复数的几何意义
教学目标
核心素养
1．理解复平面、实轴、虚轴等概念．（易混点）
2．掌握复数的几何意义，并能适当应用．（重点、易混点）
3．掌握复数模的定义及求模公式.
通过复数的几何意义的学习，提升学生的直观想象、逻辑推理素养.
【教学过程】
一、问题导入
我们知道，实数与数轴上的点一一对应，也就是说，数轴可以看成实数的一个几何模型。那么，能否为复数找一个几何模型呢？怎样建立起复数与几何模型中点的一一对应关系？
二、新知探究
1.复数与复平面内点的关系
【例1】（1）复数所对应的点在（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
（2）已知复数在复平面内的对应点位于第二象限，则点所成的平面区域是（
）
（3）复数和在复平面内的对应点关于（
）
A．实轴对称
B．一、三象限的角平分线对称
C．虚轴对称
D．二、四象限的角平分线对称
[解析]（1）由复数的几何意义知对应复平面中的点为，而是第二象限中的点，故选B.
（2）由题意，得，即，故点所成的平面区域为A项中的阴影部分．
（3）复数在复平面内的对应点为．
复数在复平面内的对应点为．
点与关于实轴对称，故选A.
[答案]（1）B
（2）A
（3）A
【教师小结】解答此类问题的一般思路：
1．首先确定复数的实部与虚部，从而确定复数对应点的横、纵坐标．
2．根据已知条件，确定实部与虚部满足的关系．
3.复数与平面向量的关系
【例2】（1）向量对应的复数是，向量对应的复数是，则对应的复数是（
）
A．
B．
C．0
D．
（2）复数与分别表示向量与，则向量表示的复数是________．
[思路探究]（1）先写出向量，的坐标，再求出的坐标．
（2）利用，求出向量的坐标，从而确定表示的复数．
[解析]（1）因为向量对应的复数是，向量对应的复数是，所以，，所以，所以对应的复数是0.
（2）因为复数与分别表示向量与，所以，，又，所以向量表示的复数是.
[答案]（1）C
（2）
上例（2）中的条件不变，试求向量表示的复数．
[解]由上例（2）的解析知，
，所以向量表示的复数是.
【教师小结】解答此类题目的一般思路是先写出向量或点的坐标，再根据向量的运算求出所求向量的坐标，从而求出向量所表示的复数．
3.复数的模
[探究问题]
1．复平面内的虚轴的单位长度是1，还是i？
提示：复平面内的虚轴上的单位长度是1，而不是i.
2．若复数在复平面内对应的点P在第四象限，则a满足什么条件？
提示：a满足，即．
【例3】（1）已知复数z的实部为1，且，则复数z的虚部是（
）
A．
B.
C．
D．
（2）求复数及的模，并比较它们模的大小．
[思路探究]（1）设出复数z的虚部，由模的公式建立方程求解．
（2）用求模的公式直接计算．
（1）[解析]设复数z的虚部为b，，实部为1，，，选D.
[答案]D
（2）解：因为，，
所以，
.
因为，
所以.
【教师小结】
1．计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，再利用复数模的公式进行计算．
2．两个复数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．
三、课堂总结
（一）复平面
1.建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．
2.在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．
3.x轴的单位是1，y轴的单位是i.实轴与虚轴的交点叫做原点，原点(0,0)对应复数0.
（二）复数的几何意义
1．复数一一对应复平面内的点．
2．复数一一对应平面向量.
（三）复数的模、共轭复数
1．设，则向量的长度叫做复数的模（或绝对值），记作，且.
2．如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数．复数z的共轭复数
四、课堂检测
1．复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析]由,得复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于第二象限．
[答案]B
2．已知复数，则复数的模是（
）
A．5
B．8
C．6
D.
[解析].
[答案]D
3．复数在复平面内的对应点在第四象限，则实数x的取值范围是________．
[解析]复数z在复平面内对应的点在第四象限，
，解得.
[答案]
4．已知复数的模是，则点的轨迹方程是________．
[解析]，
，
.
[答案]
5．已知复数z满足，求复数z.
[解]设，
则，
代入方程得，，
，
解得，
.
