江苏省南京市秦淮中学2019-2020学年高二下学期期末模拟（四）数学试题 Word版含答案

南京市秦淮中学2019～2020学年高二下期末测试（模拟卷四）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1．设集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．在复平面内，已知复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知向量，,,则(
)
A．
B．
C．5
D．25
4．有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（
）．
A．
B．
C．
D．
6．若，则“”是
“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
7．已知函数，设，，，则，，的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知直线与抛物线相交于A、B两点，F为C的焦点，若,则k=(
)
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9．函数的图象过点，则结论不成立的（
）
A．点是的一个对称中心
B．直线是的一条对称轴
C．函数的最小正周期是
D．函数的值域是
10．某城市收集并整理了该市2019年1月份至10月份各月最低气温与最高气温(单位：℃)的数据，绘制了下面的折线图.已知该城市各月的最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据折线图，下列结论正确的是（
）
A．最低气温与最高气温为正相关
B．10月的最高气温不低于5月的最高气温
C．月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在1月
D．最低气温低于0
℃的月份有4个
11．已知函数，则下列结论正确的是（）
A．函数存在两个不同的零点
B．函数既存在极大值又存在极小值
C．当时，方程有且只有两个实根
D．若时，，则的最小值为
12．如图，将边长为的正方形沿对角线折起，得到三棱锥，则下列命题中，正确的是(
)
A．直线平面
B．三棱锥的外接球的表面积是
C．
D．若为的中点，则平面
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是
.
14．定义运算“”：（）.当时，的最小值是
.
15．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________．
16．如图，三棱锥中，
，点分别是的中点，则异面直线所成的角的余弦值是________．
南京市秦淮中学2019～2020学年高二下期末测试（模拟卷四）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1
2
3
4
5
6
7
8
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9
10
11
12
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13：_______________;
14
:
______________;
15：______________;
16
:__________________;
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(10分)等比数列的各项均为正数，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设
，求数列的前项和.
18．（10分）的内角的对边分别为，已知．
（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
19．（12分）已知矩形，面，分别是的中点，设，．
（1）证明：；
（2）求二面角的大小．
20某汽车公司生产新能源汽车，2019年3-9月份销售量（单位：万辆）数据如下表所示：
月份
3
4
5
6
7
8
9
销售量（万辆）
3.008
2.401
2.189
2.656
1.665
1.672
1.368
（1）某企业响应国家号召，购买了6辆该公司生产的新能源汽车，其中四月份生产的4辆，五月份生产的2辆，6辆汽车随机地分配给A，B两个部门使用，其中A部门用车4辆，B部门用车2辆.现了解该汽车公司今年四月份生产的所有新能源汽车均存在安全隐患，需要召回.求该企业B部门2辆车中至多有1辆车被召回的概率；
（2）经分析可知，上述数据近似分布在一条直线附近.设关于的线性回归方程为，根据表中数据可计算出，试求出的值，并估计该厂10月份的销售量.
21．（12分）设椭圆：的左，右焦点分别为，，其离心率为，过的直线与
C
交于两点，且的周长为．
（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的上顶点为，证明：当的斜率为时，点在以为直径的圆上．
22．（14分）已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）证明：当时，；
（Ⅲ）确定实数的所有可能取值，使得存在，当时，恒有．
南京市秦淮中学2019～2020学年高二下期末测试（模拟卷四）
答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1．设集合，则（
c
）
A．
B．
C．
D．
2．在复平面内，已知复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则（
c
）
A．
B．
C．
D．
3．已知向量，,,则(
c
)
A．
B．
C．5
D．25
4．有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则（
D
）
A．
B．
C．
D．
5．已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（
D
）．
A．
B．
C．
D．
6．若，则“”是
“”的（
A
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
7．已知函数，设，，，则，，的大小关系为（
C
）
A．
B．
C．
D．
8．已知直线与抛物线相交于A、B两点，F为C的焦点，若,则k=(
D
)
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9．函数的图象过点，则结论不成立的（
ABC
）
A．点是的一个对称中心
B．直线是的一条对称轴
C．函数的最小正周期是
D．函数的值域是
10．某城市收集并整理了该市2019年1月份至10月份各月最低气温与最高气温(单位：℃)的数据，绘制了下面的折线图.已知该城市各月的最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据折线图，下列结论正确的是（
ABC
）
A．最低气温与最高气温为正相关
B．10月的最高气温不低于5月的最高气温
C．月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在1月
D．最低气温低于0
℃的月份有4个
11．已知函数，则下列结论正确的是（ABC）
A．函数存在两个不同的零点
B．函数既存在极大值又存在极小值
C．当时，方程有且只有两个实根
D．若时，，则的最小值为
12．如图，将边长为的正方形沿对角线折起，得到三棱锥，则下列命题中，正确的是(
AB
)
A．直线平面
B．三棱锥的外接球的表面积是
C．
D．若为的中点，则平面
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是
96
.
