数学探究活动：得到不可达两点之间的距离
【教学目标】
知道不可达两点之间距离的测量方法.
【教学重难点】
解三角形的实际应用.
【教学过程】
一、课题引入
从前面我们已经看到，借助米尺与测量角度的仪器，可以得出不可达两点之间的距离.例如，旗杆的高、两建筑物上给定两点之间的距离等，都可以借助解三角形的知识得出.
请与其他同学分工合作，确定合适的两点，利用身边的工具或制作简易工具，测量有关数据，然后利用正弦定理与余弦定理来得出选定两点之间的距离，并讨论如何减少误差等.条件允许的话，最后可借助其他手段获得给定两点的真实距离，然后进行比较.
二、课题要求
要求活动以课题的形式完成，经历完整的选题、开题、做题、结题过程.选题是指根据活动要求选定合适对象的过程，开题是指讨论与确定活动步骤的过程，做题是指按照讨论的步骤进行实际活动并记录数据的过程，结题是指整理活动数据、总结与交流的过程.
活动过程中，要参照下表，制作类似的表格，并如实填写.
得到不可达两点之间的距离活动记录表
活动开始时间：_______________
（1）成员与分工
姓
名
分
工
（2）选定的不可达两点的状态描述（可附照片，下同）
（3）活动方案（包括测量原理、创新点描述等）
（4）活动工具描述（包括自制工具制作的步骤等）
（5）活动过程中记录的数据
（6）根据数据计算结果
（7）活动总结（包括误差分析、活动感受等）
活动结束时间：_______________
三、活动提示
活动过程中，务必注意安全.
为了得到不可达两点之间的距离，可借助的方法很多.
例如，如图所示，为了得到建筑物AB的高，可以在水平面的C点处先测量仰角α（其中CD是测量仪器或测量人的高），然后前进xm到达点E后再测量仰角β的大小，最后根据有关数据和直角三角形的知识就可得出AB的高.
当然，在这种测量方法中，要保证C，E，B3点在一条直线上，而且AB要与BC垂直，否则误差会比较大.
在实际生活中，有时并不能保证AB与BC垂直，可以进一步探讨此时怎样才能完成任务.
1
/
2余弦定理
教学目标
核心素养
1.掌握余弦定理及其推论．（重点）
2．掌握正、余弦定理的综合应用．（难点）
3．能应用余弦定理判断三角形的形状．（易错点）
1.借助余弦定理的推导，提升学生的逻辑推理的素养．
2．通过余弦定理的应用的学习，培养学生的数学运算的素养．
【教学过程】
一、问题导入
如图所示，A，B分别是两个山峰的顶点，在山脚下任意选择一点C，然后使用测量仪得出AC，BC以及的大小.你能根据这3个量求出AB吗？
二、新知探究
1.已知两边及一角解三角形
【例1】已知，根据下列条件解三角形：
，，.
[解]由余弦定理知．
．
即，解得或.
当时，由余弦定理，得.
，，.
当时，由余弦定理，得.
，，.
故，，或，，.
【教师小结】已知两边及一角解三角形有以下两种情况：
（1）若已知角是其中一边的对角，有两种解法，一种方法是利用正弦定理先求角，再求边；另一种方法是用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解．
（2）若已知角是两边的夹角．则直接运用余弦定理求出另外一边，然后根据边角关系利用正弦定理求解或者直接利用余弦定理求角．
2.已知三边或三边关系解三角形
【例2】（1）已知的三边长为，，，求的各角度数；
（2）已知的三边长为，，，求的最大内角．
[解]（1）由余弦定理得：
，
.
，
，.
（2），，∴最大．由余弦定理，得，
即，
，
，
.
的最大内角为.
【教师小结】
（1）已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理求角，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解．
（2）若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边解三角形．
3.正、余弦定理的综合应用
[探究问题]
（1）在中，，，的对边分别为a，b，c，若，则成立吗？反之，说法正确吗？为什么？
[提示]设的外接圆半径为R.
由正弦定理的变形，将，，，代入可得．反之，将，，代入可得.因此，这两种说法均正确．
（2）在中，若，则成立吗？反之，若，则成立吗？为什么？
[提示]因为，所以，由余弦定理的变形，即，所以，反之，若，则，即，所以，即.
【例3】在中，若，判断的形状．
[思路探究]角边转化．
[解]法一：，
由正、余弦定理可得：
，
整理得：，
即，
或.
或．
故为直角三角形、等腰三角形或等腰直角三角形．
法二：根据正弦定理，原等式可化为：
，
即．
，，
．
或，
即或.
