函数的奇偶性与周期性

函数——奇偶性与周期性
一、要点梳理
1、奇函数、偶函数及其判定
对于函数及其定义域关于原点对称：
①如果对于函数定义域内任意一个，都有 ，那么函数就是偶函数；
②如果对于函数定义域内任意一个，都有 ，那么函数就是奇函数；
③如果一个函数是奇函数（或是偶函数），则称这个函数在其定义域内具有奇偶性。
2、判定函数的奇偶性
判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是：
①考察定义域是否关于
②根据定义域考察表达式是否等于或.
若 ，则为奇函数；
若 ，则为偶函数；
若 ，且 ，则既是奇函数又是偶函数；
若且，则既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数。
3、奇偶函数的性质
①奇函数图像关于 对称；偶函数图像关于 对称；
②若函数在处有意义，则
③奇函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性 ；偶函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性
④若函数为偶函数，则反之也成立。
4、周期函数的概念
①对于函数，如果存在一个 常数，使得当取定义域内的 值时，都有 ，那么函数叫做周期函数，非零常数叫的 ，如果所有的周期中存在一个 ，那么这个 数就叫做的最小正周期。
②设为非零常数，若对定义域内的任意的，恒有下列条件之一成立：
则是 函数， 是它的一个周期（上述式子分母不为零）
二、题型解析
例1 判断下列函数的奇偶性
（5）
（7）
例2 根据奇偶性求解析式
已知是上的奇函数，且当时，，求
例3 抽象函数奇偶性的证明
（1）函数，，若对于任意实数，都有，求证：为奇函数。
（2）设函数定义在上，证明是偶函数，是奇函数。
例4 奇偶性与单调性综合应用
设函数对于任意的，都有，且时,
（1）求证是奇函数；
（2）试问当时，是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说出理由。
例4 函数的周期性
设函数是定义域上的奇函数，对任意实数有成立
（1）证明：是周期函数，并指出周期；
（2）若，求的值
例5 函数周期性与奇偶性的综合应用
（填空）（1）函数为偶函数，则函数的图像的对称轴方程为
（2）已知函数为奇函数且定义域为，时，的解析式为
（3）是定义在上的奇函数，且时，为增函数，则不等式的解集为
（4）函数为奇函数，则函数的图像的对称中心为
（5）已知是定义在上的偶函数，且在为增函数，若，求的取值范围
已知函数的定义域为，且满足
（1）求证：是周期函数；
（2）若为奇函数，且当时，，求使在上的所有的个数。
高考训练
1、设是上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ）
A、是奇函数 B、是奇函数
C、是偶函数 D、是偶函数
2、设函数是奇函数，若，则
3、设函数为奇函数，则，则等于（ ）
A、0 B、1 C、 D、5
4、若函数是定义在上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的取值范围是( )
A、 B、 C、 D、
5、已知定义在上的奇函数满足，则的值为（ ）
A、 B、 C、 D、
6、在上定义的函数是偶函数，且，若在区间上是减函数，则（ ）
A、在区间上是增函数，在区间上是增函数
B、在区间上是增函数，在区间上是减函数
C、在区间上是减函数，在区间上是增函数
D、在区间上是减函数，在区间上是减函数
7、已知函数为奇函数，若，则
8、设是奇函数，则使取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
9、已知定义域为的函数在上为减函数，且函数为偶函数，则（ ）
A、 B、 C、 D、
10、函数，若，则的值为（ ）
A、3 B、0 C、-1 D、-2
11、（2009年湖北八校第一次联考）已知函数是定义为上的奇函数，且它的图像关于直线对称
（1）求证：是周期为4的周期函数；
（2）若，求时，函数的解析式。