(共15张PPT)
三角函数全章复习
1）任意角及其三角函数的定义
2）弧度制，扇形的弧长、周长、面积
3）三角公式：同角关系；诱导公式；两角和差公式；二倍角公式；半角公式；和积互化公式
4）正弦、余弦、正切函数的图象（五点法）
性质-----定义域、值域、奇偶性（对称 性）、单调性、周期性 。
（1）振幅、周期、初相
（2）确定函数解析式
（3）图象的变换规律（平移、伸缩）
（4）研究其性质：定义域、值域（最值）
单调区间、最小正周期、奇偶性
（对称轴方程、对称中心坐标）
6）求值：用公式，配角（注意角的范围）
（1）给角求值 （2）给值求角
三角函数主要公式：
1）同角关系（4式）
2）诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）
3）两角和差正弦、余弦、正切公式（8式）
4）二倍角公式（5式）
5）半角公式、万能公式、和积互化公式
（能记住为佳）
一：求值
二：求定义域
三。求值域、最值
四：求最小正周期
五：判断函数奇偶性
对称性
对称轴方程（）对称中心（）
六：求单调区间
综合题：(共5张PPT)
创设情境
如果α、β两角终边的位置确定，那么α±β的终边位置也确定，进而cos(α±β)的值也确定，同时α±β的其它三角函数如sin(α±β)也就确定，而正弦、余弦之间是可以互换的，所以可以用余弦公式cos(α±β)来推导sin(α±β)公式，怎么推导，你试一下？
数学理论
sin( ＋ )＝cos[ －( ＋ )]＝cos[( － )－ ]
＝cos( － )cos ＋sin( － )sin
＝sin cos ＋cos sin ．
sin( － )＝sin[ ＋(－ )]＝sin cos(－ )＋
cos sin(－ )＝sin cos －cos sin ．
sin( ± )＝sin cos ±cos sin ．S( ± )
例题讲解
例1．利用S( ± )公式，求sin15 ，sin105 的值．
例2．已知sin ＝ ，cos ＝－ ，且 ∈
( ， )， ∈( ， )，求sin( ＋ )的值．
例题讲解
例3．已知sin ＝ ，tan ＝－ ，且 ， 均
为第二象限角，求sin( － )的值．
例4．已知cos( ＋ )＝ ，cos ＝ ，
且 ， 均为锐角，求sin 的值．(共12张PPT)
正弦函数的图象的作法
教学设计
设计思想
学习要求
方式与手段
教学过程
引入
代数作法
几何作法
五点作图法
设计思想
三角函数的图象是高中数学研究的最后一类函数的图象，希望能通过这节课让学生掌握画函数图象的一般方法．画函数图象之前，先研究函数的解析式，得出函数的一些性质，再利用这些性质来指导我们画图，可使列表、描点、连线有所依据，图象作得更准确．所以在书上的几何作图法、五点作图法之外又讲了正弦函数的代数作图法． 本节内容涉及大量的图形的运动变换，在教学中使用计算机辅助教学将这些运动变换生动形象地展现出来，可帮助学生更好地理解知识、加深印象，也可提高课堂效率． 本课最后对正弦函数的性质作了些归纳．这主要是为了让学生体会到通过观察函数的图象可以帮助我们去发现、理解、记忆函数的性质．加深学生对数形结合思想的理解，对研究函数的一般方法的认识．
学习要求
知识与技能：会画出正弦函数的图象，了解利用单位圆中的正弦线作正弦函数图象的方法，会用“五点法”画出正弦函数的简图．
过程与方法：从诱导公式出发，研究正弦函数的性质，再利用性质作出正弦函数的图象；利用单位圆中的正弦线作出正弦函数的图象；用五点作图法作出正弦函数的图象． 掌握作函数图象的一般方法，会通过图象变换作出函数的图象．
情感、价值观：在教学中通过由数想形，由形思数，让学生感受数形结合在解决问题中的巨大作用，体会数学美
方式与手段
思维互动式及多媒体辅助教学
引入
在高中数学中函数是一个重要研究对象，研究函数的一般方法是：由具体问题抽象出函数解析式，再根据函数解析式讨论函数的图象和性质。
利用函数的解析式画出函数的图象，是高中数学的一个基本问题。下面我们来作正弦函数的图象。
代数作法
由诱导公式知，只需作出y=sinx在［0， ］上的图象就可以了，再用对称的方法就可得到y=sinx的图象。
几何作法
用正弦比的定义可以用几何的方法来作出正弦函数的图象
五点作图法
由分析得出，正弦函数图象中有五个点比较关键，找出这五个点的位置就可以快捷画出正弦函数的草图。
总结
正弦函数图象的几种作法：
一是代数方法，即从诱导公式出发，研究其性质，再利用性质通过图象变换画出函数的图象。
二是几何方法，即从三角函数的定义出发，得到三角函数线，借助三角函数线，画出在[0，2π]上的图像。
抓住其主要特征，可简化为“五点法”．(共22张PPT)
课题
三、例题分析
宏观思路
微观直觉
四、基础练习
一、知识网络
二、学法指导
五、小结及作业
一、知识网络
一、知识网络
一、知识网络
一、知识网络
一、知识网络
一、知识网络
上页
重点：让学生掌握三角函数的 图象；在理解各组三角 公式的基础上掌握并熟 练运用三角公式。
难点：两个变换，“图象变换” 和“三角变换”
下页
定义
同角三角函数的基本关系
图象性质
单位圆与三角函数线
诱导公式
Cα±β
Sα±β、T α±β
y=asinα+bcosα的最值
形如y=Asin(ωx+φ)+B图象
万能公式
和差化积公式
积化和差公式
Sα/2=
Cα/2=
Tα/2=
S2α=
C2α=
T2α=
正弦定理、
余弦定理、
面积公式
降幂公式
一、同角三角函数的八大关系
返回
二、两组诱导公式:
①2kπ±α,π±α的三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上把α看成锐角时原函数的符号.
②π/2±α,3π/2±α的三角函数值等于α的余角的三角函数值，前面加上把α看成锐角时原函数的符号.
返回
三、一般函数图象变换
基本变换
位移变换
伸缩变换
上下平移
左右平移
上下伸缩
左右伸缩
y=f(x)
图 象
y=f(x)+b图象
y=f(x+φ)
图 象
y=A f(x)图象
y=f(ωx)图象
向上(b>0)或向下(b<0)移︱b︱单位
向左(φ>0)或向右(φ<0)移︱φ︱单位
点的横坐标变为原来的1/ω倍
纵坐标不变
点的纵坐标变为原来的A倍
横坐标不变
返回
例3
返小结
四、记住下列三角公式:
天哪 !
⑥和差化积与积化和差公式不需记但要会用.
记住啊
!
返回
例5
三角解题常规
宏观思路
分析差异
寻找联系
促进转化
指角的、函数的、运算的差异
利用有关公式，建立差异间关系
活用公式，差异转化，矛盾统一
返回
返小结
1、以变角为主线，注意配凑和转化；
2、见切割，想化弦；个别情况弦化切；
3、见和差，想化积；见乘积，化和差；
4、见分式，想通分，使分母最简；
5、见平方想降幂，见“1±cosα”想升幂；
6、见sin2α，想拆成2sinαcosα；
7、见sinα±cosα或
想两边平方或和差化积
8、见a sinα+b cosα，想化为
9、见cosα·cosβ·cosθ····，先
若不行，则化和差
微观直觉
10、见cosα+cos(α+β)
+cos(α+2 β )····， 想乘
sinα+sinβ=p
cosα+cosβ=q
返回
返小结
C
点评:
本题先由α所在象限确定α/2所在象限,再α/2的余弦符号确定结论.
返回
思路:函数y=sin2x+acos2x可化为
要使它的图象关于直线x= -π/8对称,则图象在该处必是处于波峰或波谷.即函数在x=-π/8时取得最大、小值.
解题步骤:
3.指出变换过程:
复习
答案:tan(α－2β)=7/24.
