苏教版高中数学必修二 1.2.3直线与平面的位置关系 同步练习（含答案解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
苏教版高中数学必修二1.2.3直线与平面的位置关系
一、单选题
1.在下列命题中，不是公理的是（??
）
A.?经过两条相交直线有且只有一个平面
B.?平行于同一直线的两条直线互相平行
C.?如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
D.?如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线
2.已知两条互不重合的直线m，n，两个不同的平面α，β，下列命题中正确的是（　　）
A.?若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β???????????????????????B.?若m⊥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥β
C.?若m⊥α，n∥β，且m∥n，则α∥β??????????????????????D.?若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β
3.与同一平面平行的两条直线(
??)
A.?平行??????????????????????????????B.?相交??????????????????????????????C.?异面??????????????????????????????D.?平行、相交或异面
4.关于直线m,n与平面
，
有以下四个命题：
①若且
，
则m//n；???②若且
，
则；
③若且
，
则；??④若且
，
则m//n；
其中真命题的序号是（??????）
A.?①②?????????????????????????????????????B.?③④?????????????????????????????????????C.?①④?????????????????????????????????????D.?②③
5.下面四个说法(其中A、B表示点，a表示直线，α表示平面)：
①∵A?α
，
B?α
，
∴AB?α；
②∵A∈α
，
B?α
，
∴AB?α；
③∵A?a
，
a?α
，
∴A?α；
④∵A∈a
，
a?α
，
∴A∈α.
其中表述方式和推理都正确的命题的序号是
(
??)
A.?①④???????????????????????????????????????B.?②③???????????????????????????????????????C.?④???????????????????????????????????????D.?③
6.α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m?α，n?α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是（??
）
A.?垂直?????????????????????????????????????B.?相交?????????????????????????????????????C.?异面?????????????????????????????????????D.?平行
7.下列命题中：
①若A∈α，B∈α，C∈AB，则C∈α；
②若α∩β=l，b?α，c?β，b∩c=A，则A∈l；
③A，B，C∈α，A，B，C∈β且A，B，C不共线，则α与β重合；
④任意三点不共线的四点必共面．
其中真命题的个数是（　　）
A.?0???????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?3
8.在空间中，a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列说法正确的是（??
）
A.?若a∥α，b∥a，则b∥α????????????????????????????????????????B.?若a∥α，b∥α，a?β，b?β，则β∥α
C.?若α∥β，b∥α，则b∥β???????????????????????????????????????D.?若α∥β，a?α，则a∥β
9.空间中垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是(????
)
A.?平行????????????????????????????????B.?相交????????????????????????????????C.?异面????????????????????????????????D.?以上都有可能
10.在正四棱柱
中，顶点
到对角线
和到平面
的距离分别为
和
，则下列命题中正确的是（
）
A.?若侧棱的长小于底面的变长，则
的取值范围为
??????
B.?若侧棱的长小于底面的变长，则
的取值范围为
C.?若侧棱的长大于底面的变长，则
的取值范围为
??????????
D.?若侧棱的长大于底面的变长，则
的取值范围为
二、填空题
11.已知α、β是不同的平面，l、m、n是不同的直线，P为空间中一点．若α∩β＝l，m?α、n?β、m∩n＝P，则点P与直线l的位置关系用符号表示为________.
12.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与AC所成的角是________
13.有以下三个命题：
①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；
②直线l在平面α内，可以用符号“l∈α”表示；
③已知平面α与β不重合，若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交.其中真命题的序号是________.
