多面体与棱柱
【教学目标】
1．通过多面体的定义与分类学习，培养学生的数学抽象核心素养。
2．借助棱柱结构特征的学习，培养直观抽象的数学核心素养。
【教学重难点】
1．了解多面体的定义及其分类。（重点）
2．理解棱柱的定义和结构特征。（重点）
3．在棱柱中构造恰当的特征图形，研究其中的线段数量关系和位置关系。（难点）
【教学过程】
一、基础铺垫
多面体：
一般地，由若干个平面多边形所围成的封闭几何体称为多面体。例如，我们初中学习过的长方体、棱锥等都是多面体。
一个多面体中，连接同一面上两个顶点的线段，如果不是多面体的棱，就称其为多面体的面对角线；连接不在同一面上两个顶点的线段称为多面体的体对角线。一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形（包含它的内部），称为这个几何体的一个截面，多面体所有面的面积之和称为多面体的表面积（或全面积）。
二、新知探究
1．棱柱的概念
【例】下列关于棱柱的说法正确的个数是（
）
①四棱柱是平行六面体；
②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；
③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱；
④底面是正多边形的棱柱是正棱柱。
A．1
B．2
C．3
D．4
A
[四棱柱的底面可以是任意四边形；而平行六面体的底面必须是平行四边形，故①不正确；说法③就是棱柱的定义，故③正确；对比定义，显然②不正确；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，故④不正确。]
2．几种常见四棱柱的关系
【例】
下列说法中正确的是（
）
A．直四棱柱是直平行六面体
B．直平行六面体是长方体
C．六个面都是矩形的四棱柱是长方体
D．底面是正方形的四棱柱是直四棱柱
C
[直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故A错；直平行六面体的底面不一定是矩形，故B错；C正确；底面是正方形的四棱柱不一定是直四棱柱，故D错。]
【教师小结】
几种常见四棱柱的关系
【跟踪训练】
1．一个棱柱是正四棱柱的条件是（
）
A．底面是正方形，有两个面是矩形的四棱柱
B．底面是正方形，两个侧面垂直于底面的四棱柱
C．底面是菱形，且有个顶点处的两条棱互相垂直的四棱柱
D．底面是正方形，每个侧面都是全等的矩形的四棱柱
D
[选项A、B中，两个面为相对侧面时，四棱柱不一定是直四棱柱，C中底面不是正方形，故排除选项A、B、C，所以选D．]
三、课堂总结
1．多面体
（1）定义
由若干个平面多边形所围成的几何体叫做多面体。
（2）相关概念（如图所示）
（3）凸多面体
把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体。
2．棱柱的结构特征
定义
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体
图示及相关概念
底面：两个互相平行的面
侧面：底面以外的其余各面
侧棱：相邻两侧面的公共边
顶点：侧面与底面的公共顶点
分类
按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱……
四、课堂检测
1．下列几何体中是棱柱的个数有（
）
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
D
[由棱柱的定义知①③是棱柱，选D．]
2．一个棱柱至少有__________个面；面数最少的棱柱有________个顶点，有________条棱。
5
6
9
[面数最少的棱柱是三棱柱，有5个面，6个顶点，9条棱。]
3
/
3棱锥和棱台
【教学目标】
借助棱锥、棱台结构特征的学习，培养直观抽象的数学核心素养。
【教学重难点】
1．棱锥、棱台的定义和结构特征。（重点）
2．棱锥、棱台中构造恰当的特征图形，研究其中的线段数量关系和位置关系。（难点）
【教学过程】
一、复习导入
思考1：长方体、正方体是多面体吗？
[提示]
是。长方体是由6个矩形围成的，正方体是由6个正方形围成的，均满足多面体的定义。
思考2：最简单的多面体由几个面所围成？
[提示]
四个。
二、合作探究
1．棱锥、棱台的概念
【例】
下列关于棱锥、棱台的说法中，正确说法的序号是________。
（1）用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；
（2）棱台的侧面一定不会是平行四边形；
（3）棱锥的侧面只能是三角形；
（4）棱台的各侧棱延长后必交于一点；
（5）棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥。
（2）（3）（4）
[（1）错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；
（2）正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；
（3）正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；
（4）正确，棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点；
（5）错误，如图所示四棱锥被平面PBD截成的两部分都是棱锥。]
【教师小结】判断一个几何体是何种几何体，一定要紧扣棱柱、棱锥、棱台的结构特征，注意概念中的特殊字眼，切不可马虎大意，如棱柱的概念中的“相邻”，棱锥的概念中的“公共顶点”，棱台的概念中的“棱锥”“平行”等。
2．几何体的计算问题
[探究问题]
（1）计算正三棱锥中底面边长，斜高，高时，通常是将所求线段转化到直角三角形中，常用到的直角三角形有哪些？
[提示]
常用到的直角三角形有：①由斜高、高、底面中心到边的距离构成的三角形，②由高、侧棱和底面中心与底面顶点的连线构成的三角形。
（2）其他正棱锥的计算是否与正三棱锥计算用同样的方法？
[提示]
是。
（3）正棱台中的计算呢？
[提示]
根据正棱锥与正棱台的关系，转化到直角梯形中求解。
【例】
正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，求正三棱锥的高。
[思路探究]
正三棱锥?侧棱、高和底面三角形外接圆半径组成直角三角形?勾股定理求解。
[解]
作出正三棱锥如图，SO为其高，连接AO，作OD⊥AB于点D，则点D为AB的中点。
在Rt△ADO中，AD＝，
∠OAD＝30°，
故AO＝＝。
在Rt△SAO中，SA＝2，AO＝，
故SO＝＝3，其高为3．
【母题探究】
1．将本例中“侧棱长为2”，改为“斜高为2”，则结论如何？
[解]
在Rt△SDO中，SD＝2，DO＝AO＝，故SO＝＝＝。
2．将本例中“三棱锥”改为“四棱锥”，如何解答？
[解]
如图正四棱锥S?ABCD中，SO为高，连接OC．则△SOC是直角三角形，由题意BC＝3，则OC＝，又因为SC＝2，则SO＝＝＝＝。
故其高为。
【教师小结】
（一）正棱锥中的直角三角形的应用
已知正棱锥如图(以正四棱锥为例)，其高PO，底面为正方形，作PE⊥CD于E，则PE为斜高。
(1)斜高、侧棱构成直角三角形，如图中Rt△PEC．
(2)斜高、高构成直角三角形，如图中Rt△POE。
(3)侧棱、高构成直角三角形，如图中Rt△POC．
（二）正棱台中的直角梯形的应用
已知正棱台如图(以正四棱台为例)，O1，O分别为上、下底面中心，作O1E1⊥B1C1于E1，OE⊥BC于E，则E1E为斜高，
(1)斜高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形E1ECC1．
(2)斜高、高构成直角梯形，如图中梯形O1E1EO。
(3)高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形O1OCC1．
三、课堂总结
1．棱锥的结构特征。
定义
有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的多面体
图示及相关概念
底面：多边形面
侧面：有公共顶点的各个三角形面
侧棱：相邻两侧面的公共边
顶点：各侧面的公共顶点
分类
按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥……
2．棱台的结构特征。
定义
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分
图示及相关概念
上底面：原棱锥的截面
下底面：原棱锥的底面
侧面：除上下底面以外的面
侧棱：相邻两侧面的公共边
顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点
分类
按由几棱锥截得分：三棱台、四棱台……
四、课堂检测
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥。