基本思路:
最后结果:
复习
返回
基础练习
一、选择题:
1、若A=21°，B=24°，则(1+tanA)(1+tanB)
的值是( )
(A)1 (B)2 (C)1+ (D)2(tanA+tanB)
2、若270°<α<360°，则
等于（ ）
(A)-cos(α/2) (B) cos(α/2)
(C) sin(α/2) (D) -sin(α/2)
3、在△ABC中，a=3，b=4，外接圆直径
为5，则△ABC的面积为( )
(A)6 (B)42/25 (C)6或42/ 25 (D)5
B
A
C
返回
2、设
则ctg(π/4+α)=___________
1、 ________
二、填空题:
4
1、已知α、β为锐角，且cosα= ，
cos(α+β)= ，求β。
三、解答题:
β为锐角，故 = /3
返回
本课小结：由学生先根据自己所掌握的口述，然后再由教师总结:
作业： 略
1、三角函数的图象变换
2、三角变换的使用技巧(共11张PPT)
三角函数的图象和性质
正弦函数,余弦函数的图象和性质
正弦，余弦函数的图形
正弦，余弦函数的性质
函数y=Asin( wx+y)的图象
正切函数的图象和性质
一正弦函数,余弦函数的图象和性质
1 图象
（1）利用正弦线画正弦函数的图象：在直角坐标系x轴上任选一点o，以o为圆心做单位圆，从⊙o与x轴交点 a起把o 分成12等份，过⊙o上各分点做x轴垂线，得到对应于0，∏/6，∏/3，∏/2，…，2∏等角的正弦线。再把x轴上从0到2∏这段分为12等份，把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的点重合。再用光滑曲线把这些正弦线的终点连接起来。即得 y=sin x, x[0,2∏]
(2)因y=sin x,x∈[2k∏,2(k+1）∏]的图象与y=sinx,x∈[0,2∏]的图象相同，所以将y=sin x,x∈[0,2∏]，向右平移2∏个单位，即可得y=sin x, x∈R.所以正弦函数的图象为：
（3）余弦函数图象
利用余弦于正弦的关系，可得到余弦曲线：
Y=cos x=cos(-x)=sin[∏/2-(-x)]=sin(∏/2+x)
2 性质
观察正弦，余弦函数的图象,并进行对比
Y=sin x
Y=cos x
备注
定义域 R R
值域 [-1,1]
当且仅当x=∏/2+2k∏时y=1当且仅当x=-∏/2+2k∏时y=1 [-1,1]
当且仅当x=2k∏时 y=1
当且仅当x=(2k∏+1)时 y=1
周期性 2k∏
最小正周期2∏ 2k∏
最小正周期2∏
周期函数满足：
f(x+T)=f(x)
T为周期
奇偶性 奇函数
即 sin(-x)=-sinx 偶函数
即cos(-x)=cosx
单调性 在[-∏/2+2k∏, ∏/2+2k∏]上是增函数
在[∏/2+2k∏, 3∏/2+2k∏]上是减函数 在[（2k-1)∏,2k∏]上是增函数
在[2k∏,(2k+1)∏]上是减函数
例题1 画图 (五点作图法）
（1）y=1+sin x, x∈[0,2∏] (2)y=- cos x , x∈[0,2∏]
x 0 ∏/2 ∏ 3∏/2 2∏
sinx 0 1 0 -1 0
1+sinx 1 2 1 0 1
x 0 ∏/2 ∏ 3∏/2 2∏
cosx 1 0 -1 0 1
- cosx -1 0 1 0 -1
例2求下列函数周期
(1)y=sin2x, x∈R
解: 令z=2x,则z∈R ，而y=sinz , z∈R的周期为2∏,即z只要并且至少要增加到z+2∏即可. 又z+2∏=2z+2∏=2(x+∏) ∴x只要并且至少增加到x+∏ ∴T=∏
(2) y=2sin(1/2-∏/6),x∈R
解：令z=x/2-∏/6,则z∈R.而y=2sinz,z∈R的周期是2∏。由于z+2∏=(x/2-∏/6)+2∏=(x+4∏)/2-∏/6.所以x只要并且至少要增加到x+4∏.所以T=4∏
结论：
一般的，函数y=Asin(wx+b), x∈R
和函数y=Acos(wx+b),X∈R (其中A,w,b为常数且A≠0,w>0)的周期T=2∏/w(共25张PPT)
法向量的应用
课本P33
课本P41
a
l
a
a
b
l
A
B
B1
A1
e
a
n
P
A
O
M
N
B
A
a
M
N
n
a
b
结论1
a
n
P
A
O
M
N
结论2
B
A
a
M
N
n
a
b
例1：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长1， 求异面直线DA1与AC的距离。
A
B
D
C
A1
B1
C1
D1
x
y
z
一、求异面直线的距离
例2、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求点B到平面GEF的距离。
二、求点到平面的距离
D
A
B
C
G
F
E
x
y
z
例3、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求直线BD到平面GEF的距离。
D
A
B
C
G
F
E
x
y
z
三、求直线与平面间距离
例4、在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点，求平面AMN与平面EFDB的距离。
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
M
N
E
F
x
y
z
四、求平面与平面间距离
四种距离的计算
异面直线的距离
点到平面的距离
直线到与它平行平面的距离
两个平行平面的距离
三种角的计算
异面直线所成的角
直线和平面所成的角
二面角
异面直线所成角的计算
斜线与平面所成角的计算
a
n
P
A
O
二面角的平面角的计算
P
B
A
l
a
b
Q
n
m
x
y
z
A
A1
B
C
D
D1
C1
B1
P
例题
AB=2
垂直与平行的证明
直线与平面的平行
与平面的法向量垂直
直线与平面的垂直
与平面的法向量平行
平面与平面的平行
两个平面的法向量平行
平面与平面的垂直
两个平面的法向量垂直
x
y
2003年全国高考题
A
B
C
D
E
G
A1
B1
C1
z
建立空间坐标系
利用现有三条两两垂直的直线
注意已有的正、直条件
相关几何知识的综合运用
x
y
x
A
B
C
D
P
B
C
D
A
A
B
C1
C
A1
B1
正三棱锥
正四棱锥
正三棱柱
z
y
z
x
y
z
（2005年高考题）已知四棱锥P—ABCD的底面
为直角梯形，AB//DC，∠DAB=90°，PA⊥底
面 ABCD，且PA=AD=DC= AB=1，M是PB的
中点.
（1）证明：面PAD⊥面PCD；
（2）求AC与PB所成的角；
（3）求面AMC与面BMC所成
二面角的大小.
A
P
M
D
C
B
y
z
x
x
P
A
B
D
C
E
y
z
练习
x
y
z
A
A1
B
C
D
D1
C1
B1
P
练习(共12张PPT)
正弦函数、余弦函数
的图象和性质（一）
一、引入：应用课件《正弦线》
二、知识讲解：
1、利用课件：《利用正弦线作正弦函数图象》
2、讲解利用正弦线作正弦函数ｙ＝sinx图象的根据。
3、函数y=sinx,x R的图象：
将函数y=sinx, x ［0，2p］的图象向左、右平行移动(每次2p个长度单位)，就可以得到函数y=sinx,x R的图象。正弦函数的图象叫做正弦曲线。如下图：
4、讲解用“五点法”作出y=sinx x ［0，2p］的图象。
在函数y=sinx, x ［0，2p］的图象上，起着关鍵作用的点有以下五个：
5、余弦函数y=cosx, x R的图象：
(1)、 y=cosx, x ［0，2p］的图象。
(2)、 y=cosx, x R的图象。
余弦函数y=cosx, x R的图象可以通过将正弦曲线向左平行移动p 2个单位长度而得到。余弦函数的图象叫做余弦曲线。
用“五点法”作出y=cosx, x ［0，2p］的图象:
在y=cosx, x ［0，2p］的图象上起着关鍵作用的点是以下五个：
Y
X
O
-1
y=cosx,x
p
2p
-p
-2p
3p
R
1
通过这五个点可以画出函数y=cosx, x ［0，2p］的简图。
三、例题分析：
例1、画出下列函数的简图：
解：(1)按五个关键点列表：
x
sinx
1+sinx
0
0
1
1
1
1
0
0
0
2
-1
解：(1)按五个关键点列表：
1+sinx
sinx
x
0
0
1
1
1
1
0
0
0
2
-1
描点画图
x
cosx
-cosx
0
1
-1
0
1
-1
-1
0
1
0
0
(2) y=-cosx, 按五个关键点列表：
1
-1
描点画图
思考：第(1)、(2)小题中的虚实两个图象之间有何关系？
1
-1
思考：第(1)、(2)小题中的虚实两个图象之间有何关系？
四、练习：
P50 练习
五、小结
通过本节学习，要了解如何利用正弦线画出正弦函数图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象，并会用“五点法”画出正弦、余弦函数的简图，会用这一方法画出与正弦、余弦函数有关的某些简单函数在长度为一个周期的闭区间上的简图。
六、作业：
P57，习题4.8 3(共14张PPT)
1.三角形法则
2.平行四边形法则
向量的概念:
既有大小又有方向的量叫向量。
向量的表示方法:
用一条有向线段，或用 a ,或用有向线段的起点和终点字母表示
零向量和单位向量:
长度为0的向量叫零向量，长度为1个单位长度的向量叫单位向量。
平行向量:
方向相同或相反的向量叫平行向量，平行向量也叫做共线向量。
相等向量:
长度相等且方向相同的向量叫相等向量。
A
B
C
(2)飞机从A到B,再改变方向从B到C,则两次的位移的和 应
是:
A
B
C
(3)船的速度为 ，水流的速度为 ，则两个速度的和
是：
A
B
C
由此得什么结论？
(1)一人从A到B，再从B按原方向到C，则两次的位移之和
是
作法（1）在平面内任取一点O
o·
A
B
这种作法叫做向量加法
的三角形法则
（“首尾相接，首尾连”）
(1) 同向
(2)反向
A
B
C
A
B
C
注：
思考
使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量相加。
(首尾相接，首尾连）
(1)研究向量是否满足交换律:
A
B
D
C
依作法有：
(2)研究向量是否满足结合律:
B
A
C
D
由此可推广到多个向量
加法运算可按照任意的
次序与任意的组合进行
例子
三、看图填写
B
C
A
D
答：船实际航行速度的大小为4km/h，方向与流 速 间的夹角为60°．
（1）
（2）
（4）
四、课堂练习
一、用三角形法则求向量的和
（2）
二、用平行四边形法则求向量的和
课堂练习
3.一艘船以5km/h的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h，则船的实际航行速度大小最大是 ，最小是 。
作业布置
课本P104页习题5.2第 1，2，3题(共12张PPT)
三角函数的图象复习
一正余弦图象
如何画出正余弦函数的简图
y=sinx
五点法
0
1
-1
x
y
(0,0) ( ,1) ( ,0) ( ,-1) ( ,0)
y=cosx
(0,1) ( ,o) ( ,-1) ( ,0) ( ,1)
0
1
-1
x
y
形如y=Asin( x+ )的图象如何作
例:y=2sin(2x+ )
0
-2
0
2
0
y
x
0
t
<一>五点作图
令2x+ =t
0
x
y
2
-2
练习：
y
x
0
-1
1
-1
1
3
1.函数y=Asin( x+ )(A>0, >0 )的图象
如图，求函数的解析式
由图可知:A=1
=3-(-1)=4
T=8
由公式T=
=
又因为(-1,1)对应五点法中的第二点
所以
则函数的解析式为:
2.已知函数f(x)=Asin( x+ )(A>0, >0, )
在相邻两最值点( ,2)(2,-2)上，f(x)分别取最大值
和最小值，求(1)f(x)的解析式
(2)若函数g(x)=af(x)+b,的最大值和最小值为6和2，
求a,b的值
⑴
①相位变换:
②周期变换:
③振幅变换:
向左平移个 单位
y=sin(x+ )
y=sin(2x+ )
横坐标不变,纵坐标伸长原来的2倍
y=2sin(2x+ )
x
0
2
y
纵坐标不变,横坐标缩短为原来的 倍
<二>图象变换
例:y=2sin(2x+ )
(2)
①周期变换:
③振幅变换:
②相位变换:
纵坐标不变,横坐标缩短为原来的 倍
y=sin2x
y=sin(2x+ )
3
p
横坐标不变,纵坐标伸长原来的2倍
y=2sin(2x+ )
x
0
2
向左平移个 单位
练习：
1.已知函数y= ,(x R ),
(1)求当y取得最大值时，x的集合
(2)该函数由y=sinx怎样平移得到
2.把函数y=cos(3x+ )的图象适当变动，就可以得到y=sin(-3x)的图象，这种变动可以是（ ）
A.右移 B.左移
C.右移 D.左移
小结
形如y=Asin( x+ )的图象画法
1.五点作图
应用：根据函数图象求解析式
2.图象变换
两种变换的不同点：相位变换(共9张PPT)
㈠向量的定义：
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
a
·
·
·
A
B
C
D
B1
A1
C1
D1
这个”平移“就是一个向量 a=“自西向东平移4个单位”
b
记作：向量a、b。
两个向量不能比较大小，因为决定向量的两个因素是大小
和方向，其中方向不能比较大小
㈢向量的相等:当两个向量大小相等，方向相同时两向量相等。
∴ OA=a AB= b
空间向量可用有向线段表示
㈡向量的表示方法：
a
O
A
B
a
b
α
O
A
B
㈣空间向量加法、减法与数乘向量运算：
O
P
a
OB = OA +AB = ａ＋ｂ
