(共42张PPT)
第二章 函 数
2．1 函 数
2．1．1 函 数
第1课时 变量与函数的概念
第二章 函 数
任意数x
唯一确定
y＝f(x)，x∈A
x
自变量
函数值
y＝f(a)或y|x＝a
{y|y＝f(x)，x∈A}
(－∞，＋∞)
无穷大
负无穷大
正无穷大
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第二章
函数
DI
ER
ZHANG
》预习呆自主学习
研读·导学·尝试
》探究系讲练互动
解惑·探究·突破第1课时 变量与函数的概念
1．理解函数的概念，了解构成函数的三要素． 2．掌握函数定义域、值域的求法．
1．函数的定义
设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A．
2．函数的定义域和值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作y＝f(a)或y|x＝a．所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．
3．判定两个变量之间是否具有函数关系
4．区间的概念
(1)设a，b∈R，且a
定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a开区间
(a，b)
{x|a≤x半开半闭区间
[a，b)
{x|a半开半闭区间
(a，b]
(2)无穷大概念及无穷区间
①实数集R也可用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作无穷大，“－∞”读作负无穷大，“＋∞”读作正无穷大．
②无穷区间的表示
定义
符号
{x|x∈R}
(－∞，＋∞)
{x|x≥a}
[a，＋∞)
{x|x>a}
(a，＋∞)
{x|x≤a}
(－∞，a]
{x|x(－∞，a)
1．函数y＝的定义域是( )
A．[0，＋∞)
B．[1，＋∞)
C．(0，＋∞)
D．(1，＋∞)
解析：选D．由x－1>0，得x>1，故选D．
2．函数y＝的值域是________．
答案：(－∞，0)∪(0，＋∞)
3．用区间表示下列数集：
(1){x|5(2){x|x<3且x≠0}＝________；
(3)R＝________．
答案：(1)(5，8]
(2)(－∞，0)∪(0，3)
(3)(－∞，＋∞)
4．试判断以下各组函数是否表示同一函数：
(1)f(x)＝，g(x)＝；
(2)f(x)＝()2，g(x)＝．
解：(1)由于f(x)＝＝|x|，g(x)＝＝x，故它们的对应法则不相同，所以它们不表示同一函数．
(2)由于函数f(x)＝()2的定义域为{x|x≥0}，而g(x)＝的定义域为{x|x∈R}，它们的定义域不同，所以它们不表示同一函数．
函数的概念
下列对应是否是从A到B的函数？
(1)A＝R，B＝{x|x＞0}，对应法则f：x→|x|；
(2)A＝Z，B＝N，对应法则f：A→B，平方；
(3)A＝Z，B＝Z，对应法则f：A→B，求算术平方根；
(4)A＝N＋，B＝Z，对应法则f：A→B，求平方根；
(5)A＝[－2，2]，B＝[－3，3]，对应法则f：A→B，求立方．
【解】 本题详细分析见表：
题号
详细分析
结论
(1)
A中的元素0在B中无元素与它对应
不是
(2)
符合函数的定义
是
(3)
A中的负数没有算术平方根，故B中无元素与它们对应
不是
(4)
A中的每一个元素都有2个平方根，所以B中有2个元素和它对应
不是
(5)
集合A中的一些元素，如2，立方后不在集合B中，所以在B中无元素与它对应
不是
判断从集合A到集合B的对应法则是否为函数，一定要以函数概念为准则．要注意对应法则对于A中元素是否有意义，同时要注意特殊值的分析．
判断下列各组函数是否为同一个函数？
(1)f(x)＝x2＋1，g(x)＝|x|＋1；
(2)f(x)＝x2－x＋1，g(t)＝t2－t＋1．
解：(1)函数f(x)的定义域是R，值域为[1，＋∞)，函数g(x)的定义域是R，值域为[1，＋∞)，但两函数的对应法则不同，因而不是同一个函数．
(2)两个函数虽表示自变量的字母不同，但定义域、对应法则均相同，因而是同一个函数．
求函数的定义域
函数f(x)＝＋的定义域是( )
A．[2，3)
B．(3，＋∞)
C．[2，3)∪(3，＋∞)
