同
位角相等)
例1
如图，若AB∥CD，且∠1＝∠2，试判断AM与CN的位置关
系，并说明理由．
导引：AM与CN的位置关系很显然是平行的，要说明AM∥CN，可考
虑说明∠EAM＝∠ECN.因为∠1＝∠2，所以只需说明∠EAB
＝∠ACD即可，由于“两直线平行，同位角相等”，所以根
据AB∥CD即可得出∠EAB＝∠ACD.
解：AM∥CN.
理由：∵AB∥CD(已知)，
∴∠EAB＝∠ACD(两直线平行，同位角相等)．
又∵∠1＝∠2(已知)，
∴∠MAE＝∠NCA(等式性质)．
∴AM∥CN(同位角相等，两直线平行)．
知1－讲
知1－讲
当题目已知条件中出现两直线平行时，要考虑是
否出现了相等的角．
平行线和角的大小关系是紧密联系在一起的，由
平行线可以得到相等的角，反过来又可以由相等的角
得到新的一组平行线，这种由角的大小关系与直线的
位置关系的相互转化在解题中会经常涉及．
1
(中考·泸州)如图，AB∥CD，BC平分∠ABD.
若∠C＝40°，
则∠D的度数为(　　)
A．90°
B．100°
C．110°
D．120°
知1－练
B
(中考·枣庄)如图，把一块含有45°角的直角三角
板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1＝20°，
那么∠2的度数是(　　)
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
知1－练
C
知1－讲
2.定理：两直线平行，内错角相等.
（1）已知：如图，直线l1//l2，∠1和∠2是直
线l1，l2被直线l截出的内错角.
求证：∠1=
∠2.
证明：∵l1//l2（已知），
∴∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）.
又∵∠2=∠3
（对顶角相等），
∴∠l=∠2
(等量代换）.
知1－讲
（2）性质2：两条平行直线被第三条直线所截，内错角
相等．
简称：两直线平行，内错角相等．
表达方式：如图，因为a∥b
(已知)
，
所以∠1＝∠2
(两直线平行，内错角相等)
.
要点精析：两直线平行是前提，只有在这个前提下
才有内错角相等．
例2
如图，已知AE∥BC，∠B＝∠C，
AE是∠DAC
的平分线吗？若是，请写出证明过程；若不是，
请说明理由.
导引：紧扣平行线的性质定理得出角的数量关系，
进而证明角相等．
解：
AE是∠DAC
的平分线．
证明如下：∵AE∥BC(已知)，
∴∠DAE＝∠B(两直线平行，同位角相等)，
∠CAE＝∠C(两直线平行，内错角相等)，
又∵∠B＝∠C(已知)，∴∠DAE＝∠CAE
(等量代换)，
∴AE是∠DAC
的平分线（角平分线的定义）．
知1－讲
知1－讲
求证两角相等，首先观察两角的位置（是否
为同位角、内错角等），然后选择合适的性质定
理.若无法直接证得两角相等，则分析由已知条
件可得到哪些结论，再探寻这些结论与所求角的
关系，关系找到后，问题即可解答.
(中考·东莞)如图，直线a∥b，∠1＝75°，∠2＝
35°，则∠3的度数是(　　)
A．75°
B．55°
C．40°
D．35°
知1－练
C
(中考·宜昌)如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为
E，∠1＝50°，则∠2的度数是(　　)
A．60°
B．50°
C．40°
D．30°
知1－练
C
知1－讲
3.定理：两直线平行，同旁内角互补.
性质3：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角
互补．
简称：两直线平行，同旁内角互补．
表达方式：如图，因为a∥b
(已知)
，
所以∠1+∠2=180°(两直线平行，同旁内角
互补)
.
例3
如图，如果AB∥DF，DE∥BC，且∠1＝65°，那么你能说出
∠2，∠3，∠4的度数吗？为什么？
导引：由DE∥BC，可得∠1＝∠4，∠1＋∠2＝
180°；由DF∥AB，可得∠3＝∠2，从
而得出∠2，∠3，∠4的度数．
解：
∵DE∥BC(已知)，
∴∠4＝∠1＝65°(两直线平行，内错角相等)，
∠2＋∠1＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．
即∠2＝180°－∠1＝180°－65°＝115°.