14．定义运算“”：（）.当时，的最小值是
.
15．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为________2____．
16．如图，三棱锥中，
，点分别是的中点，则异面直线所成的角的余弦值是________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(10分)等比数列的各项均为正数，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设
，求数列的前项和.
【解析】（1）设数列{an}的公比为q,由＝9a2a6得＝9,所以q2＝．
由条件可知q＞0,故q＝．由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1,所以a1＝．
故数列{an}的通项公式为an＝．
（Ⅱ）bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－（1＋2＋…＋n）＝－．
故．
所以数列的前n项和为
18．（10分）的内角的对边分别为，已知．
（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
【解析】根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得．
，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以.
(2)因为是锐角三角形，由（1）知，得到，
故，解得.
又应用正弦定理，，
由三角形面积公式有：
.
又因,故，
故.
故的取值范围是
19．（12分）已知矩形，面，分别是的中点，设，．
（1）证明：；
（2）求二面角的大小．
【解析】
解法一（1）接，交于点，连，，可得，，可得面，从而可证明结论.
（2）根据条件，面,则，又是矩形，则，可得面,所以，所以就是二面角的平面角，再根据，可求得答案.
解法二，建系（1）利用空间向量数量积计算证明，（2）先求两平面法向量，再根据法向量夹角与二面角关系得结果.
【详解】
（1）如图连接，交于点，
因为是矩形，所以是与的中点，再连，．
因为分别是的中点，
所以，
所以．
又因为面，所以面，
．
又因为面，面，所以面，
而面，所以．
（2）因为面,则
是矩形，则,又
所以面,所以
所以就是二面角的平面角，
因为且所以，
故二面角的平面角为．
解法二：
（1）证明：如图，以为原点，分别以为轴建立平面直角坐标系，
则，，，，
，，，
，，
．
（2）由（1）知，，
，，
可知平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则，
解得．
设二面角的平面角为，
则，
故二面角的平面角为．
20．（12分）某汽车公司生产新能源汽车，2019年3-9月份销售量（单位：万辆）数据如下表所示：
月份
3
4
5
6
7
8
9
销售量（万辆）
3.008
2.401
2.189
2.656
1.665
1.672
1.368
（1）某企业响应国家号召，购买了6辆该公司生产的新能源汽车，其中四月份生产的4辆，五月份生产的2辆，6辆汽车随机地分配给A，B两个部门使用，其中A部门用车4辆，B部门用车2辆.现了解该汽车公司今年四月份生产的所有新能源汽车均存在安全隐患，需要召回.求该企业B部门2辆车中至多有1辆车被召回的概率；
（2）经分析可知，上述数据近似分布在一条直线附近.设关于的线性回归方程为，根据表中数据可计算出，试求出的值，并估计该厂10月份的销售量.
【答案】（1）（2）；该厂10月份销售量估计为1.151万辆.
【解析】（1）设某企业购买的6辆新能源汽车，4月份生产的4辆车为，，，；5月份生产的2辆车为，，6辆汽车随机地分配给两个部门.部门2辆车可能为（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，，（，），（，）共15种情况；其中，至多有1辆车是四月份生产的情况有：（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，）共9种，所以该企业部门2辆车中至多有1辆车被召回的概率为.
（2）由题意得，.因为线性回归方程过样本中心点，所以，解得.当时，，即该厂10月份销售量估计为1.151万辆
21．（12分）设椭圆：的左，右焦点分别为，，其离心率为，过的直线与
C
交于两点，且的周长为．
（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的上顶点为，证明：当的斜率为时，点在以为直径的圆上．
【解析】（1）的周长等于
，
所以，从而．因为，所以，即，
椭圆的方程为.
（2）由（1）得，．设，
，依题意，的方程为，
将的方程代入并整理，可得，所以，．
所以，
综上，
点在以为直径的圆上.
22．（14分）已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）证明：当时，；
（Ⅲ）确定实数的所有可能取值，使得存在，当时，恒有．
【解析】：（1）得.
得，解得
故的单调递增区间是
（2）令,
则有
当时，
所以在上单调递减，
故当时，，即当时，
（3）由（Ⅱ）知，当时，不存在满足题意．
当时，对于，有则
从而不存在满足题意．
当时，令，
由得，．
解得
当时，，故在内单调递增．
从而当，即
综上吗，k的取值范围是