D．(2，3)∪(3，＋∞)
【解析】 要使函数式有意义，x需满足，
解得x≥2且x≠3，即函数的定义域为[2，3)∪(3，＋∞)．
【答案】 C
求函数定义域的常用方法
(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零．
(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零．
(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合．
(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集．
(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．
求下列函数的定义域：
(1)y＝·－3；
(2)y＝＋．
解：(1)由得2≤x≤5．
所以y＝·－3的定义域为[2，5]．
(2)由
得x≥－2且x≠±3．
所以函数y＝＋的定义域为
{x|x≥－2且x≠3}．
求函数值及值域问题
已知f(x)＝(x∈R，x≠2)，g(x)＝x＋4(x∈R)．
(1)求f(1)，g(1)的值；
(2)求f[g(x)]．
【解】 (1)f(1)＝＝1，g(1)＝1＋4＝5．
(2)f[g(x)]＝f(x＋4)＝＝＝－(x∈R，且x≠－2)．
1．在本例条件下，求g[f(1)]的值及f(2x＋1)的表达式．
解：g[f(1)]＝g(1)＝1＋4＝5．
f(2x＋1)＝＝－．
2．若将本例g(x)的定义域改为{0，1，2，3}，求g(x)的值域．
解：因为g(x)＝x＋4，x∈{0，1，2，3}，
所以g(0)＝4，g(1)＝5，g(2)＝6，g(3)＝7．
所以g(x)的值域为{4，5，6，7}．
(1)求函数值的方法
①先要确定出函数的对应关系f的具体含义，②然后将变量取值代入解析式计算，对于f[g(x)]型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f[g(x)]与g[f(x)]的区别．
(2)求函数值域的常用方法
①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；
②配方法：此法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法；
③分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；
④换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．
求下列函数的值域：
(1)y＝；
(2)y＝x2－4x＋6，x∈[1，5)；
(3)y＝2x－．
解：(1)(观察法)y＝＝2＋．
因为x≠3，
所以≠0，所以y≠2．
故所求函数的值域为{y|y≠2}．
(2)(配方法)y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2．
因为1≤x<5，结合二次函数的图象可得函数的值域为
{y|2≤y<11}．
(3)(换元法)设t＝，
则t≥0，且x＝t2＋1．
所以y＝2(t2＋1)－t＝2＋．
因为t≥0，所以y≥．
故函数y＝2x－的值域为{y|y≥}．
1．判断两个函数为同一函数的方法及注意点
(1)方法：判断两个函数是否为同一函数，关键是看这两个函数的定义域和对应法则是否都相同，只有当两个函数的定义域和对应法则分别相同时，这两个函数才是同一函数，也就是说：定义域不同，两个函数不同；对应法则不同，两个函数也不同．
(2)注意点：即使是定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一确定函数的对应法则，如y＝x与y＝2x的定义域和值域都为R，但它们的对应法则不同，所以它们不是同一函数．
[注意] 因为函数是两个数集中数之间的对应法则，所以至于用什么字母表示自变量、因变量和对应法则是无关紧要的，如f(x)＝3x＋5与f(t)＝3t＋5表示同一函数．
2．用解析式法表示的函数定义域的求法
(1)实质：求函数的定义域，其实质就是以使函数的解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组求其解集的过程．