(
)
（2）棱台的侧棱长都相等。
(
)
（3）棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形。
(
)
（4）棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形。
(
)
[答案]
（1）√
（2）×
（3）×
（4）×
2．下列几何体中是棱柱的个数有(
)
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
D
[由棱柱的定义知①③是棱柱，选D．]
3．画一个三棱台，再把它分成：
（1）一个三棱柱和另一个多面体；
（2）三个三棱锥，并用字母表示。
[解]
画三棱台一定要利用三棱锥。
①
②
（1）如图①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′?AB″C″，另一个多面体是C′B′BCC″B″。
（2）如图②所示，三个三棱锥分别是A′?ABC，B′?A′BC，C′?A′B′C．
5
/
5祖暅原理与几何体的体积
【教学目标】
1．了解柱、锥、台和球的体积计算公式．(重点)
2．能够运用柱、锥、台、球的体积公式求简单几何体的体积．(重点)
3．台体的体积及简单几何体的体积计算．(难点)
【教学过程】
一、基础铺垫
1．祖暅原理
（1）“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．
（2）作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等．
2．柱体、锥体、台体和球的体积公式
其中S′、S分别表示上、下底面的面积，h表示高，r′和r分别表示上、下底面圆的半径，R表示球的半径．
名称
体积(V)
柱体
棱柱
Sh
圆柱
πr2h
锥体
棱锥
Sh
圆锥
πr2h
台体
棱台
h(S＋＋S′)
圆台
πh(r2＋rr′＋r′2)
球
πR3
二、新知探究
1．求柱体的体积
【例1】如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6
cm，高为3
cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4
cm，高为2
cm，现从中间挖去一个直径为2
cm的圆柱，求此几何体的体积．
[解]
V六棱柱＝×42×6×2＝48(cm3)，
V圆柱＝π·32×3＝27π(cm3)，
V挖去圆柱＝π·12×(3＋2)＝5π(cm3)，
∴此几何体的体积：
V＝V六棱柱＋V圆柱－V挖去圆柱＝(48＋22π)(cm3)．
【教师小结】
计算柱体体积的关键及常用技巧
（一）计算柱体体积的关键：确定柱体的底面积和高．
（二）常用技巧：
（1）充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面，构造直角三角形，从而计算出底面积和高．
（2）由于柱体的体积仅与它的底面积和高有关，而与柱体是几棱柱，是直棱柱还是斜棱柱没有关系，所以我们往往把求斜棱柱的体积通过作垂直于侧棱的截面转化成求直棱柱的体积．
2．求锥体的体积
【例2】如图三棱台ABC?A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1?ABC，三棱锥B?A1B1C，三棱锥C?A1B1C1的体积之比．
[思路探究]
―→―→
―→―→
[解]
设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S＝4S.
∴V＝S△ABC·h＝Sh，
V＝S·h＝Sh.
又V台＝h(S＋4S＋2S)＝Sh，
∴V＝V台－V－V
＝Sh－－＝Sh，
∴体积比为1∶2∶4．
【教师小结】
三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可求锥体的体积和柱体或台体的体积关系，割补法在立体几何中是一种重要的方法．
3．求台体的体积
【例3】已知正四棱台两底面边长分别为20
cm和10
cm，侧面积是780
cm2．求正四棱台的体积．
[思路探究]
可以尝试借助四棱台内的直角梯形．求出棱台底面积和高，从而求出体积．
[解]
如图所示，正四棱台ABCD?A1B1C1D1中，A1B1＝10
cm，AB＝20
cm.取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E是侧面ABB1A1的高．设O1．O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1是直角梯形．
由S侧＝4×(10＋20)·E1E＝780，得EE1＝13，
在直角梯形EOO1E1中，O1E1＝A1B1＝5，
OE＝AB＝10，
∴O1O＝＝12，
V正四棱台＝×12×(102＋202＋10×20)
＝2
800
(cm3)．
故正四棱台的体积为2
800
cm3．
【教师小结】
求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高．要注意充分运用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面寻求相关量之间的关系．
4．求球的体积
【例4】过球面上三点A，B，C的截面到球心O的距离等于球的半径的一半，且AB＝BC＝CA＝3
cm，求球的体积和表面积．
[思路探究]
解决本题要充分利用已知条件，尤其是球半径，截面圆半径和球心距构成的直角三角形．
[解]
如图，设过A，B，C三点的截面为圆O′，连接OO′、AO、AO′.
∵AB＝BC＝CA＝3(cm)，
∴O′为正三角形ABC的中心，
∴AO′＝AB＝
(cm)．
设OA＝R，则OO′＝R，
∵OO′⊥截面ABC，
∴OO′⊥AO′，
∴AO′＝R＝
(cm)，∴R＝2(cm)，
∴V球＝πR3＝π(cm3)，S球＝4πR2＝16π(cm2)．
即球的体积为π
cm3，表面积为16π
cm2．
【教师小结】
球的基本性质是解决与球有关的问题的依据，球半径、截面圆半径和球心到截面的距离所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要方法．
5．组合体的表面积和体积
【例5】已知某几何体的三视图如图所示，其中主视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为(
)
A．24－
B．24－
C．24－π
D．24－
[思路探究]
解答此类问题的关键是先由三视图还原作出直观图，然后根据三视图中的数据在直观图中求出计算体积所需要的数据．
A
[该几何体是一个长方体挖去一个半圆柱体，其体积等于3×2×4－3××π×12＝24－.]
【教师小结】
求组合体的表面积与体积的方法
（1）分析结构特征．弄清组合体的组成形式，找准有关简单几何体的关键量．
（2）根据组成形式，设计计算方法，特别要注意“拼接面”面积的处理．利用“切割”、“补形”的方法求体积．
（3）根据设计的计算方法求值．
三、课堂总结
1．本节课的重点是掌握柱体、锥体、台体和球的体积的求法，难点是组合体的表面积．
2．本节课要重点掌握的规律方法
（1）求空间几何体的体积的方法．
（2）求与组合体有关的体积的方法．
3．本节课的易错点是求与三视图有关的几何体的体积时，易把相关数据弄错.
四、课堂检测
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的某个平面所截，如果截得的两个截面面积相等，则这两个几何体的体积相等．
(
)
（2）锥体的体积只与底面积和高度有关，与其具体形状无关．
(
)
（3）由V锥体＝S·h，可知三棱锥的任何一个面都可以作为底面．
(
)
[答案]
（1）×
（2）√
（3）√
2．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于(
)
A．π
B．2π
C．4π
D．8π
B
[设轴截面正方形的边长为a，
由题意知S侧＝πa·a＝πa2．
又∵S侧＝4π，∴a＝2．
∴V圆柱＝π×2＝2π.]
3．已知圆锥SO的高为4，体积为4π，则底面半径r＝________.
[由已知得4π＝πr2×4，解得r＝.]
4．一个正三棱锥底面边长为6，侧棱长为，求这个三棱锥体积．
[解]
如图所示，正三棱锥S?ABC．
设H为正三角形ABC的中心，连接SH，则SH的长即为该正三棱锥的高．连接AH并延长交BC于E，则E为BC的中点，且AH⊥BC．
∵△ABC是边长为6的正三角形，
∴AE＝×6＝3.∴AH＝AE＝2.
在△ABC中，
S△ABC＝BC·AE＝×6×3＝9.
在Rt△SHA中，SA＝，AH＝2，
∴SH＝＝＝.
∴V正三棱锥＝S△ABC·SH＝×9×＝9．
5/6平行直线与异面直线
【教学目标】
1．能认识和理解空间直线平行的传递性，了解等角定理．(重点)
2．了解空间两条直线间的位置关系，理解异面直线的定义.(难点)
3．了解空间四边形的概念.