BA = OA – OB = a - b
OP =λa （λ∈R）
㈤空间向量的加法与数乘向量运算的运算律：
①加法交换律：ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ
②加法结合律：（ａ＋ｂ）＋ｃ＝ａ＋（ｂ＋ｃ）
b
c
a
a
b
c
③数乘分配律：λ（a + b ）=λa +λb
a
b
a
b
a
a
a
a
a
（由同学自已证明）
㈥平行六面体：平行四边形ABCD平移向量a到A1B1C1D1的轨
迹所形成的几何体，叫做平行六面体。
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
A1
D1
C1
B1
B
A
C
D
记作ABCD—A1B1C1D1，它的六个面都是平行四边形，每
个面的边叫做平行六面体的棱。
a
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
M
·
G
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列面量表达式
并标出化简结果的向量：
（1）AB+BC；（2）AB+AD+AA1；
（3）AB+AD+1/2CC1（4）1/3（
（AB+AD+AA1）
解：（1）AB+BC=AC
（2）AB+AD+AA1=AC+AA1=AC+CC1=AC1
（3）设M是线段CC1的中点，则AB+AD+1/2CC1=
AC+CM=AM
（4）设G是线段AC1的三等分点，则1/3（AB+AD+AA1）
=1/3AC1=AG
㈦巩固：
1。已知空间向量四边形ABCD，连接AC、BD，设M，G分别
是BC、CD的中点，化间下列各表达式，并标出化间结果的向量
（1）AB+BC+CD； （2）AB+1/2（BD+BC）
（3）AG – （AB+AC）
A
B
D
C
M
G
解： （1）AB+BC+CD =AD
（2）AB+1/2（BD+BC）=BG
（3）AG – （AB+AC）= MG
2。已知正方体ABCD-A1B1C1D1，点E、F分别是上底面A1C1
和侧面CD1的中心，求下列各题中x、y的值：
（1）AC1=x（AB+BC+CC1） （2）AE=AA1+xAB+yAD
（3）AF=AD+xAB+yAA1
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
F
E
解：(1)x =1
(2) x=y =1/2
(3) x=y =1/2(共7张PPT)
数学理论
在解题过程中，要注意公式的灵活运用，并注意总结一些常用的方法．以下各式在解题过程中应用较多，它们都是二倍角公式的变形．
例题讲解
例2 求函数y＝cos2x＋cosxsinx的值域．
课堂训练
1．已知sin22 ＋sin2 ·cos －cos2 ＝1，
∈(0， )，求sin ，tan ．
解：因为sin22 ＋sin2 ·cos －cos2 ＝1，
所以4sin2 ·cos2 ＋2sin cos2 ＝2cos2 ．
所以cos2 (2sin2 ＋sin －1)＝0．
所以cos2 (sin ＋1)(2sin －1)＝0．
因为 ∈(0， )，所以cos2 ＞0，sin ＋1＞0．
故sin ＝ ， ＝ ，所以tan ＝ ．
课堂训练
2．求证：
解：
课后思考(共11张PPT)
二倍角的正弦、余弦、正切
回忆两角和与差的正弦、余弦、正切公式
能否通过上述公式利用单角表示： ， ， ？
-
(
)
=
+
a
a
b
a
b
b
b
a
tan
tan
1
sin
sin
cos
cos
cos
-
(
)
b
a
b
a
b
a
sin
cos
cos
sin
sin
+
=
+
(
)
b
a
b
a
tan
tan
tan
+
=
+
-
复习导入
二倍角公式：
对于 能否有其它表示形式？
问题(1)
（一） 二倍角公式
二倍角公式：
公式的特征与记忆
问题(2)
（１）左边角是右边角的二倍
（3）二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式，正切是分式
的三角函数的
（2）左边是2
，右边是
的三角函数的一次式
二次式
。即----左到右：升幂缩角；右到左：降幂扩角
（一） 二倍角公式
二倍角公式：
二倍角的含义
问题(3)
二倍角具有相对性
（一） 二倍角公式
（一） 二倍角公式
二倍角公式：
公式成立的条件
问题(4)
：
a
R
：
a
R
,且 ，
：
1、应用公式求三角函数值
例1．已知 ， ．求 ， ，
的值．
解：
，
练习．1、已知：
求：
练习．2、已知：
求：
练习．3、
求：
的值
1、应用公式求三角函数值
2、应用倍角公式证明三角关系式
例2．证明：
证明：
左边
=右边
练习： 证明：
３、应用公式化简三角函数式
例3．化简：
解：原式
练习．化简：
１、本节课学习的二倍角公式是在两角和的三角函数公式的基础上导出的，记忆时注意联想相应的公式。
２、二倍角公式适用于二倍角与单角的三角函数间的互化问题。广泛应用于三角函数式的求值，化简，证明，应灵活理解“二倍角”的含义，熟悉公式的逆用，并注意公式成立的条件。
课堂小结(共8张PPT)
复习旧知识
两角和与差的正弦
两角和与差的正切
两角和与差的余弦
讲授新课
二倍角公式
公式左端的角是右端角的二倍
在这两个公式中分别求出sin2a和cos2a
灵活运用公式(共12张PPT)
向量组的线性相关性
本章将介绍n维向量的基本概念及其运算，讨论n 维向量的线性相关性，并利用矩阵的秩与有关知识来研究向量组的线性相关性。这些都是线性代数和近代数学中的最基本概念和基本性质，并为学习后面的内容提供了必要的预备知识。
§3.1 n维向量及其运算
在空间(或平面)解析几何中，从有向线段出发，引进了向量的概念，并进一步引进了向量的加法和数
乘向量的运算；另外，在空间中引进笛卡尔坐标系后，空间中的点和向量都和三维数组建立了一一对应关系。所以，由所有三维数组构成的集合
即代表了点空间，也代表了三维向量空间。因而，点空间的许多几何性质，例如点的共线、共面，直线和平面的平行、相交等等，都可以用向量空间的语言来刻划。
一、n 维向量空间的概念
几何空间中：
点P的坐标
n 维向量空间 ( Rn ):
n 维向量: (有序数组)
n 维行向量
的分量
n 维列向量:
实（复）向量:
分量为实（复）数
确定飞机的状态，需
要以下6个参数：
飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)
机身的水平转角
机身的仰角
机翼的转角
所以，确定飞机的状态，需用6维向量
n维向量的实际意义
= ai = bi
= (0, 0, …, 0)
负向量： - = (-a1, -a2, …, -an )
n维向量的线性运算: = (a1, a2, …, an), =(b1, b2, …, bn)，
+ = (a1 +b1, a2 +b2, …, an+ bn), k =(ka1, ka2, …, kan ), k R.
向量相等： = (a1, a2, …, an), =(b1, b2, …, bn)
零向量：
Rn : n 维向量的全体.
线性方程组与n维向量的线性运算：
定义 若
则称V是 Rn 的一个子空间.
例1 设V = {(x1, x2) | x1+x2 = 0 }, V是否是 R2 的子空间？
例2 设V = {(x1, x2) | x1+ x2 = 1 }, V是否是 R2 的子空间？
二、 Rn 的子空间(共7张PPT)
向量在立体几何中的简单运用
共线向量定理: 对空间任意两个向量a,b(b≠0)a//b的充要条件是存在实数λ使a=λb
共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面的充要条件是存在实数对x,y使p=xa+yb
例1 如图棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1，E、F、G分别是DD1、BD、BB1之中点。
（1）求证EF⊥CF
（2） 、 所成角的余弦
A
D
C
B
A1
D1
B1
C1
F
G
E
x
z
y
A
D
C
B
A1
D1
B1
C1
M
N
例2 在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，面ABCD，
面ADD1A1为正方形,点M、N分别是AD1，BD上的点
,
1）用向量 ,
表示
2）用基向量 , ,
表示
3）证明MN//平面DC1
且
m
n
a
a
l
l
α
β
例3 如图 , ,
用向量方法证明
∩
a
证明：在l，a上取l，a。分别在α ， β 内作与a不共线的向量m，n（如图） ...l//α l// β ... l=x1a+y1m l=x2a+y2n ...(X1-x2)a+y1m-y2n=0 又... a, m, n不共面 ... X1=x2, y1=y2=0 ... l=x1a 又... l与a不重合 ... l//a
A
D
C
B
A1
D1
B1
C1
练习：如图所示，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面是边长为a的菱形且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°
1）求证：CC1⊥BD
2）当
的值为多少时能使A1C⊥平面C1BD,并证明之。
向量为我们解决立体几何问题提供了有力的工具，以后在遇到几何体中的夹角、距离、垂直、平行问题时要善于将其中转化为向量的夹角、模、垂直、平行问题，利用向量进行解决，它的实质就是形到数的转换过程，也是数形结合思想的体现。(共13张PPT)
内容提要
四种基本三角函数的图象
用五点法作函数y=Asin(ωx+φ )的图象
函数y=Asin(ωx+φ )+B中各参数对图象的影响
函数y=Asin(ωx+φ )+B的图象与y=sinx的图象之间的关系
已知函数y=Asin(ωx+φ )+B的图象，确定各参数的值
用五点法画函数y=Asin(ωx+φ)+B的图象
列表，描出一个周期内图象上的五个关键点（处于平衡位置的三个点，一个最高点，一个最低点）;
用平滑曲线顺次连接五个关键点，就得到函数在长度为一个周期内的闭区间上的图象；
根据函数的周期性，将图象左右扩展，就得到所需要的函数图象。
进入作图界面
函数y=Asin(ωx+φ)+B中各参数对图象的影响
进入分析画面
由y=sinx的图象得到y=Asin(ωx+φ)+B的图象
显示结论
由y=Asin(ωx+φ)+B 的图象确定各参数的值
进入分析界面
显示结论
求y=Asin(ωx+φ)+B 中各参数值的结论
由最值求A和B
由周期求ω
由特殊点求φ
例题分析
例题分析
进入例2
例题分析
回到分析
例3分析
返回题目
续
课外作业
第2题
第3题
第6题(共17张PPT)
----正弦、余弦、正切函数图象
三角函数图象
正弦函数、余弦函数的图象和性质
正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx图象的画法
1、描点法
2、几何法
复习：三角函数线
x
y
o
P
M
T
1
A
的终边
-1
-1
1
1
-1
0
y
x
●
●
●
一、正弦函数y=sinx（x R)的图象
y=sinx ( x [0, ] )
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
sin(2k +x)= (k Z)
sinx
x
y
0
1
-1
y=sinx (x R)
二、正弦函数的“五点画图法”
(0,0)、( , 1)、( ,0)、( ,-1)、 (2 ,0)
0
x
y
1
-1
●
●
●
●
●
0
x
y
1
-1
●
●
●
●
●
练习：用“五点画图法”画出正弦函数
y=sinx(x [0, 2 ]的图象
x
y
0
1
-1
sin( x+ )=
三、余弦函数y=cosx(x R)的图象
cosx
y=sinx的图象
y=cosx的图象
余弦函数的“五点画图法”
(0,1)、( ,0)、( ,-1)、( ,0)、( , 1)
o
x
y
●
●
●
●
●
1
-1
例：画出下列函数的简图
(1)y=1+sinx， x [0, ]
(2)y= - cosx， x [0, ]
解：(1)按五个关键点列表
x
sinx
1+sinx
0
0 1 0 -1 0
1 2 1 0 1
o
x
y
1
2
●
●
●
●
●
y=1+sinx x [0, ]
(2)按五个关键点列表
x
cosx
-cosx
0
1 0 -1 0 1
-1 0 1 0 -1
o
x
y
1
●
●
●
●
●
y=-cosx x [0, ]
-1
思考：
1、函数y=1+sinx的图象与函数y=sinx的图象有什么关系？
2、函数y=-cosx的图象与函数y=cosx的图象有什么关系？
o
-1
1
2
y=sinx x [0, ]
y=1+sinx x [0, ]
y
x
y
x
o
-1
1
y=cosx x [0, ]
y=-cosx x [0, ]
小结：
正弦函数、余弦函数图象的五点法
练习：课本p56练习3
1
-1
y= -sinx, x [0, ]
1
2
y=1+cosx, x [0, ]
(1)
(2)
x
x
y
y
(3)
2
1
-1
-2
y
x
y=2sinx, x [0, ](共17张PPT)
平面向量的坐标表示及运算
复习回顾
平面向量基本定理的内容是什么？
如果 e1 , e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量 a ，有且只有一对实数 λ1 , λ2 使得a= λ1 e1+ λ2 e2
平面向量基本定理:
不共线的平面向量 e1 , e2 叫做这一平面内所有向量的一组基底.
