2020年秋人教版数学九年级下册期末复习：第二十八章锐角三角函数 课件（图片版共43张PPT）

(共43张PPT)
期末复习课件
锐角三角函数
本章知识梳理
1.
利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），知道30°、45°、60°角的三角函数值.
2.
会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角.
3.
能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题.
考纲要求
知识梳理
锐角三角函数的定义及相关
计算
在直角三角形中，当锐角A的大小确定时，∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA；
在直角三角形中，当锐角A的大小确定时，∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA；
在直角三角形中，当锐角A的大小确定时，∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA.
特殊角的三角函数值：
解直角三角形
由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形.
如图M28-1，在Rt△ABC中，∠C=90°，则①三边之间的关系:
解直角三角形
的应用
解直角三角形的应用问题的一般过程：
①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）；
②根据题目已知特点，选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案.
易错点
本章易错点归总
一、由于特殊角的三角函数值较多，在记忆时，有的同学没有准确记清或记混特殊角的三角函数值，从而导致解题出错.
【例1】sin60°等于
（
）
A.
B.
C.
D.
易错提示：学生往往记错记混sin30°与sin60°，tan30°与tan60°，防止此类错误的方法：一是用数形结合的思想，二是掌握锐角三角函数的增减性.
正解：借助如图M28-2的图形，运用正弦定义，可以直接得到sin60°=
.
答案：B
学以致用
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=
，则∠A的度数是
（　　）
A.
30°
B.
45°
C.
60°
D.
90°
2.计算：tan45°sin45°-2sin30°cos45°.
A
易错点
二、用三角函数计算或在解直角三角形的应用题时，题目没有说明在直角三角形中，学生不去添加辅助线构造直角三角形，而粗心大意，片面地认为题目就是在直角三角形中，忽视了“在直角三角形”这个前提条件.
【例2】在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c，且a:b:c=3:4:5，试证明：sinA+sinB=
.
易错提示：此题易错之处是没有说明∠C=90°，而直接将△ABC当做直角三角形，应用正、余弦函数的定义进行证明，容易得出如下错误：
学以致用
3.如图M28-3，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则tanC的值是
（　　）
A.
B.
C.
D.
A
4.
如图M28-4，在△ABC中，cosB=
，sinC=
，AC=10，求△ABC的面积.
解：如答图，过点A作AD⊥BC于点D.
依题意，得
AD=AC·sinC=10×
=6,
∴CD=8.
∵cosB=
,∴∠B=∠BAD=45°.
∴BD=AD=6.
∴BC=BD+CD=14.
∴S△ABC=
BC·AD=42.
易错点
三、在题目没有给出图形时，容易忽略分类讨论，出现漏解情况，从而导致出错.
【例3】如果方程x2-4x+3=0的两个根分别是Rt△ABC的两条边长，Rt△ABC的最小角为∠A，那么tanA=__________.
易错提示：由方程x2-4x+3=0，解得x1=1,x2=3，至此，学生易粗心大意，立即得到tanA=
.
由于题目中既没有指明哪个角是直角，也没有指明哪条边是斜边，所以，应分类讨论，不能出现漏解的情况.
正解：由方程x2-4x+3=0,解得x1=1,x2=3.
①当3为直角边长时，tanA=
;
学以致用
5.已知在△ABC中，BC=6，AC=
，∠A=30°，则AB的长是__________.
6或12
一、锐角三角函数的定义
1.
在△ABC中，∠C=90°，则下列等式成立的是（
　）
A.
B.
C.
D.
2.
在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AB=2，则∠A的余弦值等于
（　　）
A.
B.
C.
D.
考点1
锐角三角函数
B
A
3.
如图M28-5，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，
则tan∠ABC=_________.
4.
如图M28-6，△ABC的顶点是
正方形网格的格点，则tanA的值
为_________.
5.
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,a=2，b=1，求∠A的三个三角函数值.
6.
如图M28-7，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上的一点，CD=3，AD=BD=5，求∠A的三个三角函数值.
二、利用锐角三角函数求边长
7.
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，AC=3，则AB的长可以表示为
（　　）
A.
B.
C.3sinα
D.
3cosα
A
8.
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，cosA的值等于
，则AB的长度是
（　
）
A.
3
B.
4
C.
5
D.
9.
在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，sinA=
，则
斜边AB边上的高CD的长为__________.
10.
已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=37°，则BC的长为_______.（提示：tan∠B=0.75，sin∠B=0.6，cos∠B=0.8）
D
4
11.
在△ABC中，∠C=90°，BC=24
cm，cosA=
，求这个三角形的周长.
解：可设AC=5x
cm，AB=13x
cm，则BC=12x
cm.
由12x=24，得x=2.
∴AB=26
cm，AC=10
cm.
∴△ABC的周长为10+24+26=60（cm）.
12.
如图M28-8，在△ABC中，∠ACB=90°，sinA=
，BC=8，D是AB的中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E.
（1）求线段CD的长；
（2）求cos∠ABE的值.
一、特殊角的三角函数值
1.
sin30°的值为
（　　）
A.
B.
C.
D.
2.
计算：cos245°+sin245°=
（　　）
A.
B.
1
C.
D.
考点2
特殊角的三角函数值
D
B
3.
如图M28-9，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交
于点C，画射线OC，则sin∠AOC的值为__________.
