1.1.1 探究勾股定理(知识清单+经典例题+夯实基础+提优特训+中考链接)

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名称 1.1.1 探究勾股定理(知识清单+经典例题+夯实基础+提优特训+中考链接)
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资源类型 试卷
版本资源 北师大版
科目 数学
更新时间 2020-07-06 23:30:53

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北师大版八年级数学上册第一章勾股定理
1.1
探索勾股定理
第1课时
探索勾股定理(1)
【知识清单】
一、勾股定理:
1.
文字叙述:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;
2.
字母表示:如果直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.
二、勾股定理的简单应用:
在直角三角形中已知任意两条边的长,运用勾股定理便可求其第三边的长度(直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c),注意勾股定理的变式:(1)
c2=
,(2)
a2=

(3)b2=
.
三、注意事项:
1.分清直角边和斜边;2.灵活运用勾股定理的变式.
【经典例题】
例题1、如图,以直角三角形三边为边长作正方形A、B、C,若正方形A和正方形C的面积分别为36和100,则正方形B的面积是(  )
A.
4
B.
36
C.
64
D.
136
【考点】勾股定理.
【分析】根据两个正方形的面积计算正方形的边长,计算的
边长即为直角三角形的两直角边,根据勾股定理可以计算斜边,
即正方形A的边长,根据边长可以计算A的面积.
【解答】设正方形A的边长为a,正方形B的边长为b,
正方形C的边长为c,
则正方形A的面积为a2=36,
则正方形C的面积为c2=100,
在直角三角形中由勾股定理可得c2=a2+b2,
所以b2=
c2a2=10036=64=82,
正方形B
的面积=直角边长b的平方,
故正方形B的面积为64,
故选
C.
【点评】本题考查了正方形的面积和勾股定理变式,本题根据勾股定理求另一条直角边的长是解本题的关键.
例题2、如图,隔湖有两点A、B,为了测得A、B两点间的距离,过点B作BC⊥AC,垂足为C,若测得AC=120m,CB=50m,(1)
A、B两点间的距离是______m;(2)你能求出C点到直线AB的最短距离是多少吗?
【考点】勾股定理.
【分析】?(1)
根据勾股定理即可求得结果;
(2)由三角形的面积便可求得.
【解答】(1)在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,
根据题意得:AB2=AC2+BC2=1202+502=16900=1302,
则AB=130
(m)

所以A、B两点间的距离是130m;
(2)过点C作CD⊥AB于点D,则CD是Rt△ABC斜边上的高,
CD的长度就是点C到AB的最短的距离.
设△ABC的面积为S△ABC,则S△ABC=AC·BC=AB·CD
所以120×50=130BD,解得CD=(m),
C点到直线AB的最短距离是m.
【点评】解答本题的关键是熟练掌握勾股定理和三角形的面积求法:即任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方,同一个三角形的面积不变.
【夯实基础】
1、已知直角三角形的三边的平方和为50,则斜边为(  )
A.5???
B.10??
C.15??
??D.25
2、如图,一个圆的直径恰为直角三角形的一条直角边,那么该圆的面积为(  )
A.?12π???
B.18π???
C.?36π??
??D.?
72π
3、△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:1:2,a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边,则有
(  )
A.b2
+c2=a2
B.c2
=4b2
C.4a2
=3b2
D.c2
=2b2
4、若一个直角三角形的一条直角边为9cm,另一条直角边比斜边短1cm,则该直角三角形的面积为
(  )
A.45
cm2
B.90
cm2
C.120
cm2
D.180
cm2
5、如图,已知在Rt△ABC中,
∠C=90°,a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边.
(1)如果a=9,b=12,则c=