5/5复数的乘法与除法
教学目标
核心素养
1．理解复数的乘除运算法则.
2．会进行复数的乘除运算．（重点）
3．掌握虚数单位“i”的幂值的周期性，并能应用周期性进行化简与计算．（难点）
4．掌握共轭复数的运算性质．（易混点）
通过复数的乘法、除法运算法则及运算性质的学习，提升学生的数学运算、逻辑推理素养.
【教学过程】
一、问题导入
我们知道，两个实数的乘法对加法来说满足分配律，即时，有
，
而且，实数的正整数次幂满足
，，，
其中m，n均为正整数.那么，复数的乘法应该如何规定，才能使得类似的运算法则仍成立呢？
二、新知探究
1.复数代数形式的乘法运算
【例1】（1）已知，i是虚数单位．若与互为共轭复数，则（
）
A．
B．
C．
D．
（2）复数的共轭复数等于（
）
A．
B．
C．
D．
（3）i是虚数单位，复数__________.
[解析]（1）由题意知，，，.
（2）.
.故选C.
（3）.
[答案]（1）D
（2）C
（3）
【教师小结】
（1）两个复数代数形式乘法的一般方法
首先按多项式的乘法展开；再将换成；然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．
（2）常用公式
（1）；
（2）；
（3）.
2.复数代数形式的除法运算
【例2】（1）（
）
A．
B．
C．
D．
（2）i是虚数单位，复数（
）
A．
B．
C.
D．
[解析]（1）法一：.故选D.
法二：．
（2），故选A.
[答案]（1）D
（2）A
【教师小结】
（一）两个复数代数形式的除法运算步骤
（1）首先将除式写为分式；
（2）再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；
（3）然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．
（二）常用公式
（1）；（2）；（3）.
3.的周期性及应用
[探究问题]
（1）与i是否相等？
提示：，相等．
（2）的值为多少？
提示：.
【例3】计算.
[思路探究]本题中需求多个和的值，求解时可考虑利用等比数列求和公式及的周期性化简；也可利用化简．
[解]法一：
原式.
法二：，
，
.
三、课堂总结
（一）复数的乘法及其运算律
1．定义
.
2．运算律
对任意，有
交换律
结合律
乘法对加法的分配律
3．两个共轭复数的乘积等于这个复数(或其共轭复数)模的平方．
4．；；；．
（二）复数的除法法则
1．已知，如果存在一个复数，使，则叫做z的倒数，记作，则且.
2．复数的除法法则
设，，
.
2/4复数的三角形式及其运算
【教学重难点】
【教学目标】
【核心素养】
复数的三角形式
了解复数的三角形式，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系
数学抽象
复数三角形式乘、除运算的
三角表示及其几何意义
了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
数学抽象、数学运算
【教学过程】
一、问题导入
预习教材内容，思考以下问题：
1．复数z＝a＋bi的三角形式是什么？
2．复数的辐角、辐角的主值是什么？
3．复数三角形式的乘、除运算公式是什么？
4．复数三角形式乘、除运算的几何意义是什么？
二、基础知识
1．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值
一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ＋isinθ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz.r(cosθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．
■名师点拨
（1）任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．
（2）复数0的辐角是任意的．
（3）在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz，且0≤argz＜2π.
（4）两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．
2．复数三角形式的乘、除运算
若复数z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，且z1≠z2，则
（1）z1z2＝r1(cosθ1＋isinθ1)·r2(cosθ2＋isinθ2)
＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．
（2）＝
＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．
即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．
两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．
三、合作探究
1．复数的代数形式与三角形式的互化
角度一
代数形式化为三角形式
把下列复数的代数形式化成三角形式：
（1）＋i；
（2）－i.
【解】（1）r＝＝2，因为＋i对应的点在第一象限，
所以cos
θ＝，即θ＝，
所以＋i＝2.
（2）r＝＝2，cos
θ＝，
又因为－i对应的点位于第四象限，
所以θ＝.
所以－i＝2.
