陕西省延安市一中2019-2020学年高二下学期期中考试数学（文）试题 Word版含解析

2019-2020学年度第二学期期中
高二年级(文科)数学试题
一?选择题(12×5分=60分)
1.点
的直角坐标是，则点
的极坐标为（
）
A.
B.
C.
D.
2.极坐标方程化为直角坐标方程为（
）
A.
B.
C.
D.
3.在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是
A.
B.
C.
(1,0)
D.
(1，)
4.若直线的参数方程为，则直线的斜率为（
）
A.
B.
C.
D.
5.极坐标和参数方程（t为参数）所表示的图形分别是
A.
直线、直线
B.
直线、圆
C.
圆、圆
D.
圆、直线
6.圆心在点处，且过原点的圆的极坐标方程是（
）
A.
B.
C.
D.
7.在极坐标系中，与点关于极点对称的点的坐标是（
）
A.
B.
C.
D.
8.直线l的参数方程为
(为参数),则直线与坐标轴的交点分别为(???
)
A.
B.
C.
D.
9.圆（为参数）与直线的位置关系是（
）
A.
相切
B.
相离
C.
直线过圆心
D.
相交但直线不过圆心
10.已知椭圆的参数方程为，，则该椭圆的焦点坐标为（
）
A.
B.
C.
D.
11.已知曲线的参数方程．若以下曲线中有一个是，则曲线是（
）．
A.
B.
C.
D.
12.若动点P(x,y)在曲线上变化，则的最大值为（
）
A.
B.
6
C.
D.
3
二?填空题(4×5分=20分)
13.点的直角坐标为
_______________
14.在极坐标系中，直线的方程为，则点到直线的距离为
.
15.过点且平行于极轴的直线的极坐标方程为____________.
16.(坐标系与参数方程选做题)已知曲线的极坐标方程分别为则曲线与交点的极坐标为
．
三?解答题
17.将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程
（1）
（2）
（3）
18.求曲线和的交点极坐标().
19.已知圆O的参数方程为
(θ为参数，0≤θ≤2π)．
(1)求圆心和半径；
(2)若圆O上点M对应的参数，求点M的坐标．
20.已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(为参数).
（1）求直线l和圆C的普通方程；
（2）若直线l与圆C有公共点，求实数的取值范围.
21.已知直线经过点P（1，1），倾斜角．
（1）写出直线的参数方程；
（2）设
与圆
相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．
22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数）．若以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）求直线被曲线C所截得的弦长．
答案与解析
一?选择题(12×5分=60分)
1.点
的直角坐标是，则点
的极坐标为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
分析：利用，，，先将点M的直角坐标是，之后化为极坐标即可.
详解：由于，得，
由，得，
结合点在第二象限，可得，
则点M的坐标为，故选C.
点睛：该题考查的是有关平面直角坐标与极坐标的转化，需要注意极坐标的形式，以及极径和极角的意义，利用来得，根据点所属的象限得到相应的正角，从而得到结果.
2.极坐标方程化为直角坐标方程为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据，利用求解.
【详解】因为，
所以，
所以，
即.
故选：D
【点睛】本题主要考查极坐标方程和直角坐标方程的转化，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
3.在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是
A.
B.
C.
(1,0)
D.
(1，)
【答案】B
【解析】
【详解】由题圆，则可化为直角坐标系下的方程,
，，
，
圆心坐标为（0，-1），
则极坐标，故选B.
考点：直角坐标与极坐标的互化.
4.若直线的参数方程为，则直线的斜率为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
将参数方程消去参数，化为普通方程，由直线方程求出斜率.
【详解】将参数方程化为普通方程可得：，即，所以斜率为.
故选B
【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，根据加减消参的方式即可消掉参数，求斜率时要将直线方程化为斜截式，即可求出斜率.
5.极坐标和参数方程（t为参数）所表示的图形分别是
A.
直线、直线
B.
直线、圆
C.