(2)如果b=12,c=13,则a=

(3)a=8,c=b+4,则b=
;c=
.
6、若直角三角形两直角边的比为3:4,斜边长为20,则此三角形的斜边上的高将斜边分
成长度

的两部分.
7、在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=8,求BC边上的高AD的长.
8、在一块平地上,张大爷家屋前9米远处有一棵大树.在一次强风中,这棵大树从离地面6米处折断倒下,量得倒下部分的长是10米.出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到.大树倒下时能砸到张大爷的房子吗?
请你通过计算、分析后给出正确的回答.
9、如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,∠DBC=90°,AD=6,AB=8,BC=24.
(1)求DC的长;
(2)求四边形ABCD的面积.
【提优特训】
10、小明和小刚家分别在学校的正北与正西方向上,放学后,他们分别以每分钟80?m和每分钟60?m的速度回家,10分钟后两人相距(  )
A.1km
B.10km
C.60km
D.80km
11、如图,在四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90°,AB=AD,BC=16,DC=12,则四边形ABCD
的面积为(  )
A.96
B.196
C.200
D.278
12、已知在Rt△ABC中,a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边,且(a+b)(a-b
)=c2,则下列说法不正确的是(
)
A.∠A为直角?????
?B.a为斜边????
?
C.c?为斜边???
?
???D.b、c为直角边
13、如图,在长方形纸片ABCD中,AB=12,BC=9,点E在AB上,将△DAE沿DE折叠,使点A落在对角线BD上的点A′处,则AE的长为(
)
A.
B.4
C.5
D.
14、在△ABC中,AB⊥BC于点B,AB=4,BC=3,以点A为圆心,AB的长为半径画弧,交AC于点D,则DC的长为
.
15、在Rt△ABC中,a、b为直角边,c为斜边,若一条边是另一条边的2倍,则该三角形的三条之间的所有等量关系为
.
16、如图,某公园有一块长方形花圃,极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“斜路”,践踏了花草,影响了美观!(1)求这条“斜路”AB的长;(2)若正常步行时,每步的步长为0.5米,则他们仅仅少走了几步?
17、探究:
如图,如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF,再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH,如此下去,…,已知正方形ABCD的面积S1为1,按上述方法所作的正方形的面积依次为S2,S3,…,Sn(n为正整数).根据题意解答下列问题:
(1)第4个正方形的面积S5=___________;
第9个正方形的面积S9=___________;
(2)求S1+S2+S3+…+Sn的值.
18、如图在△ABC中,AB=20,BC=21,AC=13,求△ABC的面积.
?
?
【中考链接】
19、(2019?四川宜宾)如图,四边形ABCD是边长为5的正方形,E是DC上一点,DE=1,将△ADE绕着点A顺时针旋转到与△ABF重合,则EF2=(
)
A.41
B.42
C.50
D.52
20、(2019?黔东南)如图点E在正方形ABCD的边AB上,若EB=1.EC=2,那么正方形ABCD的面积为
.
参考答案
1、A
2、C
3、D
4、D
5、(1)15,(2)5,(3)
6、10
6、7.2、12.8
10、A
11、B
12、C
13、D
14、1
15、c2=5a2或c2=5b
2或a2=3b
2或
b2=3a
2
19、D
20、3
7、在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=8,求BC边上的高AD的长.
解:如图,∵AD是△ABC的BC边上的高,
∴AD⊥BC于点D,
∵AB=AC,
∴AD垂直平分BC,
∴BD=CD=BC=4,
在Rt△ABD中,AD2=AB2BD2=5242=9=32,
∴AD=3,
∴BC边上的高AD的长为3.
8、在一块平地上,张大爷家屋前9米远处有一棵大树.在一次强风中,这棵大树从离地面6米处折断倒下,量得倒下部分的长是10米.出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到.大树倒下时能砸到张大爷的房子吗?请你通过计算、分析后给出正确的回答.
解:如图所示,AB=10米,AC=6米,
根据勾股定理得,BC2=AB2AC2=
10262=64=82,
∴BC=8(米).
∵8米<9米,
∴大树倒下时一定不会砸到张大爷的房子.
9、如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,∠DBC=90°,AD=6,AB=8,BC=24.
(1)求DC的长;
(2)求四边形ABCD的面积.
解:(1)在Rt△ABD中,AD=6,AB=8,
∴BD2=AB2+AD2=82+62=100=102,
∴BD=10.
在Rt△DBC中BD=10,BC=24,
∴DC2=BD2+BC2=102+242=676=262,
∴DC=26.
(2)四边形ABCD的面积=Rt△ABD的面积+Rt△DBC的面积
=AB·AD+BD·BC
=×6×8+×10×24
=144.
16、如图,某公园有一块长方形花圃,极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“斜路”,践踏了花草,影响了美观!(1)求这条“斜路”AB的长;(2)若正常步行时,每步的步长为0.5米,则他们仅仅少走了几步?
解:(1)在Rt△ABC中,∠ACB=90°
根据勾股定理,得:AB2=AC2+BC2
=62+82=100=102,
∴AB=10(m),
答:这条“斜路”AB的长为10m,
(2)∵正常步行时,每步的步长为0.5米,
若走AB
则用10÷0.5=20(步),
若走AC+BC.
则用(6+8)
÷0.5=28(步),
∴2820=8(步).
答:若正常步行时,他们仅仅少走了8步.
17、探究:
如图,如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF,再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH,如此下去,…,已知正方形ABCD的面积S1为1,按上述方法所作的正方形的面积依次为S2,S3,…,Sn(n为正整数).根据题意解答下列问题:
(1)第4个正方形的面积S5=___________;第9个正方形的面积S9=___________;
(2)求S1+S2+S3+…+Sn的值.
解:(1),



……
.
∴,;
(2)由S1+S2+S3+…+Sn=1+2+22+…+①.
则2(S1+S2+S3+…+Sn)=2(1+2+22+…+)
=2+22+23+…+②
②-①得:S1+S2+S3+…+Sn=-1.
18、如图在△ABC中,AB=20,BC=21,AC=13,求△ABC的面积.
?
?
解:过点A作AD⊥BC于点D,则AD为△ABC的边BC上的高,
设BD=x,则DC=BCBD=21x,
在Rt△ABD中,AD2=AB2BD2,即AD2=202x2,
在Rt△ACD中,AD2=AC2CD2,即AD2=132(21x)2,
∴202x2=132(21x)2,
解得x=16,
∴AD2=202x2=202162=144,
∴AD=12,
∴△ABC的面积=BC·AD=×21×12=126.
?
第8题图
第20题图
第19题图
第5题图
第8题图
第11题图
第7题图
第14题图
第18题图
第18题图
第17题图
第16题图
第9题图
第17题图
第13题图
例题1图
第2题图
第9题图
第18题图
例题2图
第16题图
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精品试卷·第
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