(2)准则：
①分式中分母不为零；
②偶次根式中被开方数非负；
③零的零次幂没有意义；
④整式中定义域为实数集R；
⑤由实际问题确定的函数，其定义域由实际意义确定．
[注意] 在求函数定义域之前，一般不对函数解析式进行变形，否则可能引起函数定义域的变化．
求值域时的注意事项
(1)求值域时一定要注意定义域的影响，如函数y＝x2－2x＋3的值域与函数y＝x2－2x＋3，x∈[0，3)的值域是不同的．
(2)在利用换元法求解函数的值域时，一定要注意换元后新元取值范围的变化．
1．下列函数f(x)与g(x)表示同一函数的是( )
A．f(x)＝x0与g(x)＝1
B．f(x)＝与g(x)＝x
C．f(x)＝|x|与g(x)＝()2
D．f(x)＝x与g(x)＝
解析：选D．由函数的三要素：定义域、对应法则、值域来判断．
2．函数f(x)＝＋(x－2)0的定义域为( )
A．[1，＋∞)
B．[1，2)∪(2，＋∞)
C．(1，＋∞)
D．(1，2)∪(2，＋∞)
解析：选B．要使函数有意义，x需满足，
解得x≥1且x≠2，故选B．
3．f(x)＝，g(x)＝x2－1，则f(2)＝________，f[g(2)]＝________．
解析：f(2)＝＝，
g(2)＝22－1＝3，
所以f[g(2)]＝f(3)＝＝．
答案：
[A 基础达标]
1．下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A．y＝与y＝x＋3
B．y＝－1与y＝x－1
C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)
D．y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z
解析：选C．A项中两函数的定义域不同；B项，D项中两函数的对应关系不同．故选C．
2．若函数y＝f(x)的定义域M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
解析：选B．A中定义域是{x|－2≤x≤0}，不是M＝{x|－2≤x≤2}，C中图象不表示函数关系，D中值域不是N＝{y|0≤y≤2}．
3．下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是( )
A．f(x)＝|x|
B．f(x)＝x－|x|
C．f(x)＝x＋1
D．f(x)＝－x
解析：选C．若f(x)＝|x|，
则f(2x)＝|2x|＝2|x|＝2f(x)；
若f(x)＝x－|x|，
则f(2x)＝2x－|2x|＝2(x－|x|)＝2f(x)；
若f(x)＝－x，则f(2x)＝－2x＝2f(x)；
若f(x)＝x＋1，
则f(2x)＝2x＋1，不满足f(2x)＝2f(x)．
4．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( )
A．y＝
B．y＝
C．y＝
D．y＝x2＋1
解析：选B．y＝的值域为[0，＋∞)，y＝的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y＝x2＋1的值域为[1，＋∞)．
5．若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是( )
A．1
B．0
C．－1
D．2
解析：选A．因为f(x)＝ax2－1，
所以f(－1)＝a－1，
f(f(－1))＝f(a－1)＝a·(a－1)2－1＝－1．
所以a(a－1)2＝0．
又因为a为正数，所以a＝1．
6．若[a，3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是________．
解析：由题意知3a－1>a，则a>．
答案：
7．如果函数f：A→B，其中A＝{－3，－2，－1，1，2，3，4}，对于任意a∈A，在B中都有唯一确定的|a|和它对应，则函数的值域为________．
解析：由题意知，对a∈A，|a|∈B，
故函数值域为{1，2，3，4}．
答案：{1，2，3，4}
8．将函数y＝的定义域用区间表示为________．
解析：由解得x≤1且x≠0，
用区间表示为(－∞，0)∪(0，1]．