故是等腰三角形、直角三角形或等腰直角三角形．
【教师小结】
（1）法一是用余弦定理将等式转化为边之间的关系式，法二是借助于正弦定理，将已知等式转化为角的三角函数关系式．这两种方法是判断三角形形状的常用手段．
（2）一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理；反之，若遇到的式子含角的正弦或是边的一次式，则大多用正弦定理；若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用．
三、课堂总结
1．本节课的重点是余弦定理及其推论，并能用它们解三角形，难点是在解三角形时，对两个定理的选择．
2．本节课要掌握的解题方法：
（1）已知三角形的两边与一角，解三角形．
（2）已知三边解三角形．
（3）利用余弦定理判断三角形的形状．
3．本节课的易错点有两处：
（1）正弦定理和余弦定理的选择：
已知两边及其中一边的对角解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论．如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来．比较两种方法，采用余弦定理较简单．
（2）利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理的表达形式是边长的平方，通常转化为一元二次方程的形式求解根的问题．
四、课堂检测
1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）在三角形中，已知两边及一边的对角，可用正弦定理解三角形，但不能用余弦定理去解．（
）
（2）余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适用于任何三角形．（
）
（3）利用余弦定理，可解决已知三角形三边求角问题．（
）
（4）在三角形中，勾股定理是余弦定理的一个特例．（
）
[解析](1）×.由正、余弦定理的特征可知在三角形中，已知两边及一边的对角，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理求解．
（2）√.余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适合于任何三角形．
（3）√.结合余弦定理公式及三角函数知识可知正确．
（4）√.余弦定理可以看作勾股定理的推广．
[答案]（1）×
（2）√
（3）√
（4）√
2．在中，若，则的形状一定是（
）
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
C[，
，
．故为等腰三角形．]
3．在中，已知，，，则边________.
[根据余弦定理，.]
4．在中，已知，，，解此三角形．
[解]由余弦定理得，
，
.
法一：由，
，.
故.
法二：由正弦定理，
，
，
，，
最小，
即为锐角．
因此.
故.
6/6正弦定理
教学目标
核心素养
1.掌握正弦定理及基本应用。（重点）
2．会判断三角形的形状。（难点）
3．能根据正弦定理确定三角形解的个数。（难点、易混点）
1.借助正弦定理的推导，提升学生的逻辑推理的素养。
2．通过正弦定理的应用的学习，培养学生的数学运算的素养。
【教学过程】
一、问题导入
在现代生活中，得益于科技的发展，距离的测量能借助红外测距仪、激光测距仪等工具直接完成.不过，在这些工具没有出现以前，你知道人们是怎样间接获得两点间距离的吗？
二、新知探究
1.已知两角及一边解三角形
【例1】（1）在中，已知，，，求a，b；
（2）在中，已知，，，求，b，c。
[解]（1）法一：，，。
由得。
，
。
法二：设外接圆的直径为2R，
则。
易知，
，
。
（2）。
由正弦定理，得。
由，得。
【教师小结】已知三角形的两角和任一边解三角形，基本思路是：
（1）若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角。
（2）若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边。
2.已知两边及一边的对角解三角形
【例2】在中，分别根据下列条件解三角形：
（1），，；
（2），，。
[解]（1）根据正弦定理，。
，，或。
当时，，
；
当时，，。
（2）根据正弦定理，。
因为。所以A不存在，即无解。
【教师小结】已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法：
（1）首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值。
（2）如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一。
（3）如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论。
3.利用正弦定理判断三角形的形状
[探究问题]
（一）已知的外接圆O的直径长为2R，试借助的外接圆推导出正弦定理。
[提示]如图，连接BO并延长交圆O于点D，连接CD，则，
，在中，，所以，
即，同理，，
所以。
（二）根据正弦定理的特点，我们可以利用正弦定理解决哪些类型的解三角形问题？
[提示]利用正弦定理，可以解决：（1）已知两边和其中一边的对角解三角形；
（2）已知两角和其中一角的对边解三角形。
（三）由可以得到，那么由正弦定理还可以得到哪些主要变形？
[提示]（1），，。
（2），，。
（3），，。
【例3】在中，若，且，试判断的形状。
[思路探究]①；
②边角转化，，，。
[解]法一：在中，根据正弦定理：（R为外接圆的半径）。
，
，
即，
，，
由，
得，
。
是锐角，，
，，
是等腰直角三角形。
法二：在中，根据正弦定理，得
，，（R为外接圆的半径）。
，
，
是直角三角形且、
，
，
。
，
即。，即。
是等腰直角三角形。
【教师小结】依据条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有以下两种途径：
（1）利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；
（2）利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用这个结论。在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解。
三、课堂总结
1．本节课的重点是正弦定理的应用，难点是正弦定理的推导。
2．本节课要牢记正弦定理及其常见变形：