【教学重难点】
异面直线的判断。
【教学过程】
一、基础铺垫
1．平行直线基本性质
文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行线的传递性．
符号表述：?a∥c．
2．等角定理
如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等．
思考：空间中如果两个角的两边分别对应平行，这两个角具有什么关系？
[提示]
相等或互补．
3．异面直线
①定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线；
②画法：(通常用平面衬托)
4．空间四边形
①定义：顺次连接不共面的4点所构成的图形称为空间四边形，其中4个点都是空间四边形的顶点，连接相邻顶点间的线段称为空间四边形的边，连接不相邻顶点间的线段称为空间四边形的对角线.；
②画法：
二、合作探究
1．平行直线基本性质、等角定理的应用
【例1】如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．
（1）求证：四边形BB1M1M为平行四边形；
（2）求证：∠BMC＝∠B1M1C1．
[思路探究]（1）欲证四边形BB1M1M是平行四边形，可证其一组对边平行且相等；（2）可结合（1）利用等角定理证明或利用三角形全等证明．
[证明]
（1）∵ABCD?A1B1C1D1为正方体．
∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1，
又M、M1分别为棱AD．A1D1的中点，
∴AM＝A1M1且AM∥A1M1，
∴四边形AMM1A1为平行四边形，
∴MM1＝AA1且MM1∥AA1．
又AA1＝BB1且AA1∥BB1，
∴MM1＝BB1且MM1∥BB1，
∴四边形BB1M1M为平行四边形．
（2）法一：由（1）知四边形BB1M1M为平行四边形，
∴B1M1∥BM.
同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，
∴C1M1∥CM.
∵∠BMC和∠B1M1C1方向相同，
∴∠BMC＝∠B1M1C1．
法二：由（1）知四边形BB1M1M为平行四边形，
∴B1M1＝BM.
同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，
∴C1M1＝CM.
又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1，
∴∠BMC＝∠B1M1C1．
【教师小结】
（1）空间两条直线平行的证明
一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；
二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质；
三是利用平行直线基本性质：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．
（2）求证角相等
一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．
2．异面直线与空间四边形
【例2】如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：
①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；
④直线AB与直线B1C的位置关系是________．
【解析】经探究可知直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”；点A1．B．B1在平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C异面．同理，直线AB与直线B1C异面．所以②④应该填“异面”；直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以③应该填“相交”．
【答案】①平行
②异面
③相交
④异面
【教师小结】判定两条直线是异面直线的方法：
①定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内；
②重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A?α，B∈α，l?α，B?l?AB与l是异面直线(如图)．
【例3】如图所示，A，B，C，D为不共面的四点，E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上．
（1）如果EH∩FG＝P，那么点P在直线________上．
（2）如果EF∩GH＝Q，那么点Q在直线________上．
【解析】（1）BD
（2）AC
[（1）若EH∩FG＝P，
那么点P∈平面ABD，P∈平面BCD，
而平面ABD∩平面BCD＝BD，
所以P∈BD．
（2）若EF∩GH＝Q，则点Q∈平面ABC，Q∈平面ACD，而平面ABC∩平面ACD＝AC，所以Q∈AC．]
三、课堂检测
1．思考辨析
（1）若直线与平面不相交，则直线与平面平行．(
)
（2）过一点有且只有一条直线与已知直线平行．(
)
（3）直线l上有无数多个点在平面α外，则l∥α.(
)
（4）过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行．(
)
[解析]
（1）错误．若直线与平面不相交，则直线在平面内或直线与平面平行．
（2）错误．当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行，故（2）错．
（3）错误．直线l也可能与平面α相交．
（4）错误．在棱柱的上底面内，过一点任意作一条直线都与棱柱的下底面平行，所以过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条，故（4）错．
[答案]
（1）×
（2）×
（3）×
（4）×
2．如图所示，在三棱锥S?MNP中，E、F、G、H分别是棱SN、SP、MN、MP的中点，则EF与HG的位置关系是(
)
A．平行
B．相交
C．异面
D．平行或异面
A
[∵E、F分别是SN和SP的中点，
∴EF∥PN.同理可证HG∥PN，
∴EF∥HG.]
3．已知角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同，另一组边的方向相反，若α＝45°，则β＝________.
135°
[由等角定理可知β＝135°.]
4．证明：若两个相交平面分别过两条平行直线，则它们的交线和这两条平行直线平行．
[解]
已知：a∥b，a?α，b?β，α∩β＝l.求证：a∥b∥l.
证明：如图所示，
∵a∥b，b?β，
∴a∥β，
又a?α，α∩β＝l，
∴a∥l，
又a∥b，
∴a∥b∥l.
2直线与平面垂直
【教学目标】
1．通过直线与平面垂直的定义学习，培养直观想象的数学核心素养。
2．借助线面垂直的判定定理与性质定理，提升逻辑推理、数学抽象的数学核心素养。
【教学重难点】
1．了解直线与平面垂直的定义。
2．理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直。
3．掌握线面垂直的性质定理，并能应用。
4．灵活运用直线与平面垂直的判定定理和性质定理处理空间垂直问题。
【教学过程】
一、基础铺垫
直线与直线所成角：
初中几何中已经提到，两条直线相交，可以形成四个角，其中有些角是对顶角，有些角是邻补角，而且对顶角相等，邻补角互补。
习惯上，两条相交直线所成角的大小，指的是它们相交所得到的不大于直角的角的大小。
一般地，如果a，b是空间中的两条异面直线，过空间中任意一点，分别作与a，b平行或重合的直线a'，b'，则a'与b'所成角的大小，称为异面直线a与b所成角的大小。
为了方便起见，规定空间中两条平行直线所成角的大小为0°，这样一来，空间中任意两条直线所成角的大小都是确定的。两条直线所成的角也称为这两条直线的夹角。特别地，空间中两条直线l，m所成角的大小为90°时，称l与m垂直，记作l⊥m。
二、新知探究
1．线面垂直的定义及判定定理的理解
【例1】
下列说法中正确的个数是（
）
①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α；
②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；
③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；
④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直。
A．0
B．1
C．2
D．3
D
[由直线和平面垂直的判定定理知①正确；由直线与平面垂直的定义知，②正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条直线垂直，故③不对；④正确。]
【教师小结】
1．对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交、平行或直线在平面内。
2．判定定理中要注意必须是平面内两相交直线。
2．线面垂直判定定理的应用
【例2】
如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F。
（1）求证：PC⊥平面AEF；
（2）设平面AEF交PD于G，求证：AG⊥PD．
[思路探究]
PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，AE⊥PB，AF⊥PC?直线与平面垂直的判定定理；若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的所有直线。
[证明]
（1）因为PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
所以PA⊥BC．
又AB⊥BC，PA∩AB＝A，
所以BC⊥平面PAB，AE?平面PAB，
所以AE⊥BC．
又AE⊥PB，PB∩BC＝B，
所以AE⊥平面PBC，PC?平面PBC，
所以AE⊥PC．
又因为PC⊥AF，AE∩AF＝A，
所以PC⊥平面AEF。
（2）由（1）知PC⊥平面AEF，
所以PC⊥AG，同理
CD⊥平面PAD，AG?平面PAD，
所以CD⊥AG，PC∩CD＝C，
所以AG⊥平面PCD，PD?平面PCD，所以AG⊥PD．
【教师小结】证线面垂直的方法：
（一）线线垂直证明线面垂直
（1）定义法（不常用）；
（2）判定定理最常用（有时作辅助线）。
（二）平行转化法（利用推论）
（1）a∥b，a⊥α?b⊥α；
（2）α∥β，a⊥α?a⊥β。
3．线面垂直性质定理的应用
[探究问题]
将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触）。观察折痕AD与桌面的位置关系。
（1）折痕AD与桌面一定垂直吗？
[提示]
不一定。
（2）当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？
[提示]
当AD⊥BD且AD⊥CD时，折痕AD与桌面垂直。
【例3】
如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC，求证：MN∥AD1．
[思路探究]
两直线垂直于同一平面?两直线平行。
[证明]
因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D．又因为CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1．
