11.3.2 多边形的外角课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
人教版
八年级数学上
11.3.2
多边形的内角和
学习目标
1.掌握多边形的内角和与外角和公式.（重点）
2.学会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题.（难点）
回顾旧知
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.
1.什么是多边形？
3.从n边形的一个顶点出发，可以引出_______条对角线，将多边形
分割成了________个三角形.
2.什么是多边形的对角线？
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
n－3
n－2
合作探究---多边形内角和
思考1：三角形的内角和等于180°，长方形、正方形的内角和都等于______.
任意四边形的内角和是否也等于360°呢？你能用三角形内角和证明四边形的内角和等于360
？
360°
合作探究---多边形内角和
方法1：如图，连接AC,
所以四边形被分为两个三角形，
所以四边形ABCD内角和为
180°×2=360°.
A
B
C
D
想一想，还有别的做法吗？
合作探究---多边形内角和
A
B
C
D
E
方法2：
如图，在CD边上任取一点E，连接AE,DE，
所以该四边形被分成三个三角形，
所以四边形ABCD的内角和为
180°×3-(∠AEB+∠AED+∠CED)
=180°×3-180°=360°.
合作探究---多边形内角和
方法3：
如图，在四边形ABCD内部取一点E，
连接AE,BE,CE,DE，
把四边形分成四个三角形：△ABE,△ADE,
△CDE,△CBE.
所以四边形ABCD内角和为：
180°×4-(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB)
=180°×4-360°=360°.
A
B
C
D
E
合作探究---多边形内角和
A
B
C
D
P
方法4：如图，在四边形外任取一点P,连接PA、PB、PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形.
所以四边形ABCD内角和为180°
×3－
180°
=
360°.
这四种方法都运用了转化思想，把四边形分割成三角形，转化到已经学了的三角形内角和求解.
结论：
四边形的内角和为360°.
合作探究---多边形内角和
A
C
D
E
B
A
B
C
D
E
F
思考2：你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方法求五边形和六边形内角和吗?
内角和为180°×3
=
540°.
内角和为180°×4
=
720°.
合作探究---多边形内角和
2
3
180°×3
=540°
3
4
180°×4
=720°
n－3
n－2
180°×(n
－
2)
由特殊到一般：n
边形的内角和等于（n
－2）×180°
小试牛刀
1.七边形的内角和等于(
)
A.360°
B.900°
C.1080°
D.1260°
B
2.在四边形ABCD中，若∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝3∶1∶2∶3，则该四边形中最大的角的度数是
.
120°
小试牛刀
3、如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由.
解：
如图，四边形ABCD中，∠A+
∠C
=180°.
∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2)
×180
°=
360
°，
因为
∠B＋∠D=
360°－（∠A＋∠C）
=
360°－
180°
=180°.
所以
A
B
C
D
如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补.
小试牛刀
变式训练：如图，在四边形ABCD中，
∠A与∠C互补，
BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，若BE∥DF，求证：△DCF为直角三角形．
证明：∵在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠CDF+∠EBF=90°，
∵BE∥DF，∴∠EBF=∠CFD，
∴∠CDF+∠CFD=90°，
故△DCF为直角三角形．
小试牛刀
4、已知n边形的内角和θ=（n-2）×180°．
（1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°．甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n．若不对，说明理由；
解：∵360°÷180°=2，
630°÷180°=3......90°，
∴甲的说法对，乙的说法不对，
360°÷180°+2=4．
故甲同学说的边数n是4；
小试牛刀
（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x．
解：依题意有
（n+x-2）×180°-（n-2）×180°=360°，
解得x=2．
故x的值是2．
合作探究---多边形外角和
思考3：在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和.你能求出六边形的外角和吗？
解：∵六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角
都等于180
°，
∴六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和等于6×180°.
∴六边形外角和=总和－内角和
=6×180°－（6－2）×180°=2×180°=360°
合作探究---多边形外角和
由特殊到一般：在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和．
n边形外角和
n边形的外角和等于360°.
－(n－2)
×
180°
=360
°
=n个平角-n边形内角和
=
n×180
°
An
A2
A3
A4
1
2
3
4
n
A1
思考4：n边形的外角和又是多少呢？
与边数无关
问题4：回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？
每个内角的度数是
每个外角的度数是
练一练：
(1)若一个正多边形的内角是150
°,那么这是正
____边形.
(2)已知多边形的每个外角都是45°,则这个多边形是
______边形.
十二
正八
合作探究---多边形外角和
小试牛刀
1、已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求这个多边形的
边数.
解：
设多边形的边数为n.
∵它的内角和等于
(n－2)?180°，多边形外角和等于360°，
∴
(n－2)?180°=2×
360?.
解得
n=6.
∴这个多边形的边数为6.
小试牛刀
2、
一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？
解：设这个多边形边数为n，则
（n-2）?180=360+720，
解得n=8，
∵这个多边形的每个内角都相等，
（8-2）×180°=1080°，
∴它每一个内角的度数为1080°÷8=135°．
能力提升
1.四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°.
(1)如图①，若∠ABC的平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出
∠C的度数；
解：(1)∵BE∥AD，
∴∠A＋∠ABE＝180°，
即140°＋∠ABE＝180°，
∴∠ABE＝40°，
∴∠ABC＝80°，
由∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＝360°，
得∠C＝360°－140°－80°－80°＝60°
能力提升
2、
已知一个多边形的每个内角与外角的比都是7:2，求这个多边形的边数.
解：设这个多边形的内角为7x
°,外角为2x°,
根据题意得:
7x+2x=180，
解得x=20.
即每个内角是140
°，每个外角是40
°.
360°
÷40
°=9.
答：这个多边形是九边形.
能力提升
1.四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°.
(2)如图②,若∠ABC和∠BCD的平分线交于点E,试求出∠BEC的度数.
(2)∵∠EBC＝
∠ABC，∠ECB＝
∠BCD，
由∠A＋∠ABC＋∠BCD＋∠D＝360°得
140°＋2∠EBC＋2∠ECB＋80°＝360°，
∴∠EBC＋∠ECB＝70°，
∴∠BEC＝110°
能力提升
3、一个正多边形的一个外角比一个内角大60°，求这个多边形的每个内角的度数及边数．
解：设该正多边形的内角是x°，外角是y°，
则得到一个方程组
解得
而任何多边形的外角和是360°，
则该正多边形的边数为360÷120=3，
故这个多边形的每个内角的度数是60°，边数是三条．
能力提升
4、
一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，求得到的多边形的内角和.
解：∵1800÷180＝10，
∴原多边形边数为10＋2＝12.
∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1，
∴新多边形的边数可能是11，12，13，
∴新多边形的内角和可能是1620°，1800°，1980°.
思维拓展
1、如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的度数.
解：如图，
∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7＝五边形的内角和＝540°.
8
9
课后作业
今天我们收获了哪些知识？
1.说一说多边形内角和公式？
2.在探究多边形内角和公式中，连接对角线起到什么作用？
3.多边形的外角和等于多少？
4.正多边形的一个外角和一个内角的公式是什么？
课后作业
教材25页习题11.3第5、6、7、8题．
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