又∵DF∥AB(已知)，
∴∠3＝∠2(两直线平行，同位角相等)．
∴∠3＝115°(等量代换)．
知1－讲
知1－讲
1．求角的度数的基本思路：根据平行线的判定由角的
数量关系得到直线的位置关系，根据平行线的性质
由直线的位置关系得到角的数量关系，通过上述相
互转化，从而找到所求角与已知角之间的关系．
2．两直线平行时，应联想到平行线的三个性质，由两
条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系，
由角的关系求相应角的度数．
知1－讲
4.定理：平行于同一条直线的两条直线平行.
（1）已知：如图，b//a，c//a，∠1，∠2，∠3是直线a，b，
c被直线d截出的同位角.
求证：b//c.
证明：∵b//a
(已知），
∴∠2=∠1(两直线平行，同位角
相等）.
∵c//a（已知）,
∴∠3=∠1（两直线平行，同位角相等）.
∴∠2
=
∠
3（等量代换）.
∴b//c（同位角相等，两直线平行）.
知1－讲
一般地，我们有如下的定理：
定理
平行于同一条直线的两条直线平行.
1
(中考·恩施州)如图，已知AB∥DE，∠ABC＝70°，
∠CDE＝140°，则∠BCD为(　　)
A．20°
B．30°
C．40°
D．70°
2
(中考·河北)如图，AB∥EF，CD⊥EF，∠BAC＝50°，
则∠ACD＝(　　)
A．120°
B．130°
C．140°
D．150°
知1－练
B
C
2
知识点
平行线的性质与判定的关系
知2－讲
平行线的判定与平行线的性质的区别：
①平行线的判定是根据两角的数量关系得到两条直线
的位置关系，而平行线的性质是根据两条直线的位
置关系得到两角的数量关系；
②平行线的判定的条件是平行线的性质的结论，而平
行线的判定的结论是平行线的性质的条件．
知2－讲
例4
如图，已知∠ABC与∠ECB互补，∠1＝∠2，则∠P与
∠Q一定相等吗？说说你的理由．
导引：如果∠P和∠Q相等，那么PB∥CQ，所以要判断∠P与
∠Q是否相等，只需判断PB和CQ是否平行．要说明
PB∥CQ，可以通过说明∠PBC＝∠BCQ来实现，由于
∠1＝∠2，只需说明∠ABC＝∠BCD即可．
解：∠P＝∠Q.
理由：∵∠ABC与∠ECB互补(已知)，
∴AB∥ED(同旁内角互补，两直线平行)．
知2－讲
∴∠ABC＝∠BCD(两直线平行，内错角相等)．
∵∠1＝∠2(已知)，
∴∠ABC－∠1＝∠BCD－∠2(等式的性质)，
即∠PBC＝∠BCQ.
∴PB∥CQ(内错角相等，两直线平行)．
∴∠P＝∠Q(两直线平行，内错角相等)．
知2－讲
一个数学问题的构成含有四个要素：题目的
条件、解题的依据、解题的方法、题目的结论，
如果题目所含的四个要素解题者已经知道或者结
论虽未指明，但它是完全确定的，这样的问题就
是封闭性的数学问题．
1
(中考·河南)如图，直线a，b被直线c，d所截，若∠1＝
∠2，∠3＝125°，则∠4的度数为(　　)
A．55°
B．60°
C．70°
D．75°
2
如图，已知AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝90°，则∠3等
于(　　)
A．60°
B．50°
C．45°
D．30°
知2－练
A
A
从图形中得出结论是图形的性质；而从具备什
么条件推理出图形是图形的判定；特别说明，图形
的定义既是图形的判定，也是图形的性质；即：
条件
定义、判定
定义、性质
图形
结论．
必做:
完成教材P177
习题T1-T4