因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC．又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1．
【母题探究】
本例中条件不变，求证：M是AB中点。
[证明]
连接ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC．
所以ONCDAB，
所以ON∥AM。
又因为由本例可知MN∥OA，
所以四边形AMNO为平行四边形，
所以ON＝AM。因为ON＝AB，
所以AM＝AB，
所以M是AB的中点。
【教师小结】平行关系与垂直关系之间的相互转化：
三、课堂总结
1．本节课的重点是理解并掌握直线与平面垂直的定义，明确定义中“任意”两字的重要性；掌握直线与平面垂直的判定定理与性质定理，并能解决有关线面垂直的问题。难点直线与平面垂直关系的判定与证明。
2．本节课要重点掌握的规律方法
（1）线面垂直的定义及应用。
（2）线面垂直的判定定理及应用。
（3）线面垂直的性质定理及应用。
3．本节课的易错点是用线面垂直的判定定理时易漏掉两条直线相交这一条件。
四、课堂检测
1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）垂直于同一条直线的两个平面互相平行。
（
）
（2）垂直于同一平面的两条直线互相平行。
（
）
（3）一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直。
（
）
[答案]
（1）√
（2）√
（3）√
[提示]
由线面垂直的定义和性质可知（1）、（2）、（3）均正确。
2．在圆柱的一个底面上任取一点（该点不在底面圆周上），过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是（
）
A．相交
B．平行
C．异面
D．相交或平行
B
[圆柱的母线垂直于圆柱的底面，由线面垂直的性质知B正确。]
3．如图，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是（
）
A．平行
B．垂直相交
C．垂直但不相交
D．相交但不垂直
C
[因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC．又MC⊥平面
ABCD，则BD⊥MC．因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC，又MA?平面AMC，所以MA⊥BD．
显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交。]
4．如图所示，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F分别是AD，PC的中点。证明：PC⊥平面BEF。
[证明]
如图，连接PE，EC，在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD，AE＝DE，∴PE＝CE，
即△PEC是等腰三角形。
又F是PC的中点，
∴EF⊥PC．
又BP＝＝2＝BC，
F是PC的中点，∴BF⊥PC．又BF∩EF＝F，
∴PC⊥平面BEF。
6
/
6空间几何体与斜二测画法
【教学目标】
1．了解空间几何体的概念．(重点)
2．了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤．(重点)
3．会用斜二测画法画出一些简单平面图形和常见几何体的直观图．(重点)
4．逆用斜二测画法，找出直观图的原图．(难点)
【教学过程】
一、基础铺垫
空间几何体：生活中的物体都占据着空间的一部分.如果只考虑一个物体占有的空间形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分通常可抽象为一个几何体。
二、新知探究
1．画平面图形的直观图
【例1】按图的建系方法，画水平放置的正五边形ABCDE的直观图．
[思路探究]
按照斜二测画法画水平放置的平面图形的步骤画直观图．
[解]
画法：
（1）在图①中作AG⊥x轴于点G，作DH⊥x轴于点H.
（2）在图②中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.
（3）在图②中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′轴上取O′E′＝OE，分别过G′和H′作y′轴的平行线，并在相应的平行线上取G′A′＝GA，H′D′＝HD．
（4）连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图③)．
【教师小结】
（1）在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．
（2）画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．
2．画空间几何体的直观图
【例2】画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．
[思路探究]
→→→
[解]
画法：（1）画轴：
①
②
画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图①.
（2）画底面：
以O为中心，在xOy平面内，画出正方形水平放置的直观图ABCD．
（3）画顶点：在Oz轴上截取OP，使OP的长度是原四棱锥的高．
（4）成图：顺次连接PA．PB．PC．PD，并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如图②.
【教师小结】
（1）画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可．
（2）直观图画法口诀可以总结为：“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系不变．”
3．直观图的还原和计算问题
[探究问题]
（1）如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC斜二测画法的直观图，能否判断△ABC的形状？
[提示]
根据斜二测画法规则知：∠ACB＝90°，故△ABC为直角三角形．
（2）若探究1中△A′B′C′的A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是多少？
[提示]
由已知得△ABC中，AC＝6，BC＝8，故AB＝＝10．
（3）若已知一个三角形的面积为S，它的直观图面积是多少？
[提示]
原三角形面积为S＝a·h(a为三角形的底，h为三角形的高)，画直观图后，a′＝a，h′＝h·sin
45°＝h，S′＝a′·h′＝a·h＝×a·h＝S.
【例3】如图所示，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形．
[思路探究]
由直观图还原平面图形的关键
（1）平行于x′轴的线段长度不变，平行于y′轴的线段扩大为原来的2倍．
（2）对于相邻两边不与x′、y′轴平行的顶点可通过作x′轴，y′轴平行线变换确定其在xOy中的位置．
[解]
①画出直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；②过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于点D′，在OA上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，且使DB＝2D′B′；
③连接AB，BC，得△ABC．
则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形，如图所示．
如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6
cm，C′D′＝2
cm，则原图形的形状是________．
菱形
[如图所示，在原图形OABC中，应有OABC，OD＝2O′D′＝2×2＝4(cm)，CD＝C′D′＝2(cm)，
∴OC＝＝＝6(cm)，
∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形．]
【教师小结】
（1）由原图形求直观图的面积，关键是掌握斜二测画法，明确原来实际图形中的高，在直观图中变为与水平直线成45°角且长度为原来一半的线段，这样可得出所求图形相应的高．
（2）若一个平面多边形的面积为S，它的直观图面积为S′，则S′＝S.
三、课堂总结
1．直观图的概念
（1）定义：把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图．
（2）说明：在立体几何中，空间几何体的直观图是在平行投影下画出的空间图形．
2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
（1）画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．
（2）画线：已知图形中平行于或在x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于或在x′轴、y′轴的线段．
（3）取长度：已知图形中在x轴上或平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，在y轴上或平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
3．立体图形直观图的画法
画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′
垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度不变．其他同平面图形的画法．
四、课堂检测
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行．
(
)
（2）平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴．
(
)
（3）平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变．
(
)
（4）斜二测坐标系取的角可能是135°.
(
)
[答案]
（1）√
（2）√
（3）×
（4）√
[提示]
平行于y轴的线段在直观图中变为原来的一半，故（3）错误；由斜二测画法的基本要求可知（1）（2）（4）正确．
2．关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是(
)
A．直角三角形的直观图仍是直角三角形
B．梯形的直观图是平行四边形
C．正方形的直观图是菱形
D．平行四边形的直观图仍是平行四边形
D
[由斜二测画法规则可知，平行于y轴的线段长度减半，直角坐标系变成斜坐标系，而平行性没有改变，故只有选项D正确．]
3．如图所示为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的它的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．
[画出直观图，BC对应B′C′，且B′C′＝1，∠B′C′x′＝45°，故顶点B′到x′轴的距离为.]
4．画边长为1
cm的正三角形的水平放置的直观图．
[解]
（1）如图所示，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的高线AO所在直线为y轴，再画对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.