答案：(－∞，0)∪(0，1]
9．记函数f(x)＝的定义域为集合A，函数g(x)＝图象在第二、四象限时，k的取值集合为B，函数h(x)＝x2＋2x＋4的值域为集合C．
(1)求集合A，B，C；
(2)求集合A∪(?RB)，A∩(B∪C)．
解：(1)由2x－3>0，得x>，
所以A＝，
又由k－1<0，得k<1，
所以B＝(－∞，1)，
而h(x)＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3≥3，
所以C＝[3，＋∞)．
(2)A∪(?RB)＝[1，＋∞)，A∩(B∪C)＝[3，＋∞)．
10．已知函数f(x)＝．
(1)求f(2)＋f，f(3)＋f的值；
(2)求证：f(x)＋f是定值；
(3)求2f(1)＋f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2
016)＋f＋f(2
017)＋f的值．
解：(1)因为f(x)＝，
所以f(2)＋f＝＋＝1，
f(3)＋f＝＋＝1．
(2)证明：f(x)＋f＝＋＝＋＝＝1，是定值．
(3)由(2)知，f(x)＋f＝1，
因为f(1)＋f(1)＝1，
f(2)＋f＝1，
f(3)＋f＝1，
f(4)＋f＝1，
…
f(2
017)＋f＝1，
所以2f(1)＋f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2
016)＋f＋f(2
017)＋f＝2
017．
[B 能力提升]
11．函数的图象与直线x＝1的交点最多有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．以上都不对
解析：选B．当1在函数的定义域内时，直线x＝1与函数的图象有且只有1个交点，当1不在函数的定义域内时，无交点．
12．已知f(x)满足f(ab)＝f(a)＋f(b)，且f(2)＝p，f(3)＝q，那么f(72)等于( )
A．p＋q
B．3p＋2q
C．2p＋3q
D．p3＋q2
解析：选B．因为f(ab)＝f(a)＋f(b)，
所以f(9)＝f(3)＋f(3)＝2q，
f(8)＝f(2)＋f(2)＋f(2)＝3p，
所以f(72)＝f(8×9)＝f(8)＋f(9)＝3p＋2q．
13．求下列函数的值域．
(1)y＝－1(x≥4)；
(2)y＝2x＋1，x∈{1，2，3，4，5}；
(3)y＝x＋；
(4)y＝x2－2x－3(x∈[－1，2])．
解：(1)因为x≥4，
所以≥2，
所以－1≥1，
所以y∈[1，＋∞)．
(2)y＝{3，5，7，9，11}．
(3)设u＝，
则u≥0，且x＝，
于是，y＝＋u＝(u＋1)2≥，
所以y＝x＋的值域为．
(4)y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
因为x∈[－1，2]，
作出其图象(图略)可得值域为[－4，0]．
14．(选做题)已知函数y＝的定义域为R，求实数k的值．
解：函数y＝的定义域即是使k2x2＋3kx＋1≠0的实数x的集合．
由函数的定义域为R，
得方程k2x2＋3kx＋1＝0无解．
当k＝0时，函数y＝＝1，
函数定义域为R，
因此k＝0符合题意；
当k≠0时，
k2x2＋3kx＋1＝0无解，
即Δ＝9k2－4k2＝5k2<0，
不等式不成立．所以实数k的值为0．
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第二章 函 数
第2课时 映射与函数
第二章 函 数
任意一个
有一个且仅有一个
象
原象
A
所有象f(x)
f(A)
任意一个元素
有且只有一个原象
一一对应
一一映射
数集
数集
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解惑·探究·突破第2课时 映射与函数
1．了解映射与函数的关系． 2．理解映射的概念． 3．掌握映射的判定方法．
1．映射的定义
设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．这时，称y是x在映射f的作用下的象，记作f(x)．于是y＝f(x)，x称作y的原象．映射f也可以记为：f：A→B，x→f(x)，其中A叫做映射f的定义域，由所有象f(x)构成的集合叫做映射f