14.给出下列四个命题：
①三点确定一个平面；
②三条两两相交的直线确定一个平面；
③在空间上，与不共面四点A，B，C，D距离相等的平面恰有7个；
④两个相交平面把空间分成四个区域．
其中真命题的序号是________?（写出所有真命题的序号）．
三、解答题
15.如图，已知
平面
，且平面
平面
，求证
16.如图，已知ABCD是空间四边形，AB=AD，CB=CD，求证：BD⊥AC．
17.如图：已知四棱锥P﹣ABCD，底面是边长为6的正方形ABCD，PA=8，PA⊥面ABCD，点M是CD的中点，点N是PB的中点，连接AM、AN、MN．
（1）求证：AB⊥MN
（2）求异面直线AM与PB所成角的大小．
18.如图，在四棱锥S﹣ABCD中，已知SD⊥底面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=∠ADC=
，SD=DC=2，AD=AB=1，E为棱SB上的一点，且DE⊥SC．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求直线EC与平面ADE所成角．
19.在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA=AB=4，∠CDA=120°，点N在线段PB上，且PN=
．
（Ⅰ）求证：BD⊥PC；
（Ⅱ）求证：MN∥平面PDC．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
A
【解析】解：对于A，经过两条相交直线有且只有一个平面，是公理2的推理，不是公理；
对于B，平行于同一直线的两条直线互相平行，是平行公理；
对于C，如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内，是公理1；
对于D，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线，是公理3．
故选：A．
【分析】根据空间中平面的基本公理与推论，对选项中的命题进行分析、判断即可．
2.【答案】
D
【解析】解：若m∥α，n∥β，且m∥n，则α与β平行或相交，故A错误
若m⊥α，n∥β，且m⊥n，则α与β平行或相交，所以B错误．
若m⊥α，m∥n，则n⊥α，又由n∥β，且则α⊥β，故C错误；
若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β，故D正确
故选D
【分析】根据线面平行及线线平行的几何特征，结合面面平行的判定方法，可以判断A的真假；
由线面垂直的几何特征及面面垂直的判定方法可以判断B的真假，
根据线面垂直及面面平行的几何特征，可以判断C的真假，
根据线面垂直，面面垂直及线线垂直之间的互相转化，可以判断D的真假，进而得到答案．
3.【答案】
D
【解析】与同一平面平行的两条直线的位置关系有三种情况，即平行、相交或异面。
故答案为：D。
【分析】本题考察的是空间想象能力，结合绘制图像，即可得出答案。
4.【答案】
D
【解析】由题意两条直线m，n与两个平面α，β由于m∥α，n∥β且α∥β，不能确定两条直线的位置关系，故若m∥α，n∥β且α∥β，则m⊥n是假命题；由于若m⊥α，n⊥β且α⊥β，不能确定两条直线的位置关系，故若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n是假命题；由于m∥α，n⊥β且α⊥β不能确定两条直线的位置关系，故若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n是假命题；由于n∥β且α∥β可得出n?α或n∥α，又m⊥α可得出m⊥n故若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n是真命题．综上知，D选项正确，故选D
【分析】由题意，不同的两条直线m，n与两个平面α，β，A，D两个选项可由线线垂直的条件作作出判断，C，B两个选项可由线线平行的条件作出判断，得出正确选项本题的考点是间中直线一直线之间的位置关系，考查了线线平行与线线垂直的条件，解题的关键是理解题意，有着较强的空间立体感知能力，本题考查了空间想像能力，推理判断的能力，是高考中常见题型，其特点是涉及到的知识点多，知识容量大，因此备受高考命题者青睐
5.【答案】
C
【解析】①错，应写为A∈α
，
B∈α；②错，应写为AB?α；③错，推理错误，有可能A∈α；④推理与表述都正确．选C.