（2）在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝0.5
cm，
在y′轴上截取O′A′＝AO＝
cm，连接A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为正三角形ABC的直观图．
5/5平面的基本事实与推论
【教学目标】
1．通过平面概念及画法的学习，培养直观想象的数学核心素养。
2．借助平面基本事实及推论，培养逻辑推理的数学核心素养。
【教学重难点】
1．了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法。
2．掌握平面的基本事实及推论，能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系。
3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，并能解决空间线面的位置关系问题。
【教学过程】
一、直接导入
前面我们通过几何体的学习，已经直观地认识了点、线、面之间的位置关系，从本节开始，我们将在直观认识的基础上来论证它们之间的关系，以期进一步培养大家的空间想象能力与逻辑推理能力。
二、新知探究
1．文字语言、图形语言、符号语言的相互转化
【例】
根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：
（1）A∈α，B?α；
（2）l?α，m?α，m∩α＝A，A?l；
（3）P∈l，P?α，Q∈l，Q∈α。
[解]
（1）点A在平面α内，点B不在平面α内。
（2）直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上。
（3）直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q。
图形分别如图（1），（2），（3）所示。
图（1）
图（2）
图（3）
【教师小结】
（1）用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示。
（2）要注意符号语言的意义。如点与直线的位置关系只能用“∈”或“?”表示，直线与平面的位置关系只能用“?”或“?”表示。
（2）由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别。
2．平面的基本事实及推论
公理
内容
图形
符号
基本
事实1
经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
A，B，C三点不共线?存在唯一的平面α使A，B，C∈α
基本事实2
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内
A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α
基本事实3
如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
P∈α，P∈β?α∩β＝l，且P∈l
推论1
经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面(图①)。
推论2
经过两条相交直线，有且只有一个平面(图②)。
推论3
经过两条平行直线，有且只有一个平面(图③)。
3．点、线共面问题
【例】
已知四条直线两两相交，且不共点，求证：这四条直线在同一平面内。
[思路探究]
四条直线两两相交且不共点，可能有两种情况：一是有三条直线共点；二是任意三条直线都不共点，故要分两种情况。
[解]
已知：a，b，c，d四条直线两两相交，且不共点，求证：a，b，c，d四线共面。
证明：（1）若a，b，c三线共点于O，如图所示，∵O?d，
∴经过d与点O有且只有一个平面α。
∵A、B、C分别是d与A、B、C的交点，
∴A、B、C三点在平面α内。
由公理1知A、B、C都在平面α内，
故A、B、C、D共面。
（2）若A、B、C、D无三线共点，如图所示，
∵a∩b＝A，
∴经过A、B有且仅有一个平面α，
∴B、C∈α。由公理1知c?α。
同理，d?α，从而有A、B、C、D共面。
综上所述，四条直线两两相交，且不共点，这四条直线在同一平面内。
【教师小结】
证明点线共面常用的方法
（1）纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线也在这个平面内。
（2）重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合。
三、课堂检测
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）三点可以确定一个平面。
(
)
（2）一条直线和一个点可以确定一个平面。
(
)
（3）四边形是平面图形。
(
)
（4）两条相交直线可以确定一个平面。
(
)
[答案]
（1）×
（2）×
（3）×
（4）√
[提示]
（1）错误。不共线的三点可以确定一个平面。
（2）错误。一条直线和直线外一个点可以确定一个平面。
（3）错误。四边形不一定是平面图形。
（4）正确。两条相交直线可以确定一个平面。
2．设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________。
C
[∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C．]
3．如图，三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行。
求证：a，b，c三条直线必过同一点。
[证明]
∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a?γ，b?γ。
由于直线a和b不平行，
∴A、B必相交。
设a∩b＝P，如图，则P∈a，P∈B．
∵a?β，b?α，∴P∈β，P∈α。
又α∩β＝c，∴P∈c，即交线c经过点P。
∴a，b，c三条直线相交于同一点。
4
/
4平面与平面垂直
【教学目标】
1．通过平面与平面垂直的定义学习，培养直观想象的核心素养。
2．借助线面垂直的判定定理与性质定理，培养逻辑推理、数学抽象的核心素养。
【教学重难点】
1．了解面面垂直的定义。
2．掌握面面垂直的判定定理和性质定理。
3．灵活运用线面、面面垂直的判定定理和性质定理解决空间中的位置关系问题。
【教学过程】
一、基础铺垫
二面角：
之前我们学习过直线与直线所成的夹角，那么平面与平面之间有夹角吗？如何来刻画这个夹角的大小呢？
一般地，平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个半平面。从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面。
如图所示，在二面角α-1-β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角。二面角的大小用它的平面角的大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小。
特别地，平面角是直角的二面角称为直二面角。
二、新知探究
1．平面与平面垂直的判定
【例1】
如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上异于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC．
[证明]
连接AC，BC，
则BC⊥AC，又PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，而PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC，
又BC?平面PBC，
∴平面PAC⊥平面PBC．
【教师小结】证明面面垂直的方法：
（1）判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”；
（2）性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面。
2．面面垂直性质定理的应用
【例2】
如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形且∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．
（1）若G为AD的中点，求证：BG⊥平面PAD；
（2）求证：AD⊥PB．
[思路探究]
（1）―→―→
（2）要证AD⊥PB，只需证AD⊥平面PBG即可。
[证明]
（1）如图，在菱形ABCD中，连接BD，由已知∠DAB＝60°，
∴△ABD为正三角形，∵G是AD的中点，∴BG⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，
且平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD．
（2）如图，连接PG。
∵△PAD是正三角形，G是AD的中点，
∴PG⊥AD，由（1）知BG⊥AD．又∵PG∩BG＝G。
∴AD⊥平面PBG。
而PB?平面PBG，∴AD⊥PB．
【教师小结】
（1）面面垂直的性质定理，为线面垂直的判定提供了依据和方法。所以当已知两个平面垂直的时候，经常找交线的垂线，这样就可利用面面垂直证明线面垂直。
（2）两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作（找）与交线垂直的直线。
3．垂直关系的综合应用
[探究问题]
（1）如图所示，在四棱锥P?ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝a，你能证明PD⊥平面ABCD吗？
[提示]
∵PD＝a，DC＝a，PC＝a，∴PC2＝PD2＋DC2，∴PD⊥DC．
同理可证PD⊥AD，
∵AD?平面ABCD，DC?平面ABCD，且AD∩DC＝D，
∴PD⊥平面ABCD．
（2）如图所示，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD＝DB，点C为圆O上一点，且BC＝AC，P为母线SA上的点，其在底面圆O上的正投影为点D，求证：PA⊥CD．
[提示]
连接CO（图略），由3AD＝DB知，D为AO的中点，又AB为圆O的直径，∴AC⊥CB，
由AC＝BC知，∠CAB＝60°，
∴△ACO为等边三角形，从而CD⊥AO。
∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D，
∴PD⊥平面ABC，又CD?平面ABC，∴PD⊥CD，
由PD∩AO＝D得，CD⊥平面PAB，
又PA?平面PAB，∴PA⊥CD．
3．试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系。
[提示]
垂直问题转化关系如下所示：
【例3】
如图，在四棱锥P?ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中点，过A，D，N三点的平面交PC于M，E为AD的中点。求证：
（1）EN∥平面PDC；
（2）BC⊥平面PEB；
（3）平面PBC⊥平面ADMN。
[思路探究]
（1）证明EN∥DM；
（2）由AD∥BC可证AD⊥平面PEB；
（3）利用（2）可证PB⊥平面ADMN。
[证明]
（1）∵AD∥BC，BC?平面PBC，AD?平面PBC，
∴AD∥平面PBC．
又∵平面ADMN∩平面PBC＝MN，
∴AD∥MN。
又∵BC∥AD，∴MN∥BC．
又∵N是PB的中点，∴点M为PC的中点。
∴MN∥BC且MN＝BC，
又∵E为AD的中点，∴MN∥DE，且MN＝DE。
∴四边形DENM为平行四边形。
∴EN∥DM，且EN?平面PDC，DM?平面PDC．
∴EN∥平面PDC．
（2）∵四边形ABCD是边长为2的菱形，
且∠BAD＝60°，∴BE⊥AD．
又∵侧面PAD是正三角形，且E为AD中点，
∴PE⊥AD，BE∩PE＝E，∴AD⊥平面PBE。
又∵AD∥BC，∴BC⊥平面PEB．
（3）由（2）知AD⊥平面PBE，
又PB?平面PBE，
∴AD⊥PB．
又∵PA＝AB，N为PB的中点，
∴AN⊥PB．
且AN∩AD＝A，∴PB⊥平面ADMN。
又∵PB?平面PBC．