复数的代数形式化三角形式的步骤
（1）先求复数的模．
（2）决定辐角所在的象限．
（3）根据象限求出辐角．
（4）求出复数的三角形式．
[提醒]一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值这既使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值．
角度二
三角形式化为代数形式
分别指出下列复数的模和辐角的主值，并把这些复数表示成代数形式．
（1）4；
（2）(cos
60°＋isin
60°)；
（3）2.
【解】（1）复数4的模r＝4，辐角的主值为θ＝.
4＝4cos
＋4isin
＝4×＋4×i
＝2＋2i.
（2）(cos
60°＋isin
60°)的模r＝，辐角的主值为θ＝60°.
(cos
60°＋isin
60°)＝×＋×i
＝＋i.
（3）2
＝2
＝2.
所以复数的模r＝2，辐角的主值为π.
2＝2cos
π＋2isin
π
＝2×＋2×i
＝1－i.
复数的三角形式z＝r(cosθ＋isinθ)必须满足“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i跟sin”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角，如本例（3）.
2．复数三角形式的乘、除运算
计算：
（1）8×4；
（2）(cos
225°＋isin
225°)÷[(cos
150°＋isin
150°)]；
（3）4÷.
【解】（1）8×4
＝32
＝32
＝32
＝32
＝16＋16i.
（2）(cos
225°＋isin
225°)÷[(cos
150°＋isin
150°)]
＝[cos(225°－150°)＋isin(225°－150°)]
＝(cos
75°＋isin
75°)
＝
＝＋i
＝＋i.
（3）4÷
＝4(cos
0＋isin
0)÷
＝4
＝2－2i.
（1）乘法法则：模相乘，辐角相加．
（2）除法法则：模相除，辐角相减．
（3）复数的n次幂，等于模的n次幂，辐角的n倍．
3．复数三角形式乘、除运算的几何意义
在复平面内，把复数3－i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转，求所得向量对应的复数．
【解】因为3－i＝2
＝2
所以2×
＝2
＝2
＝2
＝3＋i，
2×
＝2
＝2
＝－2i.
故把复数3－i对应的向量按逆时针旋转得到的复数为3＋i，按顺时针旋转得到的复数为－2i.
两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2．
四、课堂检测
1．复数1－i的辐角的主值是(
)
A．π
B．π
C．π
D．
解析：选A．因为1－i＝2＝2，所以1－i辐角的主值为π.
2．复数9(cos
π＋isin
π)的模是________．
答案：9
3．arg(－2i)＝________．
答案：π
4．计算：
（1）(cos
75°＋isin
75°)(cos
15°＋isin
15°)；
（2）2(cos
300°＋isin
300°)÷.
解：（1）(cos
75°＋isin
75°)(cos
15°＋isin
15°)
＝cos(75°＋15°)＋isin(75°＋15°)
＝cos
90°＋isin
90°
＝i.
（2）2(cos
300°＋isin
300°)÷
＝2÷
＝
＝
＝－＋i.复数的概念
教学目标
核心素养
1．了解数集的扩充过程，了解引进复数的必要性．（重点）
2.理解复数及其相关概念：实部、虚部、虚数、纯虚数等，明确复数的分类．（重点、难点）
3.掌握复数相等的充要条件，并能应用这一条件解决有关问题．（易混点）
通过复数的概念学习，提升学生的数学抽象素养.
【教学过程】
一、问题导入
数的扩充过程，也可以从方程是否有解的角度来理解：
因为类似的方程在自然数范围内无解，所以人们引入了负数并将自然数扩充成整数，使得类似的方程在整数范围内有解；因为类似的方程在整数范围内无解，所以人们引入了分数并将整数扩充成有理数，使得类似的方程在有理数范围内有解；因为类似的方程在有理数范围内无解，所以人们引入了无理数并将有理数扩充成实数，使得类似的方程在实数范围内有解。
我们已经知道，类似的方程在实数范围内无解.那么，能否像前面一样，引入一种新的数，使得这个方程有解并将实数进行扩充呢？
二、新知探究
1.复数的概念
【例1】（1）给出下列三个命题：①若，则；②的虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
（2）已知复数的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是__________．
（3）下列命题正确的是__________（填序号)．
①若，则的充要条件是，；
②若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
③实数集的补集是虚数集．
[解析]（1）复数的平方不一定大于0，故①错；的虚部为2，故②错；的实部是0，③正确，故选B.