的值域，通常记作f(A)．
2．一一映射
如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的任意一个元素，在集合A中都有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射．
3．映射与函数的关系
函数是从数集到数集的映射．
1．已知集合A＝{a，b}，集合B＝{0，1}，下列对应不是A到B的映射的是( )
答案：C
2．下列各图中表示的对应，其中能构成映射的个数是( )
A．4
B．3
C．2
D．1
解析：选D．所谓映射，是指“多对一”或“一对一”的对应，且A中每一个元素都必须参与对应．
只有图(3)所表示的对应符合映射的定义，即A中的每一个元素在对应法则下，B中都有唯一的元素与之对应．
图(1)不是映射，因A中的元素c没有参与对应，即违背A中的任一元素都必须参与对应的原则．
图(2)、图(4)不是映射，这两个图中集合A中的元素在集合B中有多个元素与之对应，不满足集合A中的任一元素在集合B中有且仅有唯一元素与之对应的原则．
综上，可知能构成映射的个数为1．
3．在映射的定义中，象集中的每个元素，都有唯一的原象与之对应吗？
解：不一定．在映射的定义中，对任意一个原象，在象集中有唯一的一个元素与之对应，而对于象集中的每个元素，可以有多个原象与之对应．
映射的判定
在下列各题中，哪些对应法则是集合A到集合B的映射？哪些不是；若是映射，是否为一一映射？
(1)A＝N，B＝N
，对应法则f：“把x对应到|x－1|”；
(2)A＝{x|0≤x≤6}，B＝{y|0≤y≤2}，
对应法则f：“把x对应到”；
(3)A＝{1，2，3，4}，B＝{4，5，6，7}，对应法则f：“把x对应到x＋3”．
【解】 (1)集合A＝N中元素1在对应法则f作用下为0，而0?N
，即A中元素1在B中没有元素与之对应，故对应法则f不是从A到B的映射．
(2)集合A中元素6在对应法则f作用下为3，而3?B，故对应法则f不是从A到B的映射．
(3)集合A中的每一个元素在对应法则f作用下，在集合B中都有唯一的一个元素与之对应，所以，对应法则是A到B的映射，又B中每一个元素在A中都有唯一的原象与之对应，故对应法则f：A→B是一一映射．
将本例中(2)变为A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤6}，f：x→x，其结论又如何呢？
解：是映射，但不是一一映射．因为A中的任何一个元素，在集合B中都能找到唯一的元素与之对应，但并不是集合B中的每一个元素都能在集合A中找到原象，故此对应法则是从A到B的映射，但不是一一映射．
要判断对应法则f：A→B是否是A到B的映射，必须注意①集合A、B中的元素要明确；
②根据映射定义判断A中每一个元素是否在集合B中都有唯一确定的元素与之对应；若进一步判断是否为一一映射，还需要进一步判断集合B中的每个元素在A中是否有原象，集合A中的不同元素对应的象是否相同．
根据下列所给的对应法则，回答问题．
①A＝N＋，B＝Z，f：x→y＝3x＋1，x∈A，y∈B；
②A＝{x|x为高一(2)班的同学}，B＝{x|x为身高}，f：每个同学对应自己的身高；
③A＝R，B＝R，f：x→y＝，x∈A，y∈
B．
上述三个对应法则中，是映射的是______，是函数的是______．
答案：①② ①
构成映射的个数
集合A＝{a，b}，B＝{m，n}，从A到B可以建立多少种不同的映射？其中集合B中每一个元素都有原象的映射有多少个？
【解】 根据映射定义，画出对应图．
从图中可以看到从A到B可以建立4种不同的映射，其中集合B中每一个元素都有原象的映射有2个．
确定两个非空集合建立不同映射的个数，可借助对应图直观进行判定．
已知集合A＝{a，b，c}，集合B＝{m，n}，设集合A到集合B的不同映射个数为x，集合B中每个元素在集合A中找到原象的映射个数为y，求的值．
解：集合A中的3个元素只对应集合B中同一个元素的对应有2个，这时有2个不同的映射，如图．
集合A中的3个元素同时对应集合B中2个不同元素的对应有6个，这时有6个不同的映射，如图．
所以从集合A到集合B的所有不同的映射一共有8个，即x＝8；第二种情形中，即f3至f8中，集合B中每一个元素在A中都有原象，所以y＝6，所以＝．
象与原象