4.
比较大小：sin30°_______sin45°.（填“>”“<”或“=”）
5.
计算：2cos230°-2sin60°×cos45°.
6.
计算：
.
＜
解：原式=
.
解：原式=
－1.
二、利用特殊角的三角函数值求角度
7.
在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且cosA=
，sinB=
，则△ABC是
（　　）
A.
直角三角形
B.
钝角三角形
C.
锐角三角形
D.
不能确定
8.
已知∠C=75°，则∠A与∠B满足以下哪个选项才能构成△ABC？
（　　）
A.
B.
C.
D.
B
C
9.
若sinα=
，则锐角α=__________.
10.
若tan(α+10°)=
，则锐角α的度数是________.
11.
已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,3a＝
b，求∠B的度数.
45°
50°
12.
如图M28-10，在锐角三角形ABC中，AB=6，AD是BC边上的高，BD=3，AC=
，求∠C的度数.
1.
在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=
，AC=6
cm，则BC的长度为
（　　）
A.
6
cm
B.
7
cm
C.
8
cm
D.
9
cm
2.
如图M28-11，以原点O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是
上一点（不与A，B重合），连接OP，设∠POB=α，则点P的坐标是
（　　）
A.
（sinα，sinα）
B.
（cosα，cosα）
C.
（cosα，sinα）
D.
（sinα，cosα）
考点3
解直角三角形
C
C
3.
如图M28-12，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=15，tanA=
，则AB=__________.
4.
如图M28-13，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，tanA=
，则AC的长是________.
17
8
5.
如图M28-14，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°.
若CD=2，AB=6，则S△ABD=_____________.
6.
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,a=3，b=
，解这个直角三角形.
解：∠A=30°，∠B=60°，c=6.
7.
如图M28-15，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D.如果AC=
，且tan∠ACD=2，求AB的长.
解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠B=∠ACD.
∵tan∠ACD=2，∴tan∠B=
＝2.
∴BC＝
.
由勾股定理，得AB=5.
8.
如图M28-16，在△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且b=
，∠A的平分线AD=
，解这个直角三角形.
解：
依题意，得
cos∠CAD=
，
∴∠CAD=30°.
∵AD是∠CAB的平分线，
∴∠CAB=60°.
∴∠B=30°.
∴AB=2AC=
.
∴BC=
.
1.
如图M28-17，小华、小迪两家住在同一小区两栋相对的居民楼里，他们先测了两栋楼之间的距离BD为48
m，从小华家的窗户E处测得小迪家所住居民楼顶部C的仰角为30°，底部D的俯角为45°.
请你求
出小迪家所住居民楼的高度.
（结果
精确到1
m;参考数据：
≈1.4，
≈1.7）
考点4
解直角三角形的应用
解：由题意,得四边形EBDF为矩形，
∴EF=BD=48
m.
在Rt△ECF中，tan∠CEF=
，
∴CF=48×
=
（m）.
在Rt△EFD中，∠FED=45°，
∴DF=EF=48
m.
∴CD=CF+FD=
+48≈75（m）.
答：小迪家所住居民楼的高度约为75
m.
2.
如图M28-18，汽车在一条南北走向的公路上以每小时60
km的速度匀速向北行驶.
当汽车在A处时，某信号塔C在它的北偏西30°方向，汽车前行2
min,到达B处，此时信号塔C在它的北偏西45°方向.
（1）求AB的距离；
（2）求信号塔C到该公路的距离.
（
≈1.73，结果精确到0.1
km）
解；（1）AB=60×
=2（km）.
（2）如答图M28-3，过点C作CD⊥AB于点D.
设CD=x，则在Rt△ACD和
Rt△BCD中，
∵∠CAD=30°，∠CBD=45°，
∴AD=
x，BD=x.
∵AB=AD-BD=2，
∴
x-x=2.
∴x=
≈2.7（km）.
答：信号塔C到该公路的距离约为2.7
km.
3.
如图M28-19，四边形ABCD是某水库大坝的横截面示意图，坝高8
m，背水坡的坡角为45°，现需要对大坝进行加固，使上底加宽2
m，且加固后背水坡的坡度i=1∶2，求加固后坝底增加的宽度AF的长.
解：如答图M28-4，分别过点E，D作EG⊥AB，DH⊥AB交AB于点G，H.
∵四边形ABCD是梯形，且AB∥CD，
∴DH平行且等于EG.
∴四边形EGHD是矩形.∴ED=GH=2.
在Rt△ADH中，
,
在Rt△FGE中，
，
∴FG=2EG=16（m）.
∴AF=FG+GH-AH=16+2-8=10（m）.
答：加固后坝底增加的宽度AF的长是10
m.
4.
如图M28-20，一艘轮船在A处测得灯塔P在船的北偏东30°的方向，轮船沿着北偏东60°的方向航行16
km后到达B处，这时灯塔P在船的北偏西75°的方向.
求灯塔P与B之间的距离.（结果保留根号）
图M28-20
解：如答图M28-5，过点P作PH⊥AB于点H.
由题意,得∠PAB=30°，∠PBA=45°，
设PH=x，则AH=
x，BH=x，PB=
x.
∵AB=16，
∴
x+x=16.
解得x=
-8.
∴PB=
答：灯塔P与B之间的距离为
km.
谢谢