（2）由题意，得，，所以，.
（3）①由于x，y都是复数，故不一定是代数形式，因此不符合两个复数相等的充要条件，故①是假命题．
②当时，为实数，故②为假命题．
③由复数集的分类知，③正确，是真命题．
[答案]（1）B
（2），5
（3）③
【教师小结】判断与复数有关的命题是否正确的方法：
（1）举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题型时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．
（2）化代数式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部．
2.复数的分类
【例2】（1）复数为纯虚数的充要条件是（
）
A．
B．且
C．且
D．且
（2）已知，复数，当m为何值时，
①z为实数？②z为虚数？③z为纯虚数？
[思路探究]依据复数的分类列出方程（不等式）组求解．
[解析]（1）要使复数z为纯虚数，则，，.故选D.
[答案]D
（2）①要使z为实数，需满足，且有意义，即，解得.
②要使z为虚数，需满足，且有意义，即，解得且.
③要使z为纯虚数，需满足，且，解得或.
[母题探究]
若把上例（1）中的“纯虚数”改为“实数”，则结果如何？
[解]复数z为实数的充要条件是，即，所以.
【教师小结】利用复数的分类求参数时，要先确定构成实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解.要特别注意复数为纯虚数的充要条件是且.
3.复数相等的充要条件
[探究问题]
（1）是复数为纯虚数的充分条件吗？
提示：因为当且时，才是纯虚数，所以是复数为纯虚数的必要不充分条件．
（2）正确吗？
提示：不正确，如果两个复数不全是实数，那么它们就不能比较大小．
【例3】（1）若，求实数x，y的值；
（2）关于x的方程有实根，求实数a的值．
[思路探究]根据复数相等的充要条件求解．
[解]（1）由复数相等的充要条件，
得，解得．
（2）设方程的实根为，
则原方程可变为，
所以，
解得或.
【教师小结】复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法．转化过程主要依据复数相等的充要条件．基本思路是：
（1）等式两边整理为的形式；
（2）由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组；
（3）解方程组，求出相应的参数．
三、课堂总结
（一）复数的概念及分类
1．数系的扩充及对应的集合符号表示
→→→→
↓
↓
↓
↓
↓
N
Z
Q
R
C
2．复数的有关概念
3．复数的分类
（1）复数
（2）集合表示
（二）两个复数相等的充要条件
在复数集中，任取两个复数，，规定与相等的充要条件是且.
四、课堂检测
1．设集合，，，若全集，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
[解析]集合A，B，C的关系如图，可知只有正确．
[答案]D
2．若复数与复数相等，则实数a的值为（
）
A．1
B．1或
C．
D．0或
[解析]由复数相等的条件得
，.
[答案]C
3．复数的实部为________．
[解析]复数，实部为0.
[答案]0
4．已知，，其中，i为虚数单位，若，则m的值为________．
[解析]由题意得，从而，解得．
[答案]
5．已知集合，集合满足，求整数a，b.
[解]依题意得，
①
或，
②
或.
③
由①得，，
由②得，.
③中，A，B无整数解不符合题意．
综上所述得，或，或，.
1/6复数的加法与减法
教
学
目
标
核
心
素
养
1．掌握复数的加减法运算法则，能熟练地进行复数的加减运算．（重点）
2.理解复数加减法运算的几何意义，能解决相关的问题．（难点、易混点）
通过复数的加法与减法的学习，提升学生的数学运算素养.
【教学过程】
一、问题导入
我们知道，任意两个实数都可以相加，而且实数中的加法运算还满足交换律与结合律，即时，必定有
，
.
那么，复数中的加法应该如何规定，才能使得类似的交换律与结合律都成立呢？
二、新知探究
1.复数的加减法运算
【例1】（1）________.
（2）已知复数z满足，求z.
（3）已知复数z满足，求z.
[解析]（1）.
[答案]
（2）解：法一：设，因为，所以，即且，解得，，所以.
法二：因为，所以.