∴平面PBC⊥平面ADMN。
【教师小结】垂直关系的相互转化：
在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化。每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：
三、课堂小结
1．本节课的重点是掌握两个平面互相垂直的定义和画法，理解并掌握两个平面垂直的判定定理与性质定理，并能解决有关面面垂直的问题。难点是综合利用线面、面面垂直的判定定理与性质定理解决关于垂直的问题。
2．本节课要重点掌握的规律方法
（1）利用线面垂直的性质证明平行问题。
（2）应用面面垂直的判定与性质证明垂直问题。
（3）掌握垂直关系的转化。
3．本节课的易错点是垂直关系转化中易出现转化混乱错误。
四、课堂检测
1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的一条直线不一定垂直于另一个平面。
（
）
（2）如果两个平面互相垂直，那么过交线上的一点垂直于交线的直线，垂直于另一个平面。
（
）
（3）如果两个平面互相垂直，那么分别在两个平面内的两条直线分别垂直。
（
）
[答案]
（1）√
（2）×
（3）×
[提示]
（1）正确。
（2）错误。必须要在其中一个平面内作直线才能成立。
（3）错误。可能平行，也可能相交或异面。
2．下列命题中错误的是（
）
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
D
[如果平面α⊥平面β，那么平面α内垂直于交线的直线都垂直于平面β，其他与交线不垂直的直线均不与平面β垂直，故D项叙述是错误的。]
3．下列四个命题中，正确的序号有________。
①α∥β，β⊥γ，则α⊥γ；
②α∥β，β∥γ，则α∥γ；
③α⊥β，γ⊥β，则α⊥γ；
④α⊥β，γ⊥β，则α∥γ。
①②
[③④不正确，如图所示，
α⊥β，γ⊥β，但α，γ相交且不垂直。]
4．（2019·全国卷Ⅲ）图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°。将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2．
图1
图2
（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
（2）求图2中的四边形ACGD的面积。
[解]
（1）由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面。
由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，故AB⊥平面BCGE。
又因为AB?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE。
（2）取CG的中点M，连接EM，DM。
因为AB∥DE，AB⊥平面BCGE，
所以DE⊥平面BCGE，故DE⊥CG。
由已知，四边形BCGE是菱形，且∠EBC＝60°得EM⊥CG，故CG⊥平面DEM。
因此DM⊥CG。
在Rt△DEM中，DE＝1，EM＝，故DM＝2．
所以四边形ACGD的面积为4．
8
/
8旋转体
【教学目标】
1．了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义。
2．掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征。
3．能够根据圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征识别和区分几何体。
【教学重难点】
1．掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征。
2．会作旋转体的轴截面，并利用轴截面解决问题。
【教学过程】
一、问题导入
从生活中的一些物体可以抽象出圆柱、圆锥、圆台，。观察它们的结构，总结出形成圆柱、圆锥、圆台的方式。
二、新知探究
1．旋转体的结构特征
【例1】判断下列各命题是否正确
（1）圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；
（2）一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；
（3）圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；
（4）到定点的距离等于定长的点的集合是球。
[解]（1）错。由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴。
（2）错。直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示。
（3）正确。
（4）错。应为球面。
【教师小结】
（1）圆柱、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其特定边(弦)旋转而成的几何体，必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求。
（2）只有理解了各旋转体的生成过程，才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念，进而判断与这些概念有关的命题的正误。
2．旋转体中的计算
[探究问题]
（1）圆柱、圆锥、圆台平行于底面的截面是什么样的图形？
[提示]
圆面。
（2）圆柱、圆锥、圆台过轴的截面是什么样的图形？
[提示]
分别为矩形、等腰三角形、等腰梯形。
（3）经过圆台的任意两条母线作截面，截面是什么图形？
[提示]
因为圆台可以看成是圆锥被平行于底面的平面所截得到的几何体，所以任意两条母线长度均相等，且延长后相交，故经过这两条母线的截面是以这两条母线为腰的等腰梯形。
（4）球的截面是什么？
[提示]
球的截面均是圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆。
（5）球的表面积公式是什么？
[提示]
【例2】一个圆台的母线长为12
cm，两底面面积分别为4π
cm2和25π
cm2，求圆台的高。
[思路探究]
作出圆台的轴截面，是一个等腰梯形。
[解]圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)。
由已知可得O1A＝2
cm，OB＝5
cm。
又由题意知，腰长为12
cm，
所以高AM＝
＝3(cm)。
【教师小结】与圆锥有关的截面问题的解决策略：
求解有关圆锥的基本量的问题时，一般先画出圆锥的轴截面，得到一等腰三角形，进而可得到直角三角形，将问题转化为有关直角三角形的问题进行求解。通常在求圆锥的高、母线长、底面圆的半径长等问题时，都是通过取其轴截面，化归求解。巧妙之处就是将空间问题转化为平面问题来解决。
三、课堂总结
1．本节课的重点是了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义及结构特征，难点是能根据结构特征识别和区分这些几何体。
2．本节课要重点掌握的规律方法：判断旋转体结构特征的方法及旋转体轴截面的应用。
3．本节课的易错点是对概念理解不到位而致错。
四、课堂检测
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）矩形绕其一边所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是圆柱。
(
)
（2）以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台。
(
)
（3）用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台。
(
)
[答案]
（1）√
（2）×
（3）×
[提示]
（1）正确；（2）错误，应以直角梯形的垂直于底边的腰为轴；（3）错误，应是平面与圆锥底面平行。
2．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是(
)
A．圆柱
B．圆锥
C．圆台
D．两个圆锥
D
[连接正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕对角线旋转一周形成两个圆锥。]
3．如图所示的几何体是由简单几何体________构成的。
[答案]
四棱台和球
4．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是Q，求此圆柱的底面半径。
[解]
设圆柱底面半径为r，母线为l，则由题意得
解得r＝。
所以此圆柱的底面半径为。
4
/
4直线与平面平行
【教学目标】
借助直线与平面平行的判定与性质的学习，提升数学抽象、逻辑推理的数学核心素养。
【教学重难点】
1．掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用这两个定理解决空间中的平行关系问题。
2．利用直线与平面平行的判定定理和性质定理证明空间平行问题。
【教学过程】
一、直接导入
前面我们已经通过几何体，直观地认识了直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交，其中直线与平面平行是比较特殊的一种位置关系。因为直线与平面都可以无限延伸，所以要判定一条直线与一个平面有没有公共点，并不是一件容易的事情，因此我们有必要寻求其他判定直线与平面平行的方法。
二、合作探究
1．直线与平面的位置关系
【例】
下列说法：
①若直线a在平面α外，则a∥α；②若直线a∥b，直线b?α，则a∥α；③若直线a∥b，b?α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线。
其中说法正确的个数为(
)
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
B
[对于①，直线a在平面α外包括两种情况：a∥α或a与α相交，∴a和α不一定平行，∴①说法错误。
对于②，∵直线a∥b，b?α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a不一定平行于α，∴②说法错误。
对于③，∵a∥b，b?α，∴a?α或a∥α，∴a与平面α内的无数条直线平行，∴③说法正确。]
【教师小结】空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行。
在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏。另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断。
2．直线与平面平行的判定与性质
[探究问题]
（1）如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块木板绕AB转动，在转动过程中，AB的对边CD(不落在α内)是否都和平面α平行？
[提示]
平行。
（2）若直线l∥平面α，则l平行于平面α内的所有直线吗？
[提示]
不是。
（3）若a∥α，过a与α相交的平面有多少个？这些平面与α的交线与直线a有什么关系？
[提示]
若a∥α，则过a且与α相交的平面有无数个。这些平面与α的交线与直线a之间相互平行。
【例】
如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形。
[思路探究]
应用线面平行的性质定理。
[解]
因为AB∥平面MNPQ，
平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB?平面ABC，
所以由线面平行的性质定理，
知AB∥MN。
同理AB∥PQ，
所以MN∥PQ。同理可得MQ∥NP。
所以截面MNPQ是平行四边形。
【母题探究】
1．若本例条件不变，求证：＝。
[解]
由例题解知：PQ∥AB，
∴＝。
又QM∥DC，∴＝，
∴＝。
2．若本例中添加条件：AB⊥CD，AB＝10，CD＝8，且BP∶PD＝1∶1，求四边形MNPQ的面积。
[解]
由例题解知，四边形MNPQ是平行四边形，
∵AB⊥CD，∴PQ⊥QM，
∴四边形MNPQ是矩形。
又BP∶PD＝1∶1，∴PQ＝5，QM＝4，
∴四边形MNPQ的面积为5×4＝20.