向量的基底:
思考：
既然向量是既有大小又有方向的量，那如何刻画向量a的相对位置呢？
探索1:
以坐标原点O为起点，P为终点的向量能否用坐标表示？如何表示？
o
P
x
y
a
向量的坐标表示
向量
P（x ，y）
一 一 对 应
在平面直角坐标系内，起点不在坐标原点O的向量如何用坐标来表示
探索2:
o
x
y
a
在平面直角坐标系内，起点不在坐标原点O的向量如何用坐标来表示
探索2:
A
o
x
y
a
a
可通过向量的平移，将向量的起点移到坐标的原点O处,其终点的坐标（x，y）称为a的（直角）坐标，记a=（x，y）。
解决方案:
在平面直角坐标系内，若分别取与X轴、Y轴正方向相同的两个单位向量 i , j作为基底，任作一向量a，由平面向量基本定理知，有且仅有一对实数 x , y ,使得 a=x i+y j.
归纳总结
2、单位向量 i
1、 a=x i+y j =( x , y) 称其为向量的坐标形式.
=
(0,0)
=（1，0），j =（0，1）
平面向量可以用坐标表示，向量的运算可以用坐标来运算吗？
探索3：
（1）已知a =(x1 , y1), b= (x2 , y2) ，
求a + b , a – b .
（2）已知a =(x1 , y1)和实数 ，
求 a的坐标 .
如何计算？
向量的坐标运算
x
4
4
-4
-4
-3
-3
-2
-1
-1
-2
3
3
2
2
1
1
0
y
5
A
解：由图可知
同理
你能发现向量a的坐标
与它起点坐标和终点坐标
间有什么联系吗？
一个向量的坐标等于表示该向量的终点的坐标减去起点的坐标．
说明：
四边形OCDA
是平行四边形？
课时小结:
2 加、减法法则.
a + b=( x1 , y1) + (x2 , y2)= (x1+x2 , y1+y2)
3 实数与向量积的运算法则：
λa =λ(x i+y j )=λx i+λy j =(λx , λy)
4 向量坐标.
若A(x1 , y1) , B(x2 , y2)
1 向量坐标定义.
则 =(x2 - x1 , y2 – y1 )
a - b=( x1 , y1) - (x2 , y2)= (x1- x2 , y1-y2)(共9张PPT)
创设情境
sin( ＋ )＝sin cos ＋cos sin ，
sin( － )＝sin cos －cos sin ．
以上是用 ， 的正余弦表示它们和（差）的正弦，反之，能否用 ＋ 和 － 的正弦表示 和 的正弦、余弦呢？能否用 ＋ 和 － 的正弦表示sin cos 和cos sin 呢？
由 sin( ＋ )＝sin cos ＋cos sin ，
sin( － )＝sin cos －cos sin ，
相加可得
sin cos ＝ [sin( ＋ )＋sin( － )]． ①
相减可得
cos sin ＝ [sin( ＋ )－sin( － )]． ②
由 cos( ＋ )＝cos cos －sin sin ，
cos( － )＝cos cos ＋sin sin ，
相加可得
cos cos ＝ [cos( ＋ )＋cos( － )]， ③
相减可得
sin sin ＝－ [cos( ＋ )－cos( － )]．④
数学理论
数学理论
令 ＋ ＝ ， － ＝ ，分别代入①②③④式，可得
例题讲解
例题讲解
课堂训练
1．设 ， ， ＋ 均为锐角， a＝sin( ＋ )，
b＝sin ＋sin ，c＝cos ＋cos ，则 ( )
A．a＜b＜c B．b＜a＜c
C．a＜c＜b D．b＜c＜a
A
2．已知 是第三象限角，且sin ＝－ ，则
tan 的值为 ( )
A． B． C．－ D．－
D
3．在△ABC中，求证：
sin2A＋sin2B－sin2C＝2sinAsinBsinC．
证明：sin2A＋sin2B－sin2C
＝sin2(B＋C)＋ －
＝sin2(B＋C)＋ (cos2C－cos2B)
＝sin2(B＋C)＋sin(B＋C)sin(B－C)
＝sin(B＋C)[sin(B＋C)＋sin(B－C)]
＝sinA·2sinBsinC＝2sinAsinBsinC．
课后思考
已知3tan( － )＝tan( ＋ )，求证：sin2 ＝1．(共39张PPT)
[学习内容]
1、三角函数的有关概念。
2、同角三角函数基本关系及诱导公式。
3、两角和与差三角函数。
4、三角函数图象与性质。
5、三角函数求值。
[学习要求]
（1）理解任意角的概念、弧度的意义。能正确地进行弧度与角度的换算。
（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义。掌握同角三角函数的基本关系式。掌握正弦、余弦的诱导公式。了解周期函数与最小正周期的意义，了解奇函数、偶函数的意义。
（3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。
（4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。
（5）了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A，ω，φ的物理意义。
（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx、arccosx、arctanx表示。
[学习指导]
1、掌握三角函数的概念、图象和性质。近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。
在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。
2、掌握三角函数基本的三角变换
虽然三角变换的考查要求有所降低，但它终究是三角函数的基础，没有三角函数的恒等变形就谈不上性质和图象的应用，所以要立足于课本，掌握基本的三角变换。
3、重视数学思想方法的复习
本章试题以选择、填空题、解答题的形式出现，因此复习中要重视选择填空题的一些特殊解法，如数形结合，代入检验，特殊值法。待定系数法，排除法，另外对有些具体问题还需掌握和运用一些基本结论。
4、加强三角函数应用意识的训练。
[典型例题分析]
例1、求下列函数的定义域
（1）f(x)=logsinx(1+2cosx)
（2）f(x)=
[分析]先转化为三角不等式，可利用单位圆或三角函数图象进行求解。
解（1） 1+2cosx>0 ∴ cosx>-
0∴ 2kπ- 2kπf(x)定义域为
（2） 2cosx+1≥0 ∴ cosx≥-
tanx≠0 tanx≠0
∴f(x)定义域为
{x|2kπ- ≤x≤2kπ+ 且x≠kπ+
x≠kπ,k∈z}
例2、求下列函数值域
（1）y= （4）y=
（2）y=sinx+cosx+sinxcosx
（3）y=2cos( +π)+2cosx
[分析]将原函数化为y=Asin(ωx+φ)+b或y=Acos(ωx+φ)+b或化为关于sinx(cosx)二次函数，利用换元进行配方求解。
反思：关于y=acos2x+bcosx+c(y=asin2x+bsinx+c,a≠0)可化为二次函数在闭区间上求最值问题，切忌忽略函数的定义域）
例3、若sin2α+2sin2β=2cosα，求sin2α+sin2β的最大值与最小值。
[分析]将sin2β用含有α的式子表示，利用二次函数知识求解。
例4、设a≥0若y=cos2x-asinx+b的最大值为0，最小值为-4，试求a与b的值，并求出使y取得最大，最小的x值。
[分析]解此类问题是化为关于sinx(cosx)的二次式，配方求最值办法。
解：y=-(sinx+ )2+1+b+
当-1≤- ≤0时，0≤a≤2时
即x=kπ+(-1)k arcsin(- ) k∈z时
ymax=1+b+ =0 ①
当日仅当 sinx=1即x=2k+ k∈z
ymin=-(1+ )2+1+b+ =-4 ②
由①、② a=2 b=-2
解得a=2（舍）
综上 a=2
b=-2
例5、已知函数f(x)=log (sinx-cosx)
（1）求它的定义域与值域
（2）求它的单调区间
（3）判断奇偶性
（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期
[分析](1)、(2)从sinx-cosx= sin(x- )入手；(3)定义域；(4)利用周期函数定义。
（3）f(x)定义域不关于原点对称。即不是奇函数，也不是偶函数。
反思：本题综合考查了三角函数性质，解题关键是把sinx-cosx化为Asin(ωx+φ)形式。
例6、已知
f(x)=2sin(x+ )cos(x+ )+2 cos2(x+ )-
①化简f(x)的解析式
②若0≤x≤π求θ,使函数f(x)为偶函数
③在②的条件下，求满足f(x)=1 x[-π, π]的x集合。
③
小结：解决此类问题一定要注意已知角和所求角之间的关系。
例8、f(x)=cos2x+asinx- - (0≤x≤ )
①用a表示f(x)的最大值M(a)
②当M(a)=2时，求a的值
解：
①
②
③
例9、已知函数
y= cos2x+ sinxcosx+1 (x∈R)
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合
（2）该函数图象可由y=sinx(x∈R)的图象进行怎样的平移和伸缩变换得到的？
[分析]由题设可知，需采取降次，化为简单的三角函数。
解：
（2）将函数y=sinx依次进行如下变换
思路一：先平移，后缩短（指横坐标）
解法一：（1）把函数y=sinx的图象向左平移 ，得到函数y=sin(x+ )的图象；
（2）把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(2x+ )的图象；
（3）把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的 倍（横坐标不变），得到函数y= sin(2x+ )的图象；
（4）把得到的图象向上平移 个单位长度，得到函数y= sin(2x+ )+ 的图象。
思路二：先缩短，后平移（指横坐标）
解法二：（1）把函数y=sinx的图象上各点的横坐标缩短原来的 倍（纵坐标不变），得到函数y=sin2x的图象；
（2）把得到的函数的图象向左平移 ，得到函数y=sin[2(x+ )]=sin(2+ )的图象；
（3）把得到的函数图象向上平移 个单位，得到函数y=sin(2x+ )+ 的图象；
（4）把得到的函数的图象的各点的纵坐标缩小到原来的 倍（横坐标不变），得到函数2y=sin(2x+ )+ 的图象，即y= sin(2x+ )+ 的图象。
反思：在解法二中，由函数y=sin2x向左平移 ，而不是 个长度单位，这一点应特别注意。(共19张PPT)
诱导公式
一、复习：终边相同的角的三角函数的值相等 （公式一）
sin(k.360°+α)=sinα cos(k.360°+α)=cosα
tan(k.360°+α)=tgα cot(k.360°+α)=ctgα (k∈α)
二、学习目的：
