15．5．2．1 公式法（一）学案
学习目标：（1）应用平方差公式分解因式
(2) 灵活应用公式和提公因式法分解因式，并理解因式分解的要求．
一．提出问题，创设情境
问题1：你能叙述多项式因式分解的定义吗？
问题2：运用提公因式法分解因式的步骤是什么？
问题3：你能将a2-b2分解因式吗？你是如何思考的？
分析：要将a2-b2进行因式分解，可以发现它_________公因式，不能用提公因式法分解因式，但我们还可以发现这个多项式是两个数的__________形式，所以用平方差公式可以写成如下形式： 符号语言： _______________________
文字语言：_______________________
说明：多项式的乘法公式的逆向应用，就是多项式的因式分解公式，如果被分解的多项式符合公式的条件，就可以直接写出因式分解的结果，这种分解因式的方法称为运用公式法．
二、小组讨论 合作交流
观察 平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）的项、指数、符号有什么特点？
（1）左边是____项式，每项都是______的形式，两项的符号________．
（2）右边是两个多项式的积，一个因式是两数的和，另一个因式是这两数的差．
（3）在乘法公式中，“平方差”是计算结果，而在分解因式,“平方差”是分解因式的多项式．
由此可知如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式．
三、自主学习
1、把一个单项式写成平方的形式．（1）4a2=（ ）2；（2） b2=（ ）2 ；
（3）0.16a4=（ ）2；（4）1.21a2b2=（ ）2；
2、分解因式：（1）4x2－9 （2）（x+p）2－（x+q）2
分析：(1）中的_____，（2）中的______相当于平方差公式中的a；（1）中的_____（2）中的_______相当于平方差中的b，进而说明公式中的a与b可以表示一个 数，也可以表示一个单项式，甚至是多项式。
理解因式分解的要求是：必须进行到多项式的因式不能再分解为止．
因式分解：（1）x4-y4 （2）a3b-ab
四、小试牛刀:1、口答 ① x2-4=________ ②9-t2=_________
2、下列多项式能用平方差公式因式分解吗？
①x2+y2 （ ） ②x2-y2 （ ） ③-x2+y2 （ ） ④-x2-y2（ ）
3、把下列各式分解因式
(1) 9a2-4b2 (2) x2y-4y (3) -a4+16
(4) 1-36b2 (5) 12x2-3y2 (6) 0.49p2 –144
(2x+y) 2-( x+2y)2 （8）36（x+y）2-49（x-y）2
（9）（x-1）+b2（1-x） （10）（x2+x+1）2-1
五、课时小结: 1．如果多项式各项含有公因式，则第一步是提出这个公因式．
2．如果多项式各项没有公因式，则第一步考虑用公式分解因式．
3．第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式．直到每个多项式因式都不能分解为止．(共46张PPT)
因式分解
平方差公式
问题:什么叫多项式的因式分解
把一个多项式的化成了几个整式的积的形式，象这样的式子变形叫做这个多项式因式分解
问题:运用提公因式法分解因式的步骤是什么
(1)找出多项式的公因式
(2)提出公因式，把多项式写成因式乘积的形式
把下列各式因式分解：
(1) ax - ay
(2) 9a2 - 6ab+3a
(3) 3a(a+b)-5(a+b)
(4) ax2 - a3
= a( x – y )
=3a(3a-2b+1)
=(a+b)(3a-5)
=a(x2-a2)
=a(x+a)(x-a)
学习目标
1.使学生了解运用公式法分解因式的意义；
2.经历通过整式乘法的平方差公式逆向得出分解因式的方法的过程，发展逆向思维和推理能力；
3.会用平方差公式分解因式。
预习成果汇报
平方差公式：
(a+b)(a-b)=a -b
a -b =(a+b)(a-b)
整式乘法
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积
（1）4a2=（ ）2
（2） b2=（ ）2
（3）0.16a4=（ ）2
（4）1.21a2b2
=（ ）2
把一个单项式写成平方的形式．
±2a
±0.4a2
±b
±1.1ab
（1）4x2－9
（2）（x+p）2－（x+q）2
分解因式
4x2－9
解：
＝（2x）2－32
＝(2x＋3)(2x － 3)
解：
尝试练习
（2）– a2 + 16
解：原式
解：
例:(1) x4–y4
=(x2)2– (y2)2
=(x2+y2)(x2-y2)
=(x2+y2)(x+y)(x-y)
因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
例:(2) a3b-ab
解: a3b-ab
=ab(a2-1)
=ab(a+1)(a-1)
如果多项式各项含有公因式，则第一步是提出这个公因式．
跟踪练习
把下列各式分解因式：
把下列各式分解因式：
解：原式
解：原式
把下列多项式分解因式：
解：原式
解一：原式
解二：原式
当我们进行因式分解时，
一、如果多项式各项含有公
因式，一般先提出公因式；
二、分解因式必须分解到每一
个因式都不能再分解为止。
本节课你有什么收获？有何疑惑？
小结
1、因式分解的一个重要工具———平方差公式
2、我们在进行因式分解时应注意 的问 题
课堂测验
学案第三大题的（1）
（3）（5）（7）（9）
小题
课本200页习题15.5
第2大题（作业本）
例4 分解因式：
解：原式
６．
解：原式
在如图所示的圆环中，外圆半径R=9.5cm，
内圆半径r=8.5cm，求圆环（阴影部分）的面积（ 取3.14，结果保留三个有效数字）
r
R
分析：圆环（阴影部分）的
面积=
１、 – a4 + 16
2、 4(a+2)2 - 9(a - 1)2
3、 (x+y+z)2 - (x-y-z)2
4、 (a-b)n+2 - (a-b)n
因式分解：
把下列各式分解因式
⑴ x2－y2 ⑵ 1－m2
⑶ －a2＋b2 ⑷ x2－y2
⑸ －9＋16x2 ⑹ x2－9y2
⑺ 4x2－9y2 ⑻ 0.09a2－4b2
⑼ 0.36x2－y2 ⑽ x4－y2
⑾ x2y2－z2 (12) x2－(x－y)2
(13) 9(x－y)2－y2
(14) (x＋2y)2－(2x－y)2
(15) 16(a＋b)2－9(a－b)2
(16) (a2＋b2)2－a2b2
2、设n为整数，用因式分解说明(2n+1)2 - 25能被4整除。
3、若a、b、c是三角形的三边长且满足
(a－b)2＋(a－c)2=0,则此三角形是（ ）
A、等腰三角形 B、等边三角形
C、直角三角形 D、不能确定
1、运用简便方法计算：
1 、 20032 – 9
观察下列各式：1–9 = - 8,
4-16= -12,9-25=-16,
16-36= -20 ······
（1）把以上各式所含的规律用含n(n为正整数）的等式表示出来。
（2）按照（1）中的规律，请写出第 10个等式。
例2 把下列各式分解因式：
解一：原式
例2 把下列各式分解因式：
解二：原式
二者是否相等？
５．
解：原式
–y4+x4
= x4-y4
=(x2+y2)(x2-y2)
=(x2+y2)(x+y)(x+y)
判断下列变形过程，哪个是因式分解？
(1) (x-2)(x+2)=x2- 4
(2) x2-4= (x-2)(x+2)
(3) x2- 4+3x=(x+2)(x-2)+3x
(4) 7m-7n-7=7(m-n-1)
加深拓展
４．
解：原式
解：原式
练习：
下列多项式能否用平方差公式来分解因式？
(2)(3)能，
(1)(4)不能
(1) x2 + y2
(2) x2 - y2
(3) -x2+y2
(4) -x2 - y2
