(共22张PPT)
§1.2 导数的计算
§1.2.1 几个常用函数的导数
§1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
0
1
2x
0
nxn－1
cos
x
－sin
x
axln
ex
【问题2】 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率．物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．
(1)函数y＝f(x)＝c(常数)的导数的物理意义是什么？
(2)函数y＝f(x)＝x的导数的物理意义呢？
答案 (1)若y＝c表示路程关于时间的函数，则y′＝0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态．
(2)若y＝x表示路程关于时间的函数，则y′＝1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．
【问题3】 由正比例函数y＝kx(k≠0)的图象及导数可知；|k|越大函数增加(k>0)或减少(k<0)的速度越快．画出函数y＝x2的图象，结合图象及导数说明函数y＝x2的变化情况．
知识点二 基本初等函数的导数公式
【问题】 你能说出基本初等函数的导数公式的特点吗？
答案 (1)常数函数的导数为零．
(2)有理数幂函数f(x)＝xα的导数依然为幂函数，且系数为原函数的次数，幂指数是原函数的幂指数减去1.
(3)正弦函数的导数为余弦函数，余弦函数的导数为正弦函数的相反数．
(4)指数函数的导数依然为指数函数，且系数为原函数底数的自然对数．
(5)公式⑥是公式⑤的特例，公式⑧是公式⑦的特例．
题型二 导数公式在解决切线问题中的应用
【例2】 (6分)已知点P(－1，1)，点Q(2，4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
【典例】 已知直线y＝kx是曲线f(x)＝ex的切线，则k的值等于________．
易错误区(二) 正确使用求导公式
【答案】 e§1.2.1 几个常用函数的导数
§1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
[限时50分钟，满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．下列结论不正确的是
A．若y＝3，则y′＝0
B．若y＝，则y′＝－
C．若y＝，则y′＝
D．若y＝x，则y′＝1
解析 对于A，常数的导数为零，故A正确；
对于B，y′＝(x)′＝－x＝－，故B错误；
对于C，y′＝(x)′＝x＝，故C正确；
对于D，y′＝x′＝1，故D正确．
答案 B
2．已知曲线f(x)＝x3的切线的斜率等于3，则切线有
A．1条
B．2条
C．3条
D．不确定
解析 ∵f′(x)＝3x2＝3，解得x＝±1，
切点有两个，即可得切线有两条．
答案 B
3．曲线y＝ex在点A(0，1)处的切线斜率为
A．1
B．2
C．e
D.
解析 由条件得y′＝ex，根据导数的几何意义，
可得k＝y′|＝e0＝1.
答案 A
4．曲线y＝x3－2x＋1在点(1，0)处的切线方程为
A．y＝x－1
B．y＝－x＋1
C．y＝2x－2
D．y＝－2x＋2
解析 由题意，得y′＝3x2－2，
所以切线的斜率k＝f′(1)＝3－2＝1.
由直线的点斜式方程，得切线方程为y＝x－1.
答案 A
5．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为
A．y＝－2x
B．y＝－x
C．y＝2x
D．y＝x
解析 通解 因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
所以(－x)3＋(a－1)(－x)2＋a(－x)＝－[x3＋(a－1)x2＋ax]，所以2(a－1)x2＝0，因为x∈R，所以a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1.所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.故选D.
优解一 因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－1)＋f(1)＝0，所以－1＋a－1－a＋(1＋a－1＋a)＝0，解得a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.故选D.
优解二 易知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax＝x[x2＋(a－1)x＋a]，因为f(x)为奇函数，所以函数g(x)＝x2＋(a－1)x＋a为偶函数，所以a－1＝0，解得a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.故选D.
答案 D
6．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为
A．4x－y－3＝0
B．x＋4y－5＝0
C．4x－y＋3＝0
D．x＋4y＋3＝0
解析 y′＝(x4)′＝4x3.
设切点为(x0，y0)，则4x×＝－1，∴x0＝1.∴切点为(1，1)．
∴l的方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0，故选A.
答案 A
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．已知f(x)＝x2＋2xf′，则f′＝________．
解析 对f(x)求导，
得f′(x)＝2x＋2f′，
f′＝2×＋2f′，
所以f′＝.
答案
8．已知f(x)＝ln
x，且f′(x0)＝eq
\f(1,x)，则x0＝________．
解析 f′(x)＝，所以f′(x0)＝，
又f′(x0)＝eq
\f(1,x)，所以＝eq
\f(1,x)，
x0＝1.
答案 1
9．若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1，2)处的切线经过坐标原点，则α＝________．
解析 因为y′＝α·xα－1，所以在点(1，2)处的切线斜率k＝α，
则切线方程为y－2＝α(x－1)．
又切线过原点，故0－2＝α(0－1)，解得α＝2.