在初中求 0°—— 90°间角的三角函数值，可以通过查表；利用公式一，可以把求任意角的三角函数值转化为求0°—— 360°间的角的三角函数值。
因此，如果能把求90° ——360°间的角的三角函数值转化为求0°—— 90°间的角的三角函数值，那么就可以求任意角的三角函数值了。
三、角度之间的关系
设0°≤α≤ 90°，那么
90°— 180°间的角，可以写成180°- α 或90°+α
180°— 270°间的角，可以写成180°+α 或270°-α
270°— 360°间的角，可以写成360°- α 或-α或 270°+α
为使讨论具有一般性，这里假定α为任意角。
下面依次讨论180°+α ， -α ，180°- α， 360°-α 的三角函数值与α的三角函数值之间的关系。
对于90°—360°的角，可用下面的形式来表示：
1、形如180°+α 的三角函数值与α的三角函数值之间的关系
单位圆：以原点为圆心，等于单位长的线段为半径作一个圆
1
-1
1
-1
已知任意角α的终边与这个圆相交与点p(x,y），由于角180°+α 的终边就是角α的终边的反向延长线，角180°+α 的终边与单位圆的交点p‘(-x,-y)，又因单位圆的半径 r=1，由正弦线和余弦线的定义得到：
α
180°+α
因此 sin(180°+α)= - sinα cos(180°+α)= - cosα
p(x,y）
p'(-x,-y）
sinα= y cosα= x sin(180°+α)= -y cos(180°+α)= -x
x
o
y
又根据同角三角函数间的基本关系式，有
于是我们得到一组公式（公式三）
sin(180°+α)=-sinα cos(180°+α)=-cosα
tan(180°+α)=tanα cot(180°+α)=cotα
2、形如-α 的三角函数值与α的三角函数值之间的关系
1
-1
1
-1
任意角α的终边与这个圆相交与点p(x,y），角-α 的终边与单位圆的交点p‘(x,-y)，又因单位圆的半径 r=1，由正弦线和余弦线的定义得到：
α
因此 sin(-α)= - sinα cos(-α)= cosα
p(x,y）
sinα = y cosα = x
sin(-α)= -y cos(-α) = x
x
o
y
于是我们得到一组公式（公式五）
sin(-α)= -sinα cos(-α)=cosα
tan(-α)= -tanα cot(-α)= -cotα
p'(x,-y）
-α
M
3、形如180°-α 的三角函数值与α的三角函数值之间的关系
利用公式三和公式五，可以推出，当α为任意角时：
sin(180°-α)= sin〔180°+（-α)〕= -sin(-α)=sinα
cos(180°-α)= cos〔180°+（-α)〕= -cos(-α)= -cosα
tan(180°-α)= tan〔180°+（-α)〕= tan(-α)= -tanα
cot(180°-α)= cot〔180°+（-α)〕= cot(-α)= -cotα
于是我们得到一组公式（公式二）
sin(180°-α)=sinα cos(180°-α)= -cosα
tan(180°-α)= -tanα cot(180°-α)= -cotα
4、形如360°-α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系
利用公式一和公式五，自己推出：
于是我们得到一组公式（公式四）
sin(360°-α)= -sinα cos(360°-α)= cosα
tan(360°-α)= -tanα cot(360°-α)= -cotα
公式一、二、三、四、五都叫做诱导公式：
sin(k.360°+α)= sinα cos(k.360°+α)= cosα
tan(k.360°+α)= tanα cot(k.360°+α)= cotα (k∈α)
公式一
公式三
sin(180°+α)= -sinα cos(180°+α)=-cosα
tan(180°+α)= tanα cot(180°+α)=cotα
公式五
sin(-α)= -sinα cos(-α)= cosα
tan(-α)= -tanα cot(-α)= -cotα
公式二
公式四
sin(180°-α)= sinα cos(180°-α)= -cosα
tan(180°-α)=-tanα cot(180°-α)= -cotα
sin(360°-α)= -sinα cos(360°-α)= cosα
tan(360°-α)= -tanα cot(360°-α)= -cotα
概括为：k 360°+α（k∈Z），180° -α。180°+α，360°-α，-α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号
除公式一、二、三、四、五外，还有诱导公式六、七、八、九：
sin(90°-α)= cosα cos(90°-α)= sinα
tan(90°-α)= cotα cot90°-α)= tanα
公式六
公式七
sin(270°-α)= -cosα cos(270°-α)= -sinα
tan(270°-α)= cotα cot(270°-α)= tanα
公式八
sin(270°+α)= -cosα cos(270°+α)= sinα
tan(270°+α)= -cotα cot(270°+α)= -tanα
概括为： 90°-α， 90°+α， 270°+α , 270°-α的三角函数值等于α的异名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号
sin(90°+α)= cosα cos(90°+α)= -sinα
tan(90°+α)= -cotα cot(90°+α)= -tanα
公式九
诱导公式：
sin(k.360°+α)=sinα cos(k.360°+α)=cosα
tan(k.360°+α)=tanα cot(k.360°+α)=cotα (k∈α)
公式一
公式三
sin(180°+α)=-sinα cos(180°+α)=-cosα
tan(180°+α)=tanα cot(180°+α)=cotα
公式五
sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα
tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα
公式二
公式四
sin(180°-α)=sinα cos(180°-α)=-cosα
tan(180°-α)=-tanα cot(180°-α)=-cotα
sin(360°-α)= -sinα cos(360°-α)= cosα
tan(360°-α)= -tanα cot(360°-α)= -cotα
sin(4k.90°+α)=sinα cos(4k.90°+α)=cosα
tan(4k.90°+α)=tanα cot(4k.90°+α)=cotα (k∈α)
sin(2×90°+α)=-sinα cos(2×90°+α)=-cosα
tan(2×90°+α)= tanα cot(2×90°+α)=cotα
sin(0× 90° -α)=-sinα cos(0× 90° -α)=cosα
tan(0× 90° -α)=-tanα cot(0× 90° -α)=-cotα
sin(2×90° -α)=sinα cos(2×90° -α)=-cosα
tan(2×90° -α)=-tanα cot(2×90° -α)=-cotα
sin(4×90°-α)= -sinα cos(4×90°-α)= cosα
tan(4×90° -α)= -tanα cot(4×90° -α)= -cotα
诱导公式一、二、三、四、五可记为：
函数名不变 符号看象限
诱导公式六、七、八可记为： 函数名称变 符号看象限
sin(90°+α)= cosα cos(90°+α)= -sinα
tan(90°+α)= -cotα cot(90°+α)= -tanα
公式七
公式八
sin(270°-α)= -cosα cos(270°-α)= -sinα
tan(270°-α)= cotα cot(270°-α)= tanα
公式九
sin(270°+α)= -cosα cos(270°+α)= sinα
tan(270°+α)= -cotα cot(270°+α)= -tanα
诱导公式总结概括为：
奇变偶不变 符号看象限
sin(1×90°+α)=cosα cos(1× 90°+α)= -sinα
tan(1× 90°+α)= -cotα cot(1× 90°+α)= -tanα
sin(3×90°-α)= -cosα cos(3×90° -α)= -sinα
tan(3×90° -α)= cotα cot(3×90° -α)= tanα
sin(3×90° +α)= -cosα cos(3×90° +α)= sinα
tan(3×90° +α)= -cotα cot(3×90° +α)= -tanα
公式六
sin(90°-α)=cosα cos(90°-α)=sinα
tan(90°-α)=cotα cot(90°-α)= tanα
sin(1×90°-α)=cosα cos(1× 90°-α)= sinα
tan(1×90°-α)= cotα cot(1×90°-α)= tanα
例1、求三角函数值
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
解：⑴
⑵
⑶
⑷
例2、求三角函数值
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
解：⑴
⑵
⑶
⑷
例3、求三角函数值
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
解：⑴
⑵
⑶
⑷
例4、求三角函数值
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
解：⑴
⑵
⑶
⑷
tan(-324°18′)=tan(-360+35°42′)=tan35°42′
总结：利用诱导公式求任意角的三角函数值一般步骤
任意负角的三角函数
用公式 五、
任意正角的三角函数
用公式 一
0°—360°间角的三角函数
用公式二、三、四、及六、七、八、九
0°—90°间角的三角函数
查表
求 值
例5、化简
解：
例5、求证
解：
请做练习：P83页1、2、6
P86页1、2
作业：习题P93页
13①③⑤⑦⑨ 18①②③ 19②
wjh
四.课堂总结:
⑴诱导公式
⑵公式应用 :(共17张PPT)
想一想：位移和距离这两个量有什么不同？
o
B
A
2000米
1500米
位移既有大小又有方向
距离只有大小没有方向
向量的概念及表示
生活中有向量 生活中用向量
阅读课本 P57－58完成下列问题:
1.什么是向量
2.怎么表示向量
3.什么是向量的模
4.有哪些特殊向量
5.向量间有什么特殊关系
既有大小又有方向的量称为向量.
