(共21张PPT)
第七章
平行线的证明
7.5
三角形内角和定理
第2课时
三角形的外角定理
1
课堂讲解
三角形外角的定义
三角形外角的性质
三角形的外角和
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
三角形的内角和定理是什么？
复
习
回
顾
1
知识点
三角形外角的定义
知1－导
三角形外角的定义：三角形内角的一条边与另一条边
的反向延长线组成的角，称为三角形的外角.
如图1，
∠
ACD
是△
ABC
的∠
ACB
的外角.
解：图中△
CEF
的三边的延长线
只有EF
的延长线FA，CE的延
长线EB，
延长线FA与边FC
构成的角为∠
AFC；延长线EB
与边EF
构成的角为∠
BEF.
由三角形外角的定义可以判断∠
AFC，∠
BEF
是△
CEF
的角.
知1－讲
例1
如图2，△
CEF
的外角________________.
导引：
紧扣三角形外角的定义识别外角.
∠AFC，∠BEF
知1－讲
判断一个角是不是三角形的一个外角，
关键看它是否满足三角形外角的
特征.
1
知1－练
下边的角是△ABC的外角的是(
)
∠ACE
B.∠ACF
C.
∠BCD
D.∠ACB
B
2
知识点
三角形外角的性质
知2－导
议一议
在图中，∠1与其他角有什么关系？能证明你的结
论吗?
知2－讲
1.三角形内角和定理的推论(三角形外角定理)：
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的
和．
2.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内
角．
作用：用来证明角的不等关系．
知2－讲
例2
已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平
分外角∠EAC.求证：AD//BC.
分析：要证明AD//BC，只需证明“同位角相等”
或
“内错角相等”或“同旁内角互补”.
知2－讲
证明：∵∠EAC=∠B+∠C
（三角形的一个外角等于和它
不相邻的两个内角的和），
∠B=∠C（已知），
∴∠C=
∵AD平分∠EAC（已知），
∴∠DAC=
∴∠DAC=∠C
（等量代换）.
∴AD//
BC
（内错角相等，两直线平行）.
知2－练
1
(中考·甘孜州)如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝
30°，
延长BA至点D，则∠CAD的大小为( )
A．110°
B．80°
C．70°
D．60°
2
(中考·来宾)如图，△ABC中，∠A＝40°，点D为AB延长线
上一点，且∠CBD＝120°，则∠C等于( )
A．40°
B．60°
C．80°
D．100°
C
C
知2－练
如图，P为△ABC内任一点，延长CP交AB于D，则
下列结论错误的是( )
A．∠1>∠3
B．∠1>∠A
C．∠2>∠A
D．∠3>∠A
C
3
知识点
三角形的外角和
△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成
的角，称为△ABC的外角.如图，
∠1是△ABC的∠ABC
的外角.你能在图中画出
△ABC的其他外角吗？
知3－导
1.三角形外角的定义：
三角形内角的一条边与另一条边的反向延长线
组成的角．如图中的∠ACD的一条边是△ABC的边
AC，另一条边是△ABC的边BC的延长线．
知3－讲
2.三角形的外角和等于360°.
已知：∠1、∠2、∠3为△ABC的三个外角，如图．
求证：∠1+∠2+∠3=360°．
证明：∵∠1+∠BAC=180°，
∠2+∠BCA=180°，
∠3+∠ABC=180°，
∴∠1+∠2+∠3+（∠BAC+∠BCA+∠ABC）=540°（等
式性质）.
∵∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°（三角形内角和定理），
∴∠1+∠2+∠3=360°.
知3－讲
例3
如图，△CEF的外角为________________．
解：图中△CEF的三边的延长线只有EF的延长线FA，CE
的延长线EB，延长线FA与边FC构成的角为∠AFC；
延长线EB与边EF构成的角为∠BEF.
由三角形外角的定义可以判断∠AFC，∠BEF是△CEF
的外角．
知3－讲
∠AFC，∠BEF
知3－讲
外角的特征：
⑴顶点是三角形的顶点；
⑵一边是三角形内角的一边；
⑶另一条边是该内角另一边的反向延长线
．
知3－练
1
如图，射线AD，BE，CF构成∠1，∠2，∠3，则
∠1＋∠2＋∠3等于( )
A．180°
B．360°
C．540°
D．无法确定
2
若一个三角形的三个外角的度数之比为2∶3∶4，则
与之对应的三个内角的度数之比为( )
A．4∶3∶2
B．5∶3∶1
C．3∶2∶4
D．3∶1∶5
B
B
1.三角形的外角实质上就是三角形一个内角的邻补角．
三角形外角的顶点是三角形的顶点，一条边是三角形
内角的一边，另一条边是该内角另一条边的反向延长
线．
2.三角形内角和定理的推论：①两个定理说明了三角形
的外角与内角之间的关系，其中一个是外角与内角之
间的相等关系，另一个是外角与内角之间的不等关系．
②在应用上述两个定理时，一定要注意“不相邻”这
个关键词语．
必做:
完成教材P183，习题T1-T4(共22张PPT)
第七章
平行线的证明
7.5
三角形内角和定理
第1课时
三角形的内角和
1
课堂讲解
三角形内角和定理
直角三角形两锐角互余
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
我们知道，三角形内角和等于180°.