答案 2
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10．(10分)已知抛物线f(x)＝ax2＋bx－7经过点(1，1)，且过点(1，1)的抛物线的切线方程为4x－y－3＝0，求a，b的值．
解析 ∵抛物线f(x)＝ax2＋bx－7经过点(1，1)，
∴1＝a＋b－7，即a＋b－8＝0.
又∵经过点(1，1)的抛物线的切线方程为4x－y－3＝0，其斜率为4，f′(x)＝2ax＋b，
∴f′(1)＝4，即2a＋b－4＝0，
故解得
11．(12分)已知函数f(x)＝，g(x)＝aln
x，a∈R，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程．
解析 设两曲线的交点为(x0，y0)，
f′(x)＝，g′(x)＝，x＞0，
由已知得
解得a＝e，x0＝e2.
∴两条曲线的交点坐标为(e2，e)，
切线的斜率为k＝f′(e2)＝，
所以切线方程为y－e＝(x－e2)，
即x－2ey＋e2＝0.
12．(13分)设抛物线y＝x2与直线y＝x＋a(a是常数)有两个不同的交点，记抛物线在两交点处的切线分别为l1，l2，求a值变化时l1与l2交点的轨迹．
解析 将y＝x＋a代入y＝x2整理得x2－x－a＝0，①
为使直线与抛物线有两个不同的交点，
必须Δ＝(－1)2＋4a>0，所以a>－.
设此两交点为(α，α2)，(β，β
2)，α<β，由y＝x2知y′＝2x，
则切线l1，l2的方程为y＝2αx－α2，y＝2βx－β
2.设两切线交点为(x，y)，
则.②
因为α，β是①的解，由根与系数的关系，
可知α＋β＝1，αβ＝－a.
代入②可得x＝，y＝－a<.
从而，所求的轨迹为直线x＝上的y<的部分．
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4(共30张PPT)
§1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)
[课标要求]
1．能够利用导数的运算法则求函数的导数．(重点、易错点)
2．理解并能应用复合函数的求导法则．(难点)
f′(x)＋g′(x)
f′(x)－g′(x)
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
二、复合函数的导数
x的函数
y＝f(g(x))
yu′·ux′
y对u的导数与u对x的导数的乘积
复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成_______________，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作_________．
复合函数的求导法则
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝
_________，即y对x的导数等于______________________________.
知识点一 导数的运算法则
【问题1】 默写导数的运算法则，并说明应用导数的运算法则求导数有哪些注意点？
【问题2】 如何求多个函数的和差(或积)组成的函数的导数？
答案 利用导数公式的拓展形式求导数，常见的拓展公式有
(1)和(差)导数公式的拓展
①可以推广到有限个函数的和(或差)的情形：
若y＝f1(x)±f2(x)±…±fn(x)，
则y′＝f′1(x)±f′2(x)±…±f′n(x)．
②[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)(a，b为常数)．
③[f(x)±c]′＝f′(x)．
(2)积的导数公式的拓展
若y＝f1(x)f2(x)…fn(x)，
则有
y′＝f1′(x)f2(x)…fn(x)＋f1(x)f2′(x)…fn(x)＋…f1(x)f2(x)…fn′(x)．
知识点二 复合函数的导数
【问题1】 (1)如何分析一个复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的？
(2)函数y＝ln(x＋2)是怎样复合而成的？
答案 (1)复合函数是因变量通过中间变量表示为自变量的函数的过程．在分析时可以从外向里出发，先根据最外层的主体函数结构找出y＝f(u)；再根据内层的主体函数结构找出函数u＝g(x)，函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成函数y＝f(g(x))．
(2)y＝ln(x＋2)是由u＝x＋2与y＝ln
u(x>－2)经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数．
【问题2】 计算函数y＝cos(3x－1)的导数，试述复合函数求导的过程．
●规律方法
利用运算法则求函数的导数的策略
(1)对简单函数
先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数．
(2)对较复杂函数
先利用代数恒等变换对已知函数解析式进行化简或变形，如把乘积的形式展开，分式形式变为和或差的形式，根式化成分数指数幂，使有利于求导公式的应用．
●规律方法
求复合函数的导数的注意点
(1)内、外层函数通常为基本初等函数．
(2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点．
2．求下列函数的导数．
(1)y＝ln(2x2＋3x＋4)；(2)y＝sin4
x＋cos4
x.
题型三 导数的应用
【例3】 (12分)已知函数f(x)＝x3＋x－16
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．
●规律方法
利用导数求切线方程的注意点
(1)利用导数求切线的斜率是一种非常有效的方法，它适用于任何可导函数，是高考的热点．
(2)求曲线的切线方程时，一定要注意已知点是否为切点．若切点没有给出，一般是先把切点设出来，并求出切点，再求切线方程．
易错误区(三) 不能正确应用导数的运算法则而致误
[易错防范]
1．①、②两处要切记求导要正确．
2．熟记导数运算法则
求函数的导数，必须熟记导数的运算法则，要注意积的导数和商的导数形式，不要把求导法则弄错．例如本例可利用商的导数运算法则求，但要注意应用准确．
3．求导时常用的技巧
利用导数的四则运算法则求导时，应先把原式进行恒等变形进行化简或变形，如把乘法转化为加减法，把商的形式化成和差的形式．例如本例可把商化成和差求导，这样容易计算．§1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)
[限时50分钟，满分80分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．下列求导数运算正确的是
A.′＝1＋
B．(log2x)′＝
C．(3x)′＝3xlog3e
D．(x2cos
x)′＝－2xsin
x
解析 对于A，′＝1－；对于B，由导数公式(logax)′＝知正确，故选B.