1）几何表示；
2）字母表示；
指向量的长度
零向量
单位向量
平行向量
共线向量
相等向量
相反向量
A
B
C
D
E
F
O
变1:以图中A,B,C,D,E,F,O七点中的任一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，与向量 相等的向量有几个？
变2： 的相反向量有几个？
3个
4个
例2：在图中的 方格纸中有一个向量 ，
分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与
相等的向量有多少个？与 长度相等的共线向量
有多少个？（ 除外）
A
B
●
●
●
●
●
●
●
1、下列说法正确的是（ ）
课堂练习
C
2、判断下列说法是否正确：
探究：
如图，以 方格纸中的格点为起点和终点的所有非零向量中，有多少种大小不同的模？有多少种不同的方向？
相等向量与相反向量
课堂小结：
单位向量与零向量
向 量
向量的大小
(长度、模)
向量的方向
有向线段
平行向量(共线向量)
课本P59习题 1，3，4；
课后作业
《数学作业本》P42作业17.
向量的表示方法：
手写时写成:
有向线段的长度表示向量的大小
箭头所指的方向表示向量的方向
几何表示法：用一条有向线段 来表示.
字母表示法：用字母a、b、c(黑体字)或 来表示.
A（起点）
B（终点）
2、单位向量：长度为 1 个单位长度的向量.
零向量模为0，方向不确定.
单位向量模为1，方向不一定相同.
两个特殊向量：
思考：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，
它们的终点的轨迹是什么图形？
1、零向量：长度为 0 的向量. 记作 .
O
y
x
平行向量：
规定零向量与任一向量平行.
两向量的平行与平面几何里两线段的平行有什么区别？
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.
任意一组平行向量都可以平移到同一直线上
共线向量：
平行向量又称共线向量
两向量的共线与平面几何里两线段的共线是否一样？
相等向量：
长度相等且方向相同的向量.
相反向量:
思考：(共22张PPT)
任意角的三角函数及其诱导公式
P(a,b)
b 称为角 的正弦函数；
记作 b=sin ;
一般用x表示自变量，y表示函数；
所以正弦函数表示：y＝sin x
相类似余弦函数是y＝cos x；正弦函数是y＝tan x
思考问题
1、用任意角的正弦值的定义判断下列各对角的
正弦值的关系.
2、与角 x 终边相同的角怎么表示？
它们的正弦值有什么关系？
练习：600与4200，(-π/4)与(-9π/4)的三角函数值相等吗？为什么？
x
y
4200
600
P(a,b)
x
y
-π/4
-9π/4
P(a,b)
Sin(2kπ+α)= Sinα
小结：正弦函数是周期函数，周期是
其中最小正周期为
余弦函数是周期函数，周期是
其中最小正周期为
你记住了吗？
度
弧度
2）同终边角的同名三角函数值相等.
Sin(2kπ+α)= Sinα
cos(2kπ+α)= cosα
tan(2kπ+α)= tanα
2kπ是三角函数的周期
诱导公式1
练习：确定下列函数值的符号
1）sin1900的符号是——？
2）cos(-3920)的符号是——？
3)tan(-16500)的符号是——？
3)sin(-21π/5）的符号是——？
二、三角函数的诱导公式
1、若α是一个正锐角，怎样用α表示第一、二、三、四象限角,并研究其终边位置关系.
一 二 三 四
2kπ+α
π-α π+α 2π-α或-α
与α终边相同 与α终边关于y轴对称 与α终边互为反向延长线 与α终边关于x轴对称
2、角2kπ+α π-α π+α 2π-α或-α与角α的正弦函数值的关系
Sin(2kπ+α)__ ____sin α
Sin(-α)___ __sin α
Sin(2π-α)_ ____sin α
Sin(π-α)__ ____sin α
Sin(π+α)__ ____sin α
方法一、利用单位圆研究
α
-α
π-α
π+α
关于x轴对称的角的正弦线互为相反数
Sin(2kπ+α)=sin α
Sin(-α)=- sin α
Sin(2π-α)=-sin α
Sin(π-α)=sin α
Sin(π+α)=sin α
函数名不变，符号看象限
关于y轴对称的角的正弦线 相等
正弦诱导公式
cos(2kπ+α)=cosα
cos(-α)=cos α
cos(2π-α)=cos α
cos(π-α)= - cosα
cos(π+α)= - cosα
余弦函数的诱导公式
函数名不变，符号看象限
2、研究角π/2+α与角α的正、余弦函数值的关系
在单位圆中，画出角α和角 π/2+α的终边，由终边的位置关系可得
α
π/2+α
P1
O
M
P2
N
Rt△OP1M≌Rt△P2ON
∴ NP2=OM， ON=-MP1
Sinα=MP1,cosα=OM
Sin(π/2+α)=NP2;
cos(π/2+α)=ON
Sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+α)= -Sinα
函数名称变，符号看象限
思考：公式
Sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)= Sinα的证明方法
所有的诱导公式中的角α的取值范围是使公式有意义的任意角，记忆公式时可将α看成锐角，从而确定符号.
α
π/2-α
P1
O
M
P2
N
-α
正弦、余弦诱导公式
Sin(2kπ+α)=sin α
cos(2kπ+α)=cosα
Sin(-α)=- sin α
cos(-α)=cos α Sin(2π-α)=-sin α
cos(2π-α)=cos α
Sin(π-α)=sin α cos(π-α)= - cosα
Sin(π+α)=sin α
cos(π+α)= - cosα
=>
tan(2kπ+α)=tan α
=>
tan(-α)= - tan α
=>
tan(2π-α)= - tan α
=>
tan(π-α)= - tan α
=>
tan(π+α)= tan α
=>正切诱导公式
Sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+α)= -Sinα
Sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)= Sinα
=>
=>
tan(π/2+α)= -cotα
tan(π/2-α)=cotα
常用的正弦、余弦、正切诱导公式
1、同终边诱导公式
Sin(2kπ+α)=sin α
cos(2kπ+α)=cosα
tan(2kπ+α)=tan α
2、负角诱导公式
Sin(-α)=- sin α
cos(-α)=cos α
tan(-α)= - tan α
3、四象限诱导公式
Sin(2π-α)=-sin α
cos(2π-α)=cos α
tan(2π-α)= - tan α
4、二象限诱导公式
Sin(π-α)=sin α cos(π-α)= - cosα
tan(π-α)= - tan α
5、三象限诱导公式
Sin(π+α)=sin α
cos(π+α)= - cosα
tan(π+α)= tan α
视α为锐角，函数名不变，符号看象限
7、钝角互余诱导公式
Sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+α)= -Sinα
tan(π/2+α)= -cotα
6、锐角互余诱导公式
Sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)= Sinα
tan(π/2-α)=cotα
视α为锐角，函数名称变互余，符号看象限
1、熟记诱导公式的规律；
2、注意符号
例：求值 1）sin(-16500)
2) sin(-150015/)
3) sin(-7π/4）
方法步骤：负角化为正角，正角化为锐角.
例：化简
课外练习
（3）已知 ，求 的值．
（2）已知 ，求 的值．
（1）已知 ，求 的值．(共9张PPT)
创设情境
1．根据我们前面所学的知识，你能求出tan15 的值吗？
创设情境
2．能否用tan 和tan 表示tan( ＋ )？
3．如何用tan 和tan 表示tan( － )？
数学理论
例题讲解
例1 求下列各式的值：
(1)tan75 ；
例题讲解
点评：(1)运用公式时，不能仅局限在从左到右的正用，还要善于会从右到左的逆用；
(2)单角和复角是相对的．60 ＋ 与30 ＋ 也均可看成单角，那么30 角就是它们的差角(复角)，故(3)可直接运用公式．
例题讲解
例2 已知tan ，tan 是方程x2＋5x－6＝0的两根，求tan( ＋ )的值．
分析：本题既可以根据方程解出tan ，tan ，再代入公式计算，也可以不解方程，通过计算tan ＋tan ， tan tan 的值来求tan( ＋ )．
点评：对于求tan( ＋ )而言tan 和tan 不是必要，根据公式T( ＋ )只需知道tan ＋tan 和tan tan 的值即可．
课堂训练
1．求下列各式的值：
(1) ；
解：(1) ＝tan(75 －15 )＝tan60 ．
(2)tan20 ＋tan40 ＋ tan20 tan40
＝tan20 ＋tan(60 －20 )＋ tan(60 －20 )tan20
＝tan20 ＋ ＋ × ·tan20
＝
＝ ．
(2)tan20 ＋tan40 ＋ tan20 tan40 ．
2．已知tan ＋tan ＝2，tan( ＋ )＝4，且tan ＜tan ，试求tan 和tan ．
解：由tan ＋tan ＝2， tan( ＋ )＝4，得
1－tan tan ＝ ，即tan tan ＝ ．
所以tan ，tan 是方程 x2－2x＋ ＝0的两根．
解得x＝ ．
因为tan ＜tan ，所以
tan ＝1－ ，tan ＝1＋ ．(共26张PPT)
平面向量基本定理
不怨天，不尤人。 ——《论语》
（译：遇到挫折与失败，绝不从客观上去找借口，绝不把责任推向别人，后来发展为成语“怨天尤人”。）
不迁怒，不贰过。 ——《论语》
（译：犯了错误，不要迁怒别人，并且不要再犯第二次。）
小不忍，则乱大谋。 ——《论语》
（译：不该干的事，即使很想去干，但坚持不干，叫“忍”。对小事不忍，没忍性，就会影响大局，坏了大事。）
1、向量加法的平行四边形法则
2、共线向量的基本定理
回顾
设 、 是同一平面内的两个不共
线的向量，a 是这一平面内的任一向量，
我们研究 a 与 、 之间的关系。
a
研究
OC = OM + ON =
OA + OB
即 a = + .
a
A
O
a
C
B
N
M
M
N
平面向量基本定理
一向量 a 有且只有一对实数 、 使
共线向量，那么对于这一平面内的任
如果 、 是同一平面内的两个不
a = +
这一平面内所有向量的一组基底。
我们把不共线的向量 、 叫做表
（1）一组平面向量的基底有多少对？
（有无数对）
思考
E
F
F
A
N
B
a
M
O
C
N
M
M
O
C
N
a
E
思考
(2)若基底选取不同，则表示同一
向量的实数 、 是否相同？
（可以不同，也可以相同）
O
C
F
M
N
a
E
E
A
B
N
OC = 2OB + ON
OC = 2OA + OE
OC = OF + OE
特别的，若 a = 0 ，则有且只有 ：
可使 0 =
+
.
=
= 0
？若 与 中只有一个为零，情况会是怎样？
特别的，若a与 （ ）共线，则有
=0（ =0），使得:
a = + .