圆、圆
D.
圆、直线
【答案】D
【解析】
由ρ＝cosθ得ρ2＝ρcosθ，∴x2＋y2＝x，即
2＋y2＝.
它表示以为圆心，以为半径的圆．
由x＝－1－t得t＝－1－x，代入y＝2＋t中，得y＝1－x表示直线．
6.圆心在点处，且过原点的圆的极坐标方程是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出圆的半径为，然后即可求出圆的直角坐标方程，然后把圆的直角坐标方程转化为极坐标方程即可求解
【详解】解：由题意知，圆的半径为，
圆的直角坐标方程为：，
化简得，
所以圆的极坐标方程为：，
即
故选：A
【点睛】本题考查圆的直角坐标方程与极坐标方程的互化，属于基本题
7.在极坐标系中，与点关于极点对称的点的坐标是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由极坐标的对称性可知其对称点到原点长度不变角度旋转，即可得答案.
【详解】由极坐标的对称性可知，关于极点对称的点的坐标为或，即或.
故选：D
【点睛】本题考查极坐标中由对称性求点的极坐标，属于基础题.
8.直线l的参数方程为
(为参数),则直线与坐标轴的交点分别为(???
)
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接令x=0与y=0，分别求出相应的t，从而求得曲线与坐标轴的交点．
【详解】当x=0时，t=，而y=1﹣2t，即y=，得与y轴交点为（0，）；
当y=0时，t=，而x=﹣2+5t，即x=，得与x轴的交点为（，0）．
故选B．
【点睛】本题主要考查了直线的参数方程，以及求直线与坐标轴的交点问题，考查计算能力，属于基础题．
9.圆（为参数）与直线的位置关系是（
）
A.
相切
B.
相离
C.
直线过圆心
D.
相交但直线不过圆心
【答案】D
【解析】
【分析】
把参数方程化为直角坐标方程，求出圆心和半径，根据圆心到直线3x﹣4y﹣9＝0距离小于半径，可得直线和圆相交．再根据圆心的坐标不满足直线方程，可得直线不过圆心，从而得出结论．
【详解】解：把圆（θ为参数），消去参数，化为直角坐标方程为
x2+y2＝4，
表示以原点为圆心、半径等于2的圆．
圆心到直线3x﹣4y﹣9＝0的距离为d2，故直线和圆相交．
再根据圆心的坐标不满足直线方程，可得直线不过圆心，
故选D．
【点睛】本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系，属于基础题．
10.已知椭圆的参数方程为，，则该椭圆的焦点坐标为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，将椭圆的参数方程变形为普通方程，分析、的值，计算可得的值，即可得答案．
【详解】根据题意，椭圆的参数方程为，，
则其普通方程为，
其中，，则，
所以该椭圆的焦点坐标为.
故选C.
【点睛】本题考查椭圆的参数方程与普通方程的互化，准确化出椭圆的方程是求解的关键．
11.已知曲线的参数方程．若以下曲线中有一个是，则曲线是（
）．
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
消参把参数方程化为普通方程，再有确定的取值范围即可确定轨迹．
【详解】由，消参化简可得，
因此B正确
故选B
【点睛】本题考查参数方程向普通方程的转化以及方程的轨迹，注意参数的取值范围．
12.若动点P(x,y)在曲线上变化，则的最大值为（
）
A.
B.
6
C.
D.
3
【答案】A
【解析】
【分析】
先设出，，再利用三角函数以及二次函数的性质，从而得到答案．
【详解】解：设，，
，当且仅当时取等号．
故选：A．
【点睛】本题考查了椭圆的性质，考查了三角函数以及二次函数的性质，属于中档题．
二?填空题(4×5分=20分)
13.点的直角坐标为
_______________
【答案】
【解析】
【分析】
根据，，计算可得；
【详解】解：因为
所以，
故点的直角坐标为
故答案为：
【点睛】本题考查极坐标化为直角坐标，属于基础题.