已知映射f：A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(x＋2y＋2，4x＋y)．
(1)求A中元素(5，5)的象；
(2)求B中元素(5，5)的原象．
【解】 (1)当x＝5，y＝5时，x＋2y＋2＝17，4x＋y＝25．
故A中元素(5，5)的象是(17，25)．
(2)令B中元素(5，5)的原象为(x，y)，
则，得．
故B中元素(5，5)的原象是(1，1)．
(1)解答此类问题的关键是
①分清原象和象；
②搞清楚由原象到象的对应法则．
(2)对A中元素，求象只需将原象代入对应法则即可，对于B中元素求原象，可先设出它的原象，然后利用对应法则列出方程组求解．
已知集合A＝R，B＝{(x，y)|x，y∈R}，f：A→B是从A到B的映射，f：x→(x＋1，x2＋1)，求A中元素的象和B中元素的原象．
解：把x＝代入对应法则，得其象为(＋1，3)．
又由得x＝．
所以的象为(＋1，3)，的原象为．
1．映射与函数的区别与联系
(1)相同点
①映射包括三要素：集合A，集合B，集合A、B之间的对应法则，函数也包括三要素：定义域，值域及二者之间的对应法则．
②集合A到集合B的映射中，对于集合A中的任意一个元素a在集合B中都有唯一确定的元素b与之对应；在函数中，对于定义域中自变量x的每一个确定的值，在值域中都有唯一确定的函数值和它对应．
(2)不同点
①集合A到集合B的映射中，对于集合B中的任意一个元素b，在集合A中不一定有元素与之对应；在函数中，对于值域中每一个确定的函数值，在定义域中都有确定的值和它对应；
②映射中A、B可为任何非空集合，函数中定义域、值域为非空数集．
2．判断某种对应法则是否为集合A到集合B的映射的方法
(1)明确集合A、B中的元素．
(2)判断A的每一个元素是否在集合B中有唯一的元素与之相对应．若进一步判断是否为一一映射，还需注意B中的每一个元素在A中都有原象，集合A中的不同元素对应的象不相同．
(1)对于集合A中的不同元素，在B中可以有相同的象，即多对一．
(2)允许B中元素在A中没有原象与之对应．
1．给出下列四个对应法则，是映射的是( )
A．③④
B．①②
C．②③
D．①④
解析：选C．由映射的概念易得．
2．设f：A→B是从集合A到集合B的映射，则下面说法正确的是( )
A．A中每一个元素在B中必有象
B．B中每一个元素在A中必有原象
C．B中每一个元素在A中必有唯一原象
D．A中不同元素的象必不同
答案：A
3．已知映射f：N→N＋，x→x2＋1，则10的原象是________．
解析：由x2＋1＝10解得x＝±3，
因为x∈N，所以x＝3．
答案：3
[A 基础达标]
1．下列集合A到集合B的对应法则f是映射的是( )
A．A＝{－1，0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数平方
B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方
C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数的倒数
D．A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值
解析：选A．B中元素1在f下有两个元素±1与之对应，不是映射；C中元素0无倒数，不是映射；D中元素0在B中无元素与之对应，不是映射．
2．设集合A和集合B中的元素都属于N
，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素n2＋n，则在映射f下，象20的原象是( )
A．4
B．5
C．4，－5
D．－4，5
答案：A
3．已知集合M＝{x|0≤x≤6}，P＝{y|0≤y≤3}，则下列对应关系中不能看作从M到P的映射的是( )
A．f：x→y＝x
B．f：x→y＝x
C．f：x→y＝x
D．f：x→y＝x
解析：选C．选项C中，集合M中有的元素没有象，不是映射．
4．点(x，y)在映射f下的象为(，)，则点(2，0)在f作用下的象为( )
A．(0，2)
B．(2，0)
C．(，－1)
D．(，1)
解析：选C．因为＝，＝－1，
所以(2，0)在f作用下的象为(，－1)．
5．下列对应是从集合M到集合N的映射的是( )
①M＝N＝R，f：x→y＝，x∈M，y∈N；