（3）解：设，则，又，所以，由复数相等得，解得，所以.
【教师小结】复数加减运算法则的记忆：
（1）复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．
（2）把i看作一个字母，类比多项式加减运算中的合并同类项．
2．当一个等式中同时含有与z时，一般要用待定系数法，设．
2.复数加减法的几何意义
【例2】（1）在复平面内，平行四边形ABCD（顶点顺序为ABCD）的三个顶点A，B，C对应的复数分别是，，，则点D对应的复数为__________．
（2）已知，，，求.
[思路探究]（1）先写出点A，B，C的坐标，利用向量列方程求解．
（2）由复数的几何意义，画出图形，利用平行四边形解决．
（1）[解析]设，类比向量的运算知，所以有复数，得，，所以D对应的复数为.
[答案]
（2）解：设复数，，在复平面上对应的点分别为，，Z，由知，以，为邻边的平行四边形是菱形，在中，由余弦定理，得
，
所以，所以，
因此是正三角形，
所以．
若把上例（2）中的条件“”改为“”，则等于多少？
[解]设复数，在复平面上对应的点分别为，，由，知，以，为邻边的平行四边形是菱形，OZ为对角线，为正三角形，由余弦定理，
得，
因为，所以，
所以.
【教师小结】利用复数加减运算的几何意义解题的技巧及常见结论
（一）技巧
（1）形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．
（2）数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．
（二）常见结论
在复平面内，，对应的点分别为A，B，对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：
（1）为平行四边形；
（2）若，则四边形OACB为矩形；
（3）若，则四边形OACB为菱形；
（4）若且，则四边形OACB为正方形．
3.复数加减法的几何意义的应用
[探究问题]
（1）在实数范围内恒成立，在复数范围内是否有恒成立呢？
提示：若，则成立．否则.
如果，，虽然，但不能说大于i.
（2）复数的几何意义是什么？
提示：复数表示复数，对应两点与间的距离．
【例3】复平面内点A，B，C对应的复数分别为i,1,，由A→B→C→D按逆时针顺序作，求.
[思路探究]首先由A，C两点坐标求解出AC的中点坐标，然后再由点B的坐标求解出点D的坐标．
[解]如图，设，F为的对角线的交点，则点F的坐标为，
所以，即．
所以点D对应的复数为，所以，所以.
【教师小结】
（1）解决此类问题的关键是由题意正确地画出图形，然后根据三角形法则或平行四边形法则借助复数相等即可求解．
（2）复数的几何意义包括三个方面：复数的表示（点和向量）、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义．复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题．
三、课堂总结
（一）复数代数形式的加减法
1．运算法则
设，，
则，.
2．加法运算律
设，有，
．
（二）复数加减法的几何意义
若复数，对应的向量分别为，.
复数加法的几何意义
复数是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数
复数减法的几何意义
复数是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数
四、课堂检测
1．（2019·全国卷Ⅰ）设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（
）
A．
B．
C．
D．
[答案]C
2．设复数对应的点在虚轴右侧，则（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
[解析]复数对应的点在虚轴右侧，则该复数的实部大于零，虚部可为任意实数．
[答案]D
3．已知，且是纯虚数，则________.
[解析]设，，且是纯虚数，则，
由①可得..
[答案]3i
4．若，则的最小值是________
.
[解析]由，知z对应点的轨迹是到与到点距离相等的点即虚轴，表示z对应的点到点的距离，．
[答案]1
5．集合，，集合.
（1）指出集合P在复平面内所表示的图形；
（2）求集合P中复数模的最大值和最小值．
[解]（1）由可知，集合M在复平面内所对应的点集是以点为圆心，以1为半径的圆的内部及边界；由可知，集合N在复平面内所对应的点集是以点和为端点的线段的垂直平分线l，因此，集合P在复平面内所表示的图形是圆面截直线l所得的一条线段AB，如图．
（2）由（1）知，圆的方程为，
直线l的方程为．
解方程组，
得，.
所以，.
因为点O到直线l的距离为，且过点O向l作垂线，垂足在线段BE上，，
所以集合P中复数模的最大值为，最小值为.
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