你还记得这个结论的探索过程吗？
（1）如图，如果我们只把∠A移到∠1的
位置，你能说明这个结论吗？如果
不移动∠A，那么你还有什么方法
可以达到同样的效果？
（2）根据前面给出的基本事实和定理，
你能用自己的语言说说这一结论的
证明思路吗？你能用比较简洁的语
言写出这一证明过程吗？与同伴进
行交流.
1
知识点
三角形内角和定理
知1－导
已知：如图1，△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
图1
分析：延长BC到D，过点C作射线CE//BA(图2)，这样
就相当于把∠A移到了∠1的位置，把∠B移到了
∠2的位置.
图2
这里的CD，CE称为辅助线，辅助线通常画成虚线.
知1－导
知1－导
证明：延长BC到D，过点C作射线CE//BA，则
∠1=∠A（两直线平行，内错角相等），
∠2=∠B（两直线平行，同位角相等）.
∵∠l+∠2+∠ACB=180°（平角的定义），
∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）.
1.三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.
2.三角形内角和定理的证明思路：
思路一：利用“两直线平行，内错角及同位角相等”
将三角形的三个内角转化为一个平角.
如图3
①②
.
思路二：利用“两直线平行，内错角相等”将三角形
的三个内角转化为两平行线间的一组同旁内角.
如图4
①②
.
知1－讲
例1
∠A，∠B，∠C
是△ABC
的三个内角.
（1）已知∠A=40°，∠B=
∠C，求∠B，∠C
的度数；
（2）已知∠A-
∠B=16°，∠C=54°，求∠A，∠B
的
度数；
（3）已知∠A=
∠B=
∠C，求∠A，∠B，∠C
的度
数.
导引：紧扣三角形内角和定理建立方程（组）求解.
知1－讲
解：（1）设∠
B=
∠
C=x°，
∵∠
A+
∠
B+
∠
C=180°，∴
40+x+x=180，
解得x=70，∴∠
B=
∠
C=70°
.
（2）
设∠
A=x°，∠
B=y°，
∵∠
A+
∠
B+
∠
C=180°，
∴
∴∠
A=71°，∠
B=55°.
知1－讲
（3）
∵∠A
=
∠B
=
∠C，
∴∠B=2∠A，∠C=3∠A.
设∠
A=x°，则∠
B=2x°，∠
C=3x°，
∵∠A+
∠B+
∠C=180°，
∴
x+2x+3x=180.
∴
x=30.
∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°
知1－讲
知1－讲
求三角形内角的度数的方法：(1)若已知两个角的度数，求第三个角的度数，直接利用三角形内角和定理求解；(2)若已知一个角的度数及另两个角之间的等量关系；
或不知任何一个角的度数，只知道三个角之间的关系，一般根据“三角形内角和为180°”这个隐含的等量关系列方程（或方程组）求解.
1
(中考·滨州)在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，
则∠C等于( )
A．45°
B．60°
C．75°
D．90°
2
(中考·枣庄)如图，AB∥CD，AE交CD于点C，
∠A
＝34°，∠DEC＝90°，则∠D的度数为( )
A．17°
B．34°
C．56°
D．124°
知1－练
C
C
一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，
若
∠3＝50°，则∠1＋∠2＝( )
A．90°
B．100°
C．130°
D．180°
知1－练
B
2
知识点
直角三角形两锐角互余
知2－导
已知：直角三角形ABC中，
∠C＝90°
求证：
∠A
与∠B互余.
证明：
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°（三角形内角和
定理）
∠C＝90°（已知）
∴∠A＋∠B＝90°.(等量减等量差相等)
∴∠A与∠B互余.（两角互为余角的定义）
知2－讲
定理：直角三角形的两锐角互余.
知2－讲
例2
如图，在△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平
分线，∠B＝20°，∠C＝60°.求∠DAE的度数．
导引：∠DAE在△AED中，而∠DAE＝∠BAD－∠BAE，
要求
∠DAE的度数，需先求出∠BAD和∠BAE
的度数．
知2－讲
解：
在△ABC中，∠B＝20°，∠C＝60°，
所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝100°.
又因为AE是∠BAC的平分线，
所以∠BAE＝
在△ABD中，∠B＋∠BAD＋∠BDA＝180°.
又因为AD是高，
所以∠BAD＝180°－20°－90°＝70°.
所以∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝70°－50°＝20°.
知2－讲
灵活运用三角形内角和定理，结合三角形的高
及角平分线的定义是求有关角的度数的常用方法．
知2－练
如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点
放在长方形直尺的一组对边上．如果∠2＝60°，
那么∠1的度数为( )
A．60°
B．50°
C．40°
D．30°
D
知2－练
2
(中考·菏泽)将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD
＝20°，则∠BOC的大小为( )
A．140°
B．160°
C．170°
D．150°
B
利用三角形内角和定理求角的度数时，常结合
三角形的角平分线，三角形的高，补角、余角、对
顶角等角的关系，以及角的和、差关系进行计算．
还可以利用题目中的等量关系列方程求解．
必做:
完成教材P180-181
习题T1-T5