【分析】根据空间中点、线、面的位置关系可得结果。注意符号的正确使用。
6.【答案】D
【解析】解：∵α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，
m?α，n?α，
∴n在平面a上，m与平面a相交
∵A∈m．A∈a
∴A是M和平面a相交的点
∴m和n
异面或相交，一定不平行．
故选：D．
【分析】由已知得n在平面a上，m与平面a相交，A是M和平面a相交的点，从而m和n
异面或相交，一定不平行．
7.【答案】
D
【解析】解：对于①，若A∈α，B∈α，C∈AB，根据平面的基本性质得到C∈α；故意正确；
对于②，若α∩β=l，b?α，c?β，b∩c=A，根据平面的基本性质容易得到A同时在两个平面内，即A∈l；故②正确；
对于③，A，B，C∈α，A，B，C∈β且A，B，C不共线，根据不共线的三点确定一个平面，容易得到α与β重合；故③正确；
对于④，任意三点不共线的四点不一定共面．比如空间四面体；故④错误；
故选D．
【分析】利用平面的基本性质对四个命题分别分析解答．
8.【答案】D
【解析】解：对于A，若a∥α，b∥a，说明b与平面α的平行线a平行，b可能在平面α内，它们的位置关系应该是平行或直线在平面内，故A错；
对于B，若a∥α，b∥α，a?β，b?β，说明在平面α和平面β内各有一条直线与另一个平面平行，但是条件并没有指明平面α、β的位置关系，平面α、β也可能相交，故不一定α∥β，故B错；
对于C，若α∥β，b∥α，说明直线b∥β或b?β，故不一定b∥β，故C错；
对于D，若α∥β，a?α，根据面面平行的性质：两个平行平面中的一个平面的直线必定平行于另一个平面，知a∥β，故D正确．
故选D．
【分析】对于A、B、C、D各项逐个加以分析：根据线面平行的判定及性质得到A错误；根据面面平行的判定得到B错误；根据面面平行的性质得到C错误；根据面面平行的性质，可得D正确．
9.【答案】
D
【解析】【分析】结合公理及正方体模型可以判断：A，B，C均有可能，可以利用反证法证明结论，也可以从具体的实物模型中去寻找反例证明．
【解答】如图，在正方体AC1中，
∵A1A⊥平面ABCD，∴A1A⊥AD，A1A⊥BC，
又∵AD∥BC，∴选项A有可能；
∵A1A⊥平面ABCD，∴A1A⊥AD，A1A⊥AB
，
又∵AD∩AB=A，∴选项B有可能；
∵A1A⊥平面ABCD，A1A⊥平面A1B1C1D1
，
∴A1A⊥AC，A1A⊥A1D1
，
又∵AC与A1D1不在同一平面内，∴选项C有可能．
故选D．
10.【答案】
C
【解析】设侧棱长是
，
底面的变长是
，点
到对角线
的距离
即为直角三角形
斜边
上的高，
，点
到平面
的距离分别
即为直角三角形
斜边
上的高，
若侧棱的长小于底面的变长，
即
，
A,B错误；
若侧棱的长大于底面的变长，
即
，
故答案为：C
【分析】设侧棱长是
b，
底面的变长是
a，点
B1到对角线
BD1的距离
h
即为直角三角形
△B1BD1
斜边
BD1上的高，得到点
B1到平面
A1BCD1的距离分别
d
即为直角三角形
△B1BA斜边B1A
上的高，得到，若侧棱的长小于底面的变长时，可判断A、B错误，若侧棱的长大于底面的变长，可判断C是正确的。
二、填空题
11.【答案】P∈l
【解析】因为m?α
，
n?β
，
m∩n＝P
，
所以P∈α且P∈β.又α∈β＝l
，
所以点P在直线l上，所以P∈l.【分析】根据平面的性质2，得到点P在平面和平面的交线上。
12.【答案】60°
【解析】连结BC1、A1C1
，
∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A平行且等于C1C，
∴四边形AA1C1C为平行四边形，可得A1C1∥AC，
因此∠BA1C1（或其补角）是异面直线A1B与AC所成的角，设正方体的棱长为a，则△A1B1C中A1B=BC1=C1A1=a，
∴△A1B1C是等边三角形，可得∠BA1C1=60°，
即异面直线A1B与AC所成的角等于60°．
故答案为：60°．
【分析】连结BC1、A1C1
，
由正方体的性质可得四边形AA1C1C为平行四边形，从而A1C1∥AC，∠BA1C1是异面直线A1B与AC所成的角．然后求解异面直线A1B与AC所成的角．
13.【答案】①③
【解析】若直线与平面有两个公共点，则这条直线一定在这个平面内，故①正确；直线l在平面α内用符号“?”表示，即l?α，②错误；由a与b相交，说明两个平面有公共点，因此一定相交，故③正确.故答案为:①③
【分析】由平面的基本性质对各命题进行判断.