14.在极坐标系中，直线的方程为，则点到直线的距离为
.
【答案】3
【解析】
试题分析：由，化为直角坐标为，，
又直线的方程为，化为直角坐标下的方程为：
所以距离为：3
考点：极坐标与直角坐标的互化．
15.过点且平行于极轴的直线的极坐标方程为____________.
【答案】
【解析】
【分析】
先将极坐标化成直角坐标表示，过且平行于轴的直线为，再化成极坐标表示．
【详解】先将极坐标化成直角坐标表示，化为，过且平行于轴的直线为，再化成极坐标表示，即．
故答案为：
【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，简单曲线的极坐标方程求解，属于基础题．
16.(坐标系与参数方程选做题)已知曲线的极坐标方程分别为则曲线与交点的极坐标为
．
【答案】
【解析】
本题考查极坐标方程及应用，只要直接将两方程联立求解即可；
联立解方程组，解得，即两曲线的交点为．
三?解答题
17.将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
由极坐标与直角坐标之间的转化关系求解即可.
【详解】（1）；
（2）；
（3）
【点睛】本题考查将极坐标方程转化为直角坐标方程，属于基础题.
18.求曲线和的交点极坐标().
【答案】或
【解析】
【分析】
利用已知条件，对于①，②，即可求出，进而求出曲线的交点极坐标
【详解】由题意知，，则有，，对于①，②，
，化简得，则或，所以，
所以交点坐标或
故答案：或
【点睛】本题考查极坐标方程求交点问题，属于简单题
19.已知圆O的参数方程为
(θ为参数，0≤θ≤2π)．
(1)求圆心和半径；
(2)若圆O上点M对应的参数，求点M的坐标．
【答案】（1）(0，0)，2；（2）.
【解析】
【分析】
(1)先求出圆的普通方程,再写出圆心坐标和半径.(2)把θ＝代入圆的参数方程即得点M的坐标.
【详解】解：(1)由
(0≤θ<2π)，
平方得x2＋y2＝4，
所以圆心O为(0，0)，半径r＝2.
(2)当θ＝时，x＝2cos
θ＝1，y＝2sin
θ＝－，
所以点M的坐标为(1，－)．
【点睛】(1)本题主要考查参数方程和普通方程互化，考查参数方程，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
(2)
参数方程消参常用的方法有三种:加减消参、代入消参、恒等式消参法.
20.已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(为参数).
（1）求直线l和圆C的普通方程；
（2）若直线l与圆C有公共点，求实数的取值范围.
【答案】（1）；；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用所给参数方程消去参数即可求得普通方程；
（2）首先求得圆心到直线的距离，据此得到关于实数的不等式，求解不等式即可求得最终结果．
【详解】解：（1）直线的参数方程为，消去可得；
圆的参数方程为，两式平方相加可得；
（2）因为，所以圆心，半径．
由点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离．
直线与圆有公共点，，即，解得，即．
【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的互化，直线与圆的位置关系等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中档题．
21.已知直线经过点P（1，1），倾斜角．
（1）写出直线的参数方程；
（2）设
与圆
相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．
【答案】（1）（2）2
【解析】
【详解】（1）直线的参数方程为，即(t为参数)
（2）把直线代入
得
，则点到两点的距离之积为
22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数）．若以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）求直线被曲线C所截得的弦长．
【答案】（I）；（II）.
【解析】
【分析】
（I）根据直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ、y=ρsinθ，可得到直角坐标方程；（II）联立参数方程
圆，根据代入韦达定理得到结果.
【详解】（I）由得：ρ=cosθ+sinθ，两边同乘以ρ得：ρ2=ρcosθ+ρsinθ，
∴x2+y2-x-y=0，即．
（II）将直线参数方程代入圆C的方程得：5t2-21t+20=0，
∴，设弦长为|MN|，
∴．
【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线参数方程的应用，其中解答中熟记极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，以及直线参数方程中参数的几何意义的合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
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