（1）其中R为外接圆的半径）；
（2）；
（3）；
（4）在中，。
3．要掌握正弦定理的三个应用：
（1）已知两角和任一边，求其它两边和一角。
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角。
（3）判断三角形的形状。
4．本节课的易错点有两处：
（1）已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能出现无解或两解的情况。
（2）在判断三角形的形状时易混淆“等腰或直角三角形”与“等腰直角三角形”。
四、课堂检测
1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）正弦定理不适用于钝角三角形。（
）
（2）在中，等式总能成立。（
）
（3）在中，若，则三角形是等腰三角形。（
）
[解析]（1）×。正弦定理适用于任意三角形。
（2）√。由正弦定理知，即。
（3）√。由正弦定理可知，即，所以三角形为等腰三角形。
[答案]（1）×
（2）√
（3）√
2．在中，若，则与的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．，的大小关系不能确定
A[因为，所以
因为在中，，，，
所以，所以，
由知。]
3．已知a，b，c分别是的三个内角，，所对的边，且满足，则的形状是（
）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
C[由和正弦定理，可得，即，所以。
故为等边三角形。]
4．在中，已知，试判断的形状。
[解]在中，由正弦定理得，
，，
又，，
，
，
即。
或，
即或。
∴为等腰三角形或直角三角形。
1/6正弦定理与余弦定理的应用
教学重难点
教学目标
核心素养
测量距离、高度、角度问题
会利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离、高度、角度等问题
数学建模
【教学过程】
一、问题导入
利用正、余弦定理可解决哪些实际问题？
二、新知探究
测量距离问题
例1海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成的视角，从B岛望C岛和A岛成的视角，则B岛与C岛间的距离是________．
【解析】如图，在中，，
由正弦定理，可得，
所以．
【答案】海里
[变条件]在本例中，若“从B岛望C岛和A岛成的视角”改为“A，C两岛相距20海里”，其他条件不变，又如何求B岛与C岛间的距离呢？
解：由已知在中，，，，即已知两边和两边的夹角，利用余弦定理求解即可．
.故.
即B，C间的距离为海里
测量距离问题的解题思路
求解测量距离问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．构造数学模型时，尽量把已知元素放在同一个三角形中．
测量高度问题
例2如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶后到达B处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度________m.
【解析】由题意，在中，，，故.
又，故由正弦定理得，
解得．在中，．
【答案】
[变问法]在本例条件下，汽车在沿直线AB方向行驶的过程中，若测得观察山顶D点的最大仰角为，求的值．
解：如图，过点C，作，垂足为E，则，由例题可知，
，，
所以.
所以.
测量高度问题的解题思路
高度的测量主要是一些底部不能到达或者无法直接测量的物体的高度问题．常用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．这类物体高度的测量是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形或者在空间构造三棱锥，再依据条件利用正、余弦定理解其中的一个或者几个三角形，从而求出所需测量物体的高度．
测量角度问题
例3岛A观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只，正以每小时10海里的速度向东南方向航行（如图所示），观察站即刻通知在岛A正南方向B处巡航的海监船前往检查．接到通知后，海监船测得可疑船只在其北偏东方向且相距10海里的C处，随即以每小时海里的速度前往拦截．
（1）问：海监船接到通知时，在距离岛A多少海里处？
（2）假设海监船在D处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间．
【解】（1）根据题意得，，，
所以，
在中，由，
得.
所以海监船接到通知时，在距离岛A海里处．
（2）设海监船航行时间为t小时，则，，
又因为，
所以，
所以，
所以，
解得或（舍去）．
所以，所以，
所以，
所以.
所以海监船沿方位角航行，航行时间为1个小时．
（或海监船沿南偏东方向航行，航行时间为1个小时）
测量角度问题的基本思路
（1）测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，在图形中标出相关的角和距离．
（2）根据实际选择正弦定理或余弦定理解三角形，然后将解得的结果转化为实际问题的解．
【课堂检测】
1．若P在Q的北偏东方向上，则Q在P的（
）
A．东偏北方向上
B．东偏北方向上
C．南偏西方向上
D．西偏南方向上
解析：选C.如图所示．
2.如图，D，C，B三点在地面同一直线上，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为和，已知，点C位于BD上，则山高AB等于（
）
A．米
B．米
C．米
D．200米
解析：选C.设米，在中，，
所以.
在中，，则.
因为，所以，
解得．故选C.
3．已知台风中心位于城市A东偏北(为锐角)度的150公里处，以v公里/小时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A西偏北(为锐角)度的200公里处，若，则（
）
A．60
B．80
C．100
D．125
解析：选C.画出图像如图所示，由余弦定理得，由正弦定理得，所以.又，，解得，故，，，故，代入①解得.
4．某巡逻艇在A处发现在北偏东距A处8海里处有一走私船，正沿南偏东的方向以12海里/小时的速度向我岸行驶，巡逻艇立即以海里/小时的速度沿直线追击，问巡逻艇最少需要多长时间才能追到走私船，并指出巡逻艇的航行方向．
解：设经过t小时在点C处刚好追上走私船，依题意：，，，
在中，由正弦定理得，
所以，所以，
所以，解得，航行的方向为北偏东.
即巡逻艇最少经过小时可追到走私船，沿北偏东的方向航行．
5/5