答案 B
2．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为
A．1
B．2
C．－1
D．－2
解析 设切点为(x0，y0)，则y0＝x0＋1，y0＝ln(x0＋a)．
又∵y′＝，∴＝1，即x0＋a＝1，∴y0＝0，x0＝－1，∴a＝2.
答案 B
3．曲线y＝cos在x＝处切线的斜率为
A．1
B．－1
C．2
D．－2
解析 ∵y′＝－2sin，∴切线的斜率k＝－2sin＝－2.
答案 D
4．设f(x)＝xln
x，若f′(x0)＝2，则x0等于
A．e2
B．e
C.
D．ln
2
解析 f′(x)＝x·＋ln
x＝1＋ln
x，
因为f′(x0)＝2，所以1＋ln
x0＝2，
ln
x0＝1，x0＝e.
答案 B
5．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xln
x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则
A．a＝e，b＝－1
B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1
D．a＝e－1，b＝－1
解析 ∵y′＝aex＋ln
x＋1，∴k＝y′|x＝1＝ae＋1，
∴切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，
即y＝(ae＋1)x－1.
∵已知切线方程为y＝2x＋b，
∴即故选D.
答案 D
6．若存在过点(1，0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，则a等于
A．－1或－
B．－1或
C．－或－
D．－或7
解析 设过点(1，0)的直线与曲线y＝x3相切于点(x0，x)，
则切线方程为y－x＝3x(x－x0)，即
y＝3xx－2x.
又点(1，0)在切线上，代入以上方程得x0＝0或x0＝.
当x0＝0时，直线方程为y＝0.
由y＝0与y＝ax2＋x－9相切可得
a＝－.
当x0＝时，直线方程为y＝x－.
由y＝x－与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－1.
答案 A
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．(2018·全国卷Ⅱ)曲线y＝2ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为________．
解析 ∵y＝2ln(x＋1)，∴y′＝.当x＝0时，y′＝2，
∴曲线y＝2ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y－0＝2(x－0)，即y＝2x.
答案 y＝2x
8．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________．
解析 y＝ax2＋的导数为y′＝2ax－，
直线7x＋2y＋3＝0的斜率为－.
由题意得解得则a＋b＝－3.
答案 －3
9．已知函数f(x)＝f′cos
x＋sin
x，则f的值为________．
解析 ∵f(x)＝f′cos
x＋sin
x，
∴f′(x)＝－f′sin
x＋cos
x，
∴f′＝－f′sin
＋cos
，
∴f′＝－1，
从而有f＝(－1)cos
＋sin
＝1.
答案 1
三、解答题(本大题共3小题，共35分)
10．(10分)求下列函数的导数：
(1)y＝；(2)y＝cos；
(3)y＝log2(4x＋7)；(4)y＝.
解析 (1)令u＝1－3x，则y＝u－4，
∴y′＝－4u－5·(1－3x)′
＝－4·(1－3x)－5·(－3)＝12(1－3x)－5.
(2)令u＝3x－，则y＝cos
u，
∴y′＝(－sin
u)·3＝－3sin.
(3)令u＝4x＋7，则y＝log2u，
∴y′＝·(4x＋7)′＝.
(4)令u＝x2＋3x＋1，则y＝2u，
∴y′＝2u(ln
2)·(x2＋3x＋1)′
＝(2x＋3)ln
2·.
11．(12分)已知a>0，f(x)＝ax2－2x＋1＋ln(x＋1)，l是曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线．求切线l的方程．
解析 ∵f(x)＝ax2－2x＋1＋ln(x＋1)，∴f(0)＝1.
f′(x)＝2ax－2＋＝，
f′(0)＝－1，
∴切点P的坐标为(0，1)，l的斜率为－1，
∴切线l的方程为x＋y－1＝0.
12．(13分)曲线y＝e2x·cos
3x在(0，1)处的切线与直线l的距离为，求直线l的方程．
解析 y′＝(e2x)′·cos
3x＋e2x·(cos
3x)′
＝2e2x·cos
3x－3e2x·sin
3x
∴y′|x＝0＝2，∴在点(0，1)处的切线方程为
y－1＝2(x－0)，即y＝2x＋1.
设所求直线l的方程为y＝2x＋b，
则＝，∴b＝6或－4.
∴所求直线l的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.
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