②M＝N＝R，f：x→y＝x2，x∈M，y∈N；
③M＝N＝R，f：x→y＝，x∈M，y∈N；
④M＝N＝R，f：x→y＝x3，x∈M，y∈N．
A．①②
B．②③
C．①④
D．②④
解析：选D．对于①，集合M中的元素0在N中无元素与之对应，所以①不是映射．对于③，M中的元素0及负实数在N中没有元素与之对应，所以③不是映射．对于②④，M中的元素在N中都有唯一的元素与之对应，所以②④是映射．故选D．
6．若映射f：A→B的象的集合是Y，原象的集合是X，则X与A的关系是________，Y与B的关系是________．
解析：由映射的定义可知集合A中的元素在集合B中必有象且唯一，集合B中的元素在集合A中不一定有原象．
答案：X＝A Y?B
7．已知集合A＝{a，b}，B＝{c，d}，则A到B的一一映射有________个．
答案：2
8．已知集合A＝B＝R，x∈A，y∈B，f：x→y＝ax＋b，若8和14的原象分别是1和3，则5在f作用下的象为________．
解析：由题意得解得
所以对应法则为f：x→y＝3x＋5．
故5在f作用下的象是f(5)＝3×5＋5＝20．
答案：20
9．设A＝Z，B＝Z，f：x→是A→B的映射．
(1)设4∈A，则4在B中的象是什么？
(2)设t∈A，且t在映射f下的象是5，则t应是多少？
解：(1)因为4∈A，所以4在B中的象是＝3．
(2)由题意知t在映射f下的象是，
由＝5得t＝7．
10．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a＋2b，2b＋c，2c＋3d，4d，例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16．当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文是什么？
解：由题意得，
解得a＝6，b＝4，c＝1，d＝7，
因此得到的明文是6，4，1，7．
[B 能力提升]
11．集合A＝{a，b}，B＝{－1，0，1}，从A到B的映射f：A→B满足f(a)＋f(b)＝0，那么这样的映射f：A→B有( )
A．2个
B．3个
C．5个
D．8个
解析：选B．当f(a)＝0，f(b)＝0时，
f(a)＋f(b)＝0；
当f(a)＝－1，f(b)＝1时，
f(a)＋f(b)＝0；
当f(a)＝1，f(b)＝－1时，
f(a)＋f(b)＝0．
12．已知映射f：A→B，其中A＝{－2，－1，1，2，3}，集合B中的元素都是A中元素在f下的象，且对任意a∈A，f(a)＝，则集合B中的元素有________个，若1∈B，则1的原象是________．
答案：2 1，2，3
13．某学习小组共有5名学生，一次期末考试语文、数学、外语成绩如表格所示：
科目姓名
语文
数学
外语
总分
张军
100
100
100
300
李伟
90
90
90
270
刘平
110
110
110
330
王刚
80
80
80
240
李明
70
70
70
210
试问：若以5名同学组成集合A，各科成绩组成集合B，总分组成集合C．
(1)集合A到集合B是映射吗？集合B到集合A呢？
(2)集合A到集合C是映射吗？是一一映射吗？若是映射，是函数吗？
解：(1)集合A到集合B不是映射，因为每名同学对应三个成绩；而集合B到A是映射，其中每三个成绩对应一名同学，是多对一，符合映射定义．
(2)集合A到集合C是映射，且是一一映射，因为集合A中每一名同学在集合C中都有唯一一个总分与之对应，故是映射，又集合C中的每一个总分，在集合A中都有唯一的同学(原象)对应．故是一一映射．该映射不是函数，因为集合A不是数集．
14．(选做题)若f：y＝3x＋1是从集合A＝{1，2，3，k}到集合B＝{4，7，a4，a2＋3a}的一个映射，求自然数a，k及集合A、
B．
解：1的象为4，2的象为7，
所以可以判断A中元素3的象是a4或a2＋3a．
由于a4＝10且a∈N，不符合题意．
所以a2＋3a＝10，
即a＝－5(舍)或a＝2．
又集合A中的元素k的象只能是a4，
所以3k＋1＝16，
所以k＝5，
所以A＝{1，2，3，5}，
B＝{4，7，10，16}．
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