已知向量 求做向量-2.5 +3
例3：
、
O
A
B
C
·
O
A
B
C
·
例4
D
C
B
A
M
例5、 如图，已知梯形ABCD，AB//CD，且AB= 2DC,M,N分别是DC,AB的中点.
请大家动手,
在图中确一组
基底，将其他向
量用这组基底表
示出来。
A
N
M
C
D
B
解析：
BC = BD + DC =
MN = DN-DM
=(AN-AD)- DC
(AD–AB)+DC
A
N
M
C
D
B
DC = AB =
设AB = ,AD = ,则有：
= - .
= - + =
= - -
-
+
评析
能够在具体问题中适当地选取
基底，使其他向量能够用基底来表
示，再利用有关知识解决问题。
例５ ABCD中，E、F分别是DC和AB
的中点，试判断AE,CF是否平行？
F
B
A
D
C
E
F
B
A
D
C
E
E、F分别是DC和AB的中点,
AE= AD+ DE
= b+ a
CF= CB+ BF = -b - a
AE= - CF
AE与CF共线，又无公共点
AE,CF平行.
解：设AB= a,AD= b.
设 a、b是两个不共线的向量，
已知AB = 2a + kb, CB = a + 3b,
CD = 2a – b,若A、B、D三点共线，求k的值。
A、B、D三点共线
解：
AB与BD共线，则存在实数
λ使得AB = λBD.
λ使得AB = λBD.
思考
k = 8 .
= a – 4b
由于BD = CD – CB
=(2a – b) –(a +3b)
则需 2a + kb = (a – 4b )
由向量相等的条件得
2 =
k = 4
则需 2a + kb = (a – 4b )
2 - = 0
k – 4 = 0
此处可另解：
k = 8 .
即（2 - ）a +(k - 4 )b = 0
本题在解决过程中用到了两向量共线的充要条件这一定理，并借助平面向量的基本定理减少变量，除此之外，还用待定系数法列方程，通过消元解方程组。这些知识和考虑问题的方法都必须切实掌握好。
评析
2. 在实际问题中的指导意义在于找到表示一个平面所有向量的一组基底（不共线向量 与 ），从而将问题转化为关于 、 的相应运算。
1.平面向量基本定理可以联系物理学中的力的分解模型来理解，它说明在同一平面内任一向量都可以表示为不共线向量的线性组合，该定理是平面向量坐标表示的基础，其本质是一个向量在其他两个向量上的分解。
课堂总结
总结：
1、平面向量基本定理内容
2、对基本定理的理解
（1）实数对λ1、 λ２的存在性和唯一性
（２）基底的不唯一性
（３）定理的拓展性
３、平面向量基本定理的应用
求作向量、解（证）向量问题、解（证）
平面几何问题
思考
在梯形ABCD中，E、F分别时AB、CD
的中点，用向量的方法证明：
EF//AD//BC,且EF = (AD+BC)(共4张PPT)
创设情境
我们知道函数y = A sin(ωx＋φ)的最值及
单调区间等性质，而由于y = asinx＋bcosx
的函数，能利用公式将它化成
y = A sin(ωx＋φ)，进而讨论其性质．
例题讲解
例1．将下列各式化为某一个角的三角函数：
① sinx＋ cosx；
②sinx＋ cosx；
③sinx＋cosx．
例2 若等式sinx＋cosx＝ ，能够成立，
求m的取值范围．
例题讲解
例3． 求 的值．
例4．已知sin( ＋ )＝ ，sin( － )＝－ ，
求 的值．(共18张PPT)
三角函数的诱导公式
能否再把 ～ 间的角的三角比，化为
我们熟悉的 ～ 间的角的三角比问题呢？
如果能的话，那么任意角的三角比，都可
以化归为锐角三角比，并通过查表方法而得到
最终解决，本课就来讨论这一问题．
设 ，对于任意一个 到 的角 ，
以下四种情形中有且仅有一种成立．
公式二：
公式三：
公式四：
例题讲解
（3） ；（4） ．
（1） ； （2） ；
求下列三角函数值：
例1
化简： ．
例2
例题讲解
（1） ；（2） ．
求下列各三角函数：
例3
诱导公式小结
前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号，
的三角函数值，等于 的同名函数值，
概括如下： ， ， ，
公式一、二、三、四、都叫做诱导公式．
简化成“函数名不变，符号看象限”的口诀．
利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角
函数,一般按下面步骤进行:
任意负角的
三角函数
任意正角的
三角函数
锐角三
角函数
到 的角
的三角函数
用公式三或一
用公式一
用公式
二或四
填写下表
例4
练习反馈
（1）已知 ，求 的值．
（2）已知 ，求 的值．
公式五：
公式六：
诱导公式总结：
口诀：奇变偶不变，符号看象限
意义：(共12张PPT)
向量的减法
复习回顾：
向量加法的三角形法则
A
C
B
a
b
a
b
a+b
一、向量减法的定义
1、定义：向量a加上向量b的相反向量，叫a与b的差，即a-b=a+(-b)
求两个向量差的运算叫向量的减法
说明：１、与b长度相等、方向相反的向量，叫做b的相反向量
２、零向量的相反向量仍是零向量
３、任一向量和它相反向量的和是零向量
二、向量减法的三角形法则
已知 , 在平面内任取一点O作OA=a,OB=b,则BA= 即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量
O
A
B
a
b
a-b
a
b
a-b
说 明：
向量减法可以转化为向量加法，如图b与a-b首尾相接，根据向量加法的三角形法则有b+(a-b)=a即a-b=CB
例１：
如图，已知向量a,b,c,d,求作向量a-b,c-d.
a
b
c
d
结 论
a
b
c
d
a-b
c-d
O
A
B
C
D
深入理解
两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同（否则无法相减），这样两个向量的差向量是以减向量的终点的字母为起点，以被减向量的终点的字母为终点
例题２
化简 AB-AC+BD-CD
解：原式：=CB+BD-CD=CD-CD=0
化简OA+OC+BO+CO
解：原式=（OA+BO）+（OC+CO）
=（OA-OB）+0=BA
思考：
已知OA=a,OB=b,且|a|=|b|=4,角AOB为600,
(1)求|a+b|,|a-b|
(2)求a+b与a的夹角,a-b与a的夹角
小结
1、理解向量减法的定义
2、掌握向量减法的三角形法则并能加以运用
作业
习题5.2 第1 5 7题(共33张PPT)
一、平面向量复习
⒈定义：
既有大小又有方向的量叫向量．
几何表示法：
用有向线段表示；
字母表示法：
用字母a、b等或者用有向线段
的起点与终点字母 表示．
相等的向量：
长度相等且方向相同的向量．
A
B
C
D
⒉平面向量的加减法与数乘运算
⑴向量的加法：
a
b
a+b
平行四边形法则
a
b
a+b
三角形法则
⑵向量的减法
a
b
a-b
三角形法则
⑶向量的数乘
a
ka
（k>0）
ka
（k<0）
⒊平面向量的加法与数乘运算律
加法交换律：
a＋b＝b＋a
加法结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
数乘分配律：
λ(a＋b)＝λa＋λb
推广
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：
二、空间向量及其加减与数乘运算
⒈空间向量：
空间中具有大小和方向的量叫做向量．
⑴定义：
⑵表示方法：
①空间向量的表示方法和平面向量一样；
③空间任意两个向量都可以用同一平面
内的两条有向线段表示．
②同向且等长的有向线段表示同一向量或
相等的向量；
⒉空间向量的加法、减法与数乘向量
a + b
a
a
a
a
O
P
a
b
A
B
b
C
O
a - b
⒊空间向量加法与数乘向量运算律
⑴加法交换律：
a + b = b + a；
⑵加法结合律：
(a + b) + c =a + (b + c)；
⑶数乘分配律：
λ(a + b) =λa +λb ；
a
b
c
a + b + c
a
b
c
a + b + c
a + b
b + c
对空间向量的加法、减法与数乘向量的说明
⒈空间向量的运算就是平面向量运算的推广．
⒉两个向量相加的平行四边形法则在空间仍
然成立．
⒊空间向量的加法运算可以推广至若干个向
量相加．
推广
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：
A
B
C
D
A’
B’
C’
D’
例1
解：
A
B
C
D
A’
B’
C’
D’
⑶设M是线段CC’的中点，则
解：
A
B
C
D
A’
B’
C’
D’
M
⑷设G是线段AC’靠近点A的
三等分点，则
G
A
B
C
D
A’
B’
C’
D’
M
解：
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，
求满足下列各式的x的值。
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，
求满足下列各式的x的值。
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，
求满足下列各式的x的值。
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
解：
例2：已知平行六面体
ABCD-A1B1C1D1，
求满足下列各式的x的值。
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
解：
A
B
M
C
G
D
练习一：空间四边形ABCD中,M、G分别
是BC、CD边的中点,化简：
A
B
M
C
G
D
(2)原式
练习一：空间四边形ABCD中,M、G分别是BC、CD边
的中点,化简：
A
B
C
D
D
C
B
A
E
练习二：在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面
AC’的中心,求下列各式中的x、y的值.
A
A
B
C
D
D
C
B
E
练习二：在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面
AC’的中心,求下列各式中的x、y的值.
A
B
C
D
D
C
B
A
E
练习二：在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面
AC’的中心,求下列各式中的x、y的值.
平面向量
概念
加法
减法
数乘
运算
运
算
律
定义
表示法
相等向量
减法:三角形法则
加法:三角形法则或
平行四边形法则
空间向量
具有大小和方向的量
数乘:ka,k为正数,负数,零
加法交换律
加法结合律
数乘分配律
小结
加法交换律
数乘分配律
加法结合律
类比、数形结合
数乘:ka,k为正数,负数,零
作业：
课本P27 练习 ⒈ ⒉
a
A
B
C
D
A’
B’
C’
D’
a
例：空间一个平移就是一个向量．
一、平面向量复习
⒈定义：
既有大小又有方向的量叫向量
几何表示法：
用有向线段表示；
字母表示法：
用字母a、b等或者用有向线段
的起点与终点字母 表示．
相等的向量：
长度相等且方向相同的向量
A
B
C
D
a
b
a
b
平行六面体
平行四边形ABCD平移向量 a 到A’B’C’D’的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记作ABCD—A’B’C’D’．
A’
B’
C’
D’
A
B
C
D
a
平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱．(共18张PPT)
据报道：我国用来发射“神舟六号”宇宙飞船推力约为2万牛,每个航天员的质量约为65kg，火箭进入轨道后的速度约为708km/s。上述力、质量、速度这些在生产生活中常见 的量我们如何用数学模型来刻画呢？这个数学模型又有些什么性质与用途呢？
F=20N
V =20km/h
（2）（3）都是有大小和方向的量
m=20kg
(1)
(2)
(3)
观察上述三个量有什么区别？
向量的概念及表示：
1.向量的定义：
2.向量的表示方法：
3.向量的大小：
记作：
4.两个特殊向量：
零向量：
单位向量：
既有大小又有方向的量称为向量.