【教师小结】判定定理与性质定理常常交替使用，即先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可以继续推下去，我们可称它为平行链，如下：
线线平行线面平行线线平行。
三、课堂总结
1．直线与平面的平行
位置
关系
直线a在
平面α内
直线a与平
面α相交
直线a与平
面α平行
公共点
有无数个
公共点
有且只有一
个公共点
没有公共点
符号表示
a?α
a∩α＝A
a∥α
图形表示
2．直线与平面平行的判定及性质
定理
条件
结论
图形语言
符号语言
判
定
不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行
这条直线和这个平面平行
________l
?l∥α
性质
一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交
这条直线和这两个平面的交线平行
?l∥m
四、课堂检测
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）若直线与平面不相交，则直线与平面平行。
(
)
（2）过一点有且只有一条直线与已知直线平行。
(
)
（3）直线l上有无数多个点在平面α外，则l∥α。
(
)
（4）过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行。
(
)
[答案]
（1）×
（2）×
（3）×
（4）×
[提示]
（1）错误。若直线与平面不相交，则直线在平面内或直线与平面平行。
（2）错误。当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行，故(2)错。
（3）错误。直线l也可能与平面α相交。
（4）错误。在棱柱的上底面内，过一点任意作一条直线都与棱柱的下底面平行，所以过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条，故(4)错。
2．如图所示，在三棱锥S?MNP中，E、F、G、H分别是棱SN、SP、MN、MP的中点，则EF与HG的位置关系是(
)
A．平行
B．相交
C．异面
D．平行或异面
A
[∵E、F分别是SN和SP的中点，
∴EF∥PN。同理可证HG∥PN，
∴EF∥HG。]
3．已知角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同，另一组边的方向相反，若α＝45°，则β＝________。
135°
[由等角定理可知β＝135°。]
4．证明：若两个相交平面分别过两条平行直线，则它们的交线和这两条平行直线平行。
[解]
已知：a∥b，a?α，b?β，α∩β＝l。求证：a∥b∥l。
证明：如图所示，∵a∥b，b?β，∴a∥β，
又a?α，α∩β＝l，∴a∥l，又a∥b，
∴a∥b∥l。
4
/
5平面与平面平行
【教学目标】
1．通过学习空间两平面的位置关系，培养直观想象的数学核心素养。
2．借助两平面平行的判定与性质的学习，提升逻辑推理、数学抽象的核心素养。
【教学重难点】
1．掌握空间两个平面的位置关系，并会判断。
2．掌握空间平面与平面平行的判定定理和性质定理，并能应用这两个定理解决问题。
3．平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用。
【教学过程】
一、问题导入
我们知道，如果平面α与平面β没有公共点，则α∥β。同直线与平面平行类似，用定义来判定平面与平面平行并不容易，那么平面与平面平行有什么更好的判定方法呢？
二、新知探究
1．平面与平面间的位置关系
【例1】
已知下列说法：
①若两个平面α∥β，a?α，b?β，则a∥b；
②若两个平面α∥β，a?α，b?β，则a与b是异面直线；
③若两个平面α∥β，a?α，b?β，则a与b一定不相交；
④若两个平面α∥β，a?α，b?β，则a与b平行或异面；
⑤若两个平面α∩β＝b，a?α，则a与β一定相交。
其中正确的是________（将你认为正确的序号都填上)。
③④
[①错。a与b也可能异面；
②错。a与b也可能平行；
③对。∵α∥β，∴α与β无公共点。又∵a?α，b?β，
∴a与b无公共点；
④对。由已知及③知：a与b无公共点，
那么a∥b或a与b异面；
⑤错。a与β也可能平行。]
【教师小结】两个平面的位置关系有两种：平行和相交，没有公共点则平行，有公共点则相交。
2．平面与平面平行的判定
【例2】
如图所示，在三棱柱ABC?A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：
（1)B，C，H，G四点共面；
（2)平面EFA1∥平面BCHG。
[解]
（1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，
所以GH是△A1B1C1的中位线，所以GH∥B1C1．
又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，
所以B，C，H，G四点共面。
（2)因为E，F分别是AB，AC的中点，所以EF∥BC．
因为EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，
所以EF∥平面BCHG。
因为A1G∥EB，A1G＝EB，
所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB．
因为A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，
所以A1E∥平面BCHG。
因为A1E∩EF＝E，
所以平面EFA1∥平面BCHG。
【教师小结】判定面面平行的常用方法：
（1)定义法：两个平面没有公共点；
（2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面；
（3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β；
（4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ。
3．面面平行的性质定理的应用
[探究问题]
（1）如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点。你能证明直线EG∥平面BDD1B1吗？
[提示]
如图，连接SB，
∵E，G分别是BC，SC的中点，
∴EG∥SB．
又∵SB?平面BDD1B1，EG?平面BDD1B1．
∴直线EG∥平面BDD1B1．
（2）上述问题中，条件不变，请证明平面EFG∥平面BDD1B1．
[提示]
连接SD．∵F，G分别是DC，SC的中点，
∴FG∥SD．
又∵SD?平面BDD1B1，FG?平面BDD1B1，
∴FG∥平面BDD1B1．
又EG∥平面BDD1B1，
且EG?平面EFG，FG?平面EFG，EG∩FG＝G，
∴平面EFG∥平面BDD1B1．
【例3】
如图，已知平面α∥β，P?α，且P?β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD＝________。
[思路探究]
面面平行?线线平行?分线段比例相等。
[因为AC∩BD＝P，所以经过直线AC与BD可确定平面PCD，
因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，所以AB∥CD．所以＝，即＝。所以BD＝。]
【母题探究】
（1）将本例改为：若点P位于平面α，β之间（如图)，其他条件不变，试求BD的长。
[解]
与本例同理，可证AB∥CD．
所以＝，即＝，所以BD＝24．
（2）将本例改为：已知平面α∥β∥γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C与D，E，F。
已知AB＝6，＝，求AC．
[解]
由题图可知＝?AC＝·AB＝×6＝15．
【教师小结】应用平面与平面平行性质定理的基本步骤
三、课堂总结
1．本节课的重点是空间两平面位置关系的判断和平面与平面平行的性质定理与判定定理，难点是平面平行的判定定理与性质定理的应用。
2．本节课要重点掌握的规律方法
（1)能够判断空间两个平面的位置关系。
（2)平面与平面平行的判定定理。
（3)平面与平面平行的性质定理。
3．本节课的易错点是应用平面与平面平行的判定定理与性质定理进行证明时条件应用不全面致误。
四、课堂检测
1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）没有公共点的两平面平行。
（
）
（2）若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行。
（
）
（3）若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行。
（
）
[答案]
（1）√
（2）×
（3）×
[提示]
（1）由平面与平面平行的定义知正确。
（2）若两个平面都平行于同一条直线，两平面可能平行，也可能相交，故错误。
（3）两平面可能相交。
2．已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，下列推理正确的是（
）
A．若α与β相交，a?α，b?β，则a与b一定相交
B．若a?α，b?β，a∥b，则α∥β
C．a∥β，b∥β，a?α，b?α?α∥β
D．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b
D
[A错误，a与b，可能平行也可能是异面直线；由平面与平面平行的判定定理知B、C错误；由平面与平面平行的性质定理知，D正确。]
3．梯形ABCD中，AB∥CD，AB?平面α，CD?平面α，则直线CD与平面α的位置关系是________。
CD∥α
[因为AB∥CD，AB?平面α，CD?平面α，由线面平行的判定定理可得CD∥α。]
4．如图所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD．E，F，G分别为线段PC，PD，BC的中点，现将△PDC折起，使点P?平面ABCD．
求证：平面PAB∥平面EFG。
[证明]
∵PE＝EC，PF＝FD，∴EF∥CD，
又∵CD∥AB，
∴EF∥AB，又EF?平面PAB，AB?平面PAB，
∴EF∥平面PAB，同理可证EG∥平面PAB．
又∵EF∩EG＝E，
∴平面PAB∥平面EFG。
5
/
6构成空间几何体的基本元素
教学目标
核心素养
1．以长方体的构成为例，认识构成几何体的基本元素，体会空间中的点、线、面与几何体之间的关系．（重点）
2．初步了解空间中点与直线、直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系．（重点）
3．理解平面的无限延展性，学会判断平面的方法．（难点）
1．通过认识构成几何体的基本元素的学习，体现了数学抽象的核心素养．
2．借助空间中点与直线、直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系，培养直观想象的核心素养.