14.【答案】③④
【解析】解：对于①，不在同一直线上的三点确定一个平面，∴①错误；
对于②，不共点的三条两两相交的直线确定一个平面，∴②错误；
对于③，空间四点A、B、C、D不共面时，则四点构成一个三棱锥，如图：
当平面一侧有一点，另一侧有三点时，令截面与四棱锥的四个面之一平行，第四个顶点到这个截面的距离与其相对的面到此截面的距离相等，这样的平面有4个，
当平面一侧有两点，另一侧有两点时，即过相对棱的异面直线公垂线段的中点，且和两条相对棱平行的平面，满足条件．因三棱锥的相对棱有三对，则此时满足条件的平面个数是3个，
所以满足条件的平面恰有7个，③正确；
对于④，两个相交平面把空间分成四个区域是真命题，∴④正确．
综上，正确的命题序号是③④．
故答案为：③④．
【分析】①根据平面的公理“三点定面”即可判断命题错误；
②根据三条两两相交的直线可能不共面，即可判断命题错误；
③根据空间四点不共面时，四点构成一个三棱锥，讨论平面一侧有一点，另一侧有三点时，和平面一侧有两点，另一侧有两点时，满足条件的平面数是多少即可；
④根据实际情况即可得出结论正确．
三、解答题
15.【答案】
证明：如图所示，作
，
因为平面
平面
，
是平面
与平面
的交线，
，
所以
平面
，
，
因为
平面
，所以
，
因为
，所以
平面
，
。
【解析】【分析】本题首先可以作
，然后根据平面
平面
即可得出
，再然后通过
平面
即可得出
，最后通过线面垂直的相关证明以及性质即可得出结果。
16.【答案】
证明：取BD的中点O，连接AO，CO．
∵AB=AD，∴AO⊥BD，
∵CB=CD，∴CO⊥BD，
又AO∩CO=O，
∴BD⊥平面ACO，
AC?平面ACO，
∴BD⊥AC．
【解析】【分析】取BD的中点O，连接AO，CO．由等腰三角形的三线合一，得到AO⊥BD，CO⊥BD，再由线面垂直的判定定理得到BD⊥平面ACO，运用线面垂直的性质即可得证．
17.【答案】
（1）解：分别取AB，PA中点E，F，连接CE，EF，CF，NE，ME．
∵E是AB中点，点N是PB的中点，
∴
∵PA⊥面ABCD，
∴NE⊥面ABCD，NE⊥AB．
又∵MN∥BC，∴MN⊥AB．
所以：AB⊥MN，
得证．
（2）解：∵E是AB中点，F是PA中点E，N是PB的中点，点M是CD的中点
∴AM
CE，FE
．
所以：异面直线AM与PB所成角的大小即相交直线CF与EF所成角的大小
在△CEF中：EC=MA=
=
，FE=
，FC=
．
利用余弦定理：
cos∠FEC=
∵cos∠FEC＜0，
∴∠FEC是钝角．
所以异面直线AM与PB所成角的大小为π﹣
【解析】【分析】（1）由题意，证明线线垂直，利用“三垂线定理或三垂线定理的逆定理”即可解决．（2）异面直线所成角，首先要构造出这两条异面直线的平行线相交的角，即为异面直线所成角．由题意，分别取AB，PA中点E，F，连接CE，EF，CF，所以异面直线AM与PB所成角的大小即相交直线CF与EF所成角的大小．
18.【答案】
解：（Ⅰ）以D为原点，DA，DC，DS为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，
则各点的坐标为A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），S（0，0，2）．
=（0，2，﹣2），
=（1，1，﹣2），令
，
则
=（λ，λ，﹣2λ），
=
=（0，0，2）+（λ，λ，﹣2λ）=（λ，λ，2﹣2λ），
∵DE⊥SC，∴
=0，即2λ﹣2（2﹣2λ）=0，故
．
∴
=2
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
=（
），
=（﹣
），
设
=（x，y，z）为平面ADE的法向量，
则
，令y=1，得
=（0，1，﹣1）为平面ADE的法向量，
于是cos＜
＞=
=
=
，
∴直线EC与平面ADE所成角为
【解析】【分析】（Ⅰ）以D为原点，DA，DC，DS为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出
的值．（Ⅱ）分别求出平面ADE的法向量和
，利用向量法能求出直线EC与平面ADE所成角．
19.【答案】证明：（I）∵△ABC是正三角形，M是AC中点，
∴BM⊥AC，即BD⊥AC．
又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD．
又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．
∴BD⊥PC．
（Ⅱ）在正△ABC中，BM=2．
在△ACD中，
∵M为AC中点，DM⊥AC，∴AD=CD．
∠ADC=120°，
∴DM=，
∴=．
在等腰直角△PAB中，PA=AB=4，PB=4，
∴=，
∴，
∴MN∥PD．
又MN?平面PDC，PD?平面PDC，
∴MN∥平面PDC．
【解析】【分析】（Ⅰ）由正三角形的性质可得BD⊥AC，利用线面垂直的性质可知PA⊥BD，再利用线面垂直的判定定理即可证明BD⊥PC；
（Ⅱ）利用已知条件分别求出BM、MD、PB，得到
，
即可得到MN∥PD，再利用线面平行的判定定理即可证明
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)