（或称为 模 ）
指向量的长度
长度为0的向量称为~
长度等于1个单位长度的向量，叫做~
记作：
1）几何表示；
2）代数表示；
向量之间的关系：
5.平行向量的定义：
一组方向相同或相反的非零向量叫做~
我们规定零向量与任一向量平行
两向量的平行与平面几何里两线段的平行有什么区别？
6.相等向量的定义：
长度相等且方向相同的向量叫做~
相反向量的定义：
向量之间的关系：
任意一组平行向量都可以平移到同一直线上
向量之间的关系：
7.共线向量与平行向量的关系：
平行向量就是共线向量
两向量的共线与平面几何里两线段的共线是否一样？
为什么？
例1：已知O为正六边形ABCDEF的中心，
在图中所标出的向量中：
解：
A
B
概念辨析：
×
×
×
×
×
√
×
√
合作探究：
练习：
1.向量的定义：
2.向量的表示方法：
3.向量的大小又称为：
4.两个特殊向量：
零向量：
单位向量：
5.平行向量的定义：
6.相等向量的定义
相反向量的定义：
7.共线向量与平行向量的关系：
小 结：
课后作业：
研究作业：
(1)
用有向线段表示；
(2)
i)用有向线段的起点与终点字母来表示；
ii)用小写的字母来表示；
A（起点）
B（终点）
上述向量还可表示为：
有向线段的长度表示向量的大小
注意：起点一定要写在终点的前面
几何表示：
代数表示：
箭头所指的方向表示向量的方向
两个特殊向量：
2、单位向量：长度为 1 个单位长度的向量。
零向量大小为0，方向不确定的.可以是任意方向.
1
单位向量大小为1，方向不一定相同。
所以零向量只有一个，而单位向量可以有无数个
1、零向量：长度为 0 的向量。记作 0
思考：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，
它们的终点的轨迹是什么图形？
有向线段：
规定了方向（即规定了起点和终点）的线段称为~
通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.
A（起点）
B（终点）
如图：AB叫有向线段
我们现在所研究的向量，与起点位置无关.
所以数学中的向量也叫 自由向量
用有向线段表示向量时，起点可以取任意位置。(共7张PPT)
创设情境
如图，向量a＝(cos45 ，sin45 ）
b＝(cos60 ，sin60 )，试分别
计算a b =|a| |b |cosθ及a b =x1x2+y1y2，比较两次计算
的结果，你能发现什么？
x
y
O
45
60
P1
P2
cos(60 -45 ) = cos60 cos45 +sin60 sin45 ．
问题1 ：这个表达式揭示了哪些角的三角函数间的关系？
揭示了60 和45 的正余弦与15 的余弦之间的关系.
问题2：以上关系能否推广到任意的两个角α与β之间呢？即cos(α－β)能否用α与β的三角函数来表示？
cos(α－β)＝cosαcosβ+sinαsinβ
创设情境
问题3：如何证明
问题4：若借助于向量证明，要
构造怎样的两个向量
令a＝(cosα， sinα)，b＝(cosβ，sinβ)．
a b＝|a| | b |cos(β－α)＝cos(β－α)，
a b＝cosαcosβ＋sinαsinβ，
故cos(α－β) ＝cosαcosβ＋sinαsinβ．
数学理论
x
y
O
P1
P2
数学理论
问题5：如何推导两角和的余弦cos(α＋β)的
公式？
cos(α＋β) ＝ cos(α － （－β） ）
= cosαcos （－ β）+sinαsin（ － β）
=cosαcosβ－sinαsinβ．
两角差的余弦公式
cos(α － β)＝cosαcosβ+sinαsinβ
两角和的余弦公式
cos(α+β)＝cosαcosβ － sinαsinβ
例题讲解
例1．利用两角和（差）的余弦公式证明下列
诱导公式：
（1）cos(－α)＝sinα；
（2）sin(－α)＝cosα．
例2．利用两角和（差）的余弦公式，
求cos75°，cos15°．
例题讲解
例3．利用两角和（差）的余弦公式，化简：
（1） cos cos － sin sin ．
（2） cos(24 ＋x)cos(21 －x) － sin(24 ＋x)
sin(21 －x)．
例4．已知sin ＝ ， ( ，π)，cos ＝ ，
β (π， )，求cos( + )的值．(共11张PPT)
创设情境
问题一：
如何用
sin( ＋ )＝sin cos ＋cos sin ，
推导sin( － )？
创设情境
问题二：
在公式
sin( ＋ )＝sin cos ＋cos sin
中如果用 替换 ，有什么结论？
数学理论
问题三：
你能用类似的方法得出cos2 ，tan2 的公
式吗？
例题讲解
例1 求下列各式的值：
(1) ；
(2) 1－2sin275°；
(3) ；
(4)
(5) ．
例题讲解
点评：灵活运用公式的前提是熟悉公式的各种形式．
例题讲解
例题讲解
点评：使用公式时要积极创造使用公式的条件．
课堂训练
1．(1)已知 是第三象限角，且sin4 ＋cos4 ＝ ，
则sin2 ＝______．
(2)y＝ sin2xcos2x为周期是___的___函数．（填
“奇”或“偶”）
(3)sin ＝ ，则sin2( － )＝_______．
奇
2．已知 ＜ ＜2 ，化简： ．
解：因为 ＜ ＜2 ，所以 ＜ ＜ ．
所以 ＝
＝
＝ ＝－
课后思考(共4张PPT)
3.1两角和与差的三角函数
课本题再现：设向量
试分别计算
比较两次计算的结果，你能发现什么？
发现：
能否用 的三角函数与 的三角函数来表示？
例1 利用两角和（差）的余弦公式证明
下列诱导公式：
例2 利用两角和（差）的余弦公式，求
例3 已知
求 的值。(共13张PPT)
要点·疑点·考点
课 前 热 身
能力·思维·方法
延伸·拓展
误 解 分 析
平面向量的坐标表示
要点·疑点·考点
1.平面向量的坐标表示
(1)a＝(x，y)叫向量的坐标表示，其中x叫a在x轴上的坐标，y叫a在y轴上的坐标.
(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R.
则a+b＝(x1+x2，y1+y2)，
a-b＝(x1-x2，y1-y2)，
λa＝(λx1，λy1)
(3)a∥b(b≠0)的充要条件是x1y2-x2y1＝0
2.线段的定比分点
(1)定义：设P1、P2是直线l上的两点，点P是l上不同于P1、P2的任一点，则存在一个实数λ，使P1P＝λPP2，λ叫点P分有向线段P1P2所成的比，点P叫定比分点.
当λ＝1时， 为中点坐标公式.
(2)公式：设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P1P＝λPP2，则
返回
3.平移
设原坐标P(x，y)按向量a(h，k)平移后得到新坐标
,则
1.设A(x1，y1)、B(x2，y2)是不同的两点，点P(x，y)的坐
标由公式 确定.当λ∈R且λ≠-1
时有( )
(A)P表示直线AB上的所有点
(B)P表示直线AB上除去A的所有点
(C)P表示直线AB上除去B的所有点
(D)P表示直线AB上除去A、B的所有点
课 前 热 身
C
2.若对n个向量a1、a2、…、an，存在n个不全为零的实数k1、k2、…、kn，使得k1a1+k2a2+…+knan=0成立，则称向量a1、a2、…、an为“线性相关”，依此规定，能使a1=(1,0)，a2=(1,-1)，a3=(2,2)“线性相关”的实数k1、k2、k3依次可取的值是 ___________(写出一组数值即可，不必考虑所有情况)
-4，2，1
3.三点A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)共线的充要条件是( )
(A)x1y2-x2y1＝0
(B)(x2-x1)(x3-x1)＝(y2-y1)(y3-y1)
(C)(x2-x1)(y3-y1)＝(x3-x1)(y2-y1)
(D)x1y3-x3y1＝0
C
返回
B
4.若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2)，则c等于( )
5.函数y=x2的图象按向量a=(2,1)平移后得到的图象的函数表达式为( )
(A)y=(x-2)2-1 (B)y=(x+2)2-1
(C)y=(x-2)2+1 (D)y=(x+2)2+1
C
能力·思维·方法
【解题回顾】任何两个不共线的向量都可作为基底，i＝(1，0)，j＝(0，1)分别是直角坐标系横、纵两个方向的单位向量，用i、j表示向量时，xi+yj中的x、y是惟一的，即为向量的(直角)坐标.两个向量用坐标表示时，当且仅当两个向量横、纵坐标分别相等时，两个向量相等.
1.设x、y为实数，分别按下列条件，用xa+yb的形式表示c.
(1)若给定a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(-3，-5)；
(2)若给定a＝(5，2)，b＝(-4，3)，c＝(-3，-5).
【解题回顾】设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若b≠0，则a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.用坐标形式来表示就是a∥b<=>x1y2-x2y1＝0.而x1/x2＝y1/y2是a∥b的充分不必要条件.
2.已知在梯形ABCD中，AB∥CD，A(1，1)，B(3，-2)，C(-3，-7)，若AD∥(BC-2AB)，求D点坐标.
3.已知三点A(1，2)、B(4，1)、C(3，4)，在线段AB上取一点P，过P作直线与BC平行交AC于Q，△APQ与梯形PQCB的面积之比是4∶5，求点P的坐标.
【解题回顾】一般地，函数y＝f(ωx)的图象按a＝(h，k)平移后所得图象的解析式为y-k＝f[ω(x-h)]，即y＝f[ω(x-h)]+k.
返回
4.若函数y＝log2(2x-4)+1的图象按a平移后图象的解析式为y＝log22x，求a.
延伸·拓展
返回
【解题回顾】本题(2)是一道开放题，求解开放题的一般途径是假定命题成立.解出存在的值(如无解，则不存在)，再验证求出的解，如不矛盾，则存在.
5.已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及OP＝OA+tAB，试问：
(1)t为何值时，P在x轴上 在y轴上 P在第二象限
(2)四边形OABP能否成为平行四边形 若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由.
1.利用定比分点解题时，一定要先把定比λ先明确，λ的意义是起点到分点的数量除以分点到终点的数量，不能算错.
2.利用平移公式解题时，一定要分清原坐标与新坐标之间关系.
误解分析
返回