【教学过程】
一、问题导入
我们已经知道，长方体、圆柱、圆锥、球等都是几何体（几何体也简称为“体”），包围着几何体的是“面”，面与面相交给人“线”的形象，线与线相交给人“点”的形象。这就是说，可以将点、线、面看作构成空间几何体的基本元素.
那么空间中的点、线、面与几何体之间的关系是如何的呢？
二、新知探究
1.平面概念的理解
【例1】下列判断正确的是________．
①平面是无限延展的；
②一个平面长，宽；
③两个平面重叠在一起，比一个平面厚；
④通过改变直线的位置，可以把直线放在某个平面内．
①④[①正确．平面是无限延展的．
②不正确．平面没有大小．
③不正确．平面没有厚薄．
④正确．平面可以看成是直线平行移动形成的，所以直线通过改变其位置，可以放在某个平面内．]
【教师小结】
（1）准确理解平面与平面图形的区别与联系是解题的关键．
（2）平面是无限延展的、无厚薄、无大小的图形，但平面图形，如三角形、平行四边形、圆等是有大小的．
（3）可以用三角形、平行四边形、圆等平面图形表示平面，但不能说它们是平面．
2.从运动观点认识几何体
【例2】如图所示，请画出①②③中线段AB绕着直线l旋转一周形成的空间图形．
①
②
③
[思路探究]线的运动可以形成平面或曲面，观察AB和l的位置关系及旋转的方式和方向，可以尝试画出形成的图形．
[解]
①
②
③
【教师小结】
（1）点、线、面运动形成怎样的图形与其运动的形式和方向有关，如果直线与旋转轴平行，那么形成圆柱面，如果与旋转轴斜交，那么形成圆锥面．
（2）在判断点、线、面按一定规律运动形成的几何体的形状时，可以借助身边的实物来模拟．
3.长方体中基本元素之间的关系
[探究问题]
1．射线运动后的轨迹是什么？
[提示]水平放置的射线绕顶点在水平面内旋转一周，可形成平面．其它情况，可形成曲面．
2．如图所示，该几何体是某同学课桌的大致轮廓，请你从这个几何体里面寻找一些点、线、面，并将它们列举出来．
[提示]面可以列举如下：
平面，平面，平面，平面，平面，平面；
线可以列举如下：
直线，直线，直线，直线，直线，直线等；
点可以列举如下：
点A，点，点B，点，点C，点，点D，点，点，点，点，点；
它们共同组成了课桌这个几何体．
【例3】在长方体中，把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中，
（1）与直线平行的平面有哪几个？
（2）与平面平行的平面有哪几个？
[思路探究]观察图形，结合定义，利用运动的观点来分析图形中的线面位置关系．
[解]（1）与直线平行的平面有平面ABCD，平面.
（2）与平面平行的平面为平面.
1．（1）与直线垂直的平面有哪几个？
（2）与平面垂直的平面有哪几个？
[解]（1）有平面，平面.
（2）有平面，平面，平面，平面AC.
2．本例中与棱相交的棱有哪几条？它们与棱所成的角是多少？
[解]有，，，.
由于长方体六个面都是矩形，所以它们与棱所成角都是.
3．本例中长方体的12条棱中，哪些可以用来表示面与面之间的距离？
[解]，，BC，AD的长均可以表示．
【教师小结】
（一）平行关系的判定
（1）直线与直线的平行关系：如图，在长方体的12条棱中，分成“长”“宽”“高”三组，其中“高”，，，相互平行；“长”AB，DC，，相互平行；“宽”AD，BC，，相互平行．
（2）直线与平面的平行关系：在长方体的12条棱及表面中，若棱所在的直线与某一平面不相交，就平行．
（3）平面与平面的平行关系：长方体的对面相互平行．
（二）垂直关系的判定
（1）直线与平面的垂直关系：在长方体的棱所在直线与各面中，若直线与平面有且只有一个公共点，则二者垂直．
（2）平面与平面的垂直关系：在长方体的各表面中，若两平面有公共点，则二者垂直．
三、课堂总结
1．本节课的重点是认识构成空间几何体的基本元素及其之间的关系和直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系，难点是理解平面的无限延展性．
2．本节课要重点掌握的规律方法
（1）平面与平面图形的区别与联系；
（2）用运动的观点认识几何体；
（3）平行与垂直关系的直观判断．
3．本节课的易错点是对平面的概念理解.
四、课堂检测
1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）几何体不仅包括它的外表面，还包括外表面围起的内部部分．（
）
（2）直线的移动只能形成平面．（
）
（3）平静的太平洋就是一个平面．（
）
[答案]（1）√
（2）×
（3）×
[提示]（1）正确．
（2）直线移动可能形成曲面，故错误．
（3）平面是没有大小的，故错误．
2．下列结论正确的个数有（
）
①曲面上可以存在直线；②平面上可存在曲线；③曲线运动的轨迹可形成平面；④直线运动的轨迹可形成曲面；⑤曲面上不能画出直线．
A．3个
B．4个
C．5个
D．2个
B[只有⑤不正确．]
3．线段AB长为，在水平面上向右移动后记为CD，将CD沿铅垂线方向向下移动后记为，再将沿水平方向向左移动后记为，依次连接构成长方体.
（1）该长方体的高为________cm；
（2）平面与平面间的距离为________cm；
（3）点A到平面的距离为________cm.
（1）3
（2）4
（3）5[如图，
在长方体中，，，，
∴长方体的高为；平面与平面之间的距离为；点A到平面的距离为.]
4．如图，画出（1）、（2）中L围绕l旋转一周形成的空间几何体．
（1）
（2）
[解]（1）L绕直线l旋转一周，所得几何体是由两个底面重合的圆锥拼接而成的，如图（1）；（2）L绕直线l旋转一周，所得几何体是由圆台挖去一个与其上底面同底的圆锥，再拼接一个与其下底面同底的圆锥而成的，如图（2）．
（1）
（2）
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