六年级上册数学教案-第5单元 3 圆的面积 人教版.DOC

3　圆的面积
第1课时　认识圆的面积
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一、教学内容
认识圆的面积。(教材第67～68页)
二、教学目标
1．使学生理解圆的面积的意义及圆的面积的计算公式的推导过程，掌握圆的面积的计算公式，并能解决相关问题。
2．培养学生动手操作、自主探究的能力，体会转化、极限的思想方法。
三、重点难点
重点：理解圆的面积的意义，掌握圆的面积的计算公式。
难点：理解圆的面积的计算公式的推导过程。
四、教学准备
教师准备：大小不同的圆片、圆的面积演示教具、课件。
学生准备：白纸、剪刀、圆片。
一、情境引入
(课件出示教材第67页情境图)
师：求圆形草坪的占地面积实际上就是求什么？
引导学生明确实际上就是求圆的面积。
师：好，今天我们就一起来研究怎样计算圆的面积。(板书课题：认识圆的面积)
二、学习新课
1.实践探索圆的面积。
(1)明确圆面积的意义。
师：请同学们拿出你们手中的2张不同的圆片，同桌之间用手摸一摸、指一指，哪儿是圆的面积？
点名学生演示，引导学生用自己的话说一说什么是圆的面积。
教师指出：圆所占平面的大小叫做圆的面积。
(2)圆的面积的转化。
①师：回忆一下，我们学过哪些图形？(点名学生回答)
学生回答后，课件出示学过的图形。
师：进一步回忆一下，平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式是怎样推导出来的？
组织学生小组讨论，学生讨论后出示下图：
教师小结：我们在推导平行四边形、梯形、三角形的面积计算公式时，都运用了“转化”的数学思想，把这些图形通过割补、拼接转化成已经学过的长方形，从而推导出计算公式。
②师：类似地，能不能把圆转化为我们已学过的其他图形，来推导出圆的面积的计算方法呢？
学生分组进行试验：在白纸上画一个圆，把圆分成若干(偶数)等份，剪开后，用这些近似于等腰三角形的小纸片拼一拼。
学生按照要求进行分一分、剪一剪、拼一拼的操作活动。
教师巡视并强调：使用剪刀时要注意安全；要拼出最简单、最容易计算面积的图形。
③选择用8等分、16等分和32等分的圆形纸片剪拼成近似长方形的小组各一个进行展示。
师：大家把圆拼成近似的长方形后，它们的面积有没有改变？
结合学生的回答总结出结论：圆的面积＝近似长方形的面积。
师：这三个小组拼成的近似长方形，哪个更接近长方形呢？
引导学生观察，得出32等分的圆形纸片拼成的近似长方形更接近长方形。
教师小结：如果把圆等分成64份、128份、256份……一直这样下去分成很多份，拼成的图形就会更接近于一个长方形。(课件演示)
2.推导圆的面积公式。
(1)师：拼成的近似长方形的长和宽与圆的周长、半径有什么关系？圆的面积可以怎样计算？
组织学生小组讨论，汇报结果。
根据学生汇报，课件演示：
师生共同小结：因为拼成的长方形的面积相当于原来圆的面积，拼成的长方形的长相当于原来圆的周长的一半，宽相当于原来圆的半径，且长方形的面积＝长×宽，所以圆的面积＝圆的周长的一半×圆的半径，即S圆＝×r。因为C＝2πr，所以S圆＝πr×r，即S圆＝πr2。(注意强调：r2＝r×r，表示2个r相乘)
(2)让学生完成教材第67页下方填空。
(3)师：观察公式，说说计算圆的面积只要知道什么条件就可以了？如果已知直径或周长怎么办？
学生交流后，教师小结：计算圆的面积只需知道半径，如果已知直径或周长，要先根据r＝d÷2或r＝C÷π÷2求出圆的半径。
3.教学教材第68页例1。
(课件出示教材第68页例1)
(1)学生阅读题目，理解题意。
(2)学生独立解答。(教师巡视，发现问题及时指导，并提醒学生注意公式、单位使用是否正确)
(3)完成解答后全班交流，教师根据学生的汇报，对学生在解题过程中遇到的问题进行指导。(板书规范解题过程)
三、巩固反馈
1．完成教材第68页“做一做”第1题。(点名学生板演，其他学生独立完成)
1÷2＝0.5(m)　3.14×0.52＝0.785(m2)
2．完成教材第71页“练习十五”第1、2题。(学生独立完成，集体订正)
第1题：
半径
直径
圆的面积
4
cm
8
cm
50.24
cm2
4.5
cm
9
cm
63.585
cm2
3
cm
6
cm
28.26
cm2
20
cm
40
cm
1256
cm2
第2题：左图：C＝3.14×10＝31.4(cm)
S＝3.14×(10÷2)2＝78.5(cm2)
右图：C＝2×3.14×3＝18.84(cm)
S＝3.14×32＝28.26(cm2)
四、课堂小结
这节课我们学习了圆的面积的计算方法，你会计算圆的面积吗？
认识圆的面积
例1：草坪半径：20÷2＝10(m)
草坪面积：3.14×102＝314(m2)
需要钱数：314×8＝2512(元)
答：铺满草皮需要2512元。
1．本部分内容是在初步认识了圆，学习了圆的周长，以及学过几种常见平面几何图形的面积的基础上进行教学的。本节课的教学过程中主要注意以下三点：
(1)通过实际情境，一方面使学生了解圆的面积的含义，另一方面使学生体会到在实际生活中计算圆面积的必要性。
(2)教学时，强调知识迁移的过程。平行四边形、三角形和梯形的面积公式的推导过程是学生知识迁移的基础，这一环节的设计既能勾起学生对已有知识的回忆，又能启发学生运用转化的思想解决数学问题。
(3)注意圆面积公式和周长公式的区分，有时学生易混淆。
2．我的补充：
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备课资料参考
【例题】如图所示，已知长方形是由圆近似拼成的，求阴影部分的面积。
分析：根据图意可知，阴影部分的面积等于长方形的面积减去个圆的面积。长方形是由圆近似拼成的，则长方形的面积等于圆的面积。
解答：(方法一)3.14×62－×3.14×62＝84.78(cm2)
(方法二)×3.14×62＝84.78(cm2)
答：阴影部分的面积为84.78
cm2。
解法归纳：解决此类问题，关键是根据图形特点，将阴影部分进行割补或转化，得到规则的图形。
圆面积公式的来源
开普勒当数学老师时，他对求面积的问题非常感兴趣，曾进行过深入的研究。他想，古代数学家用分割的方法去求圆面积，所得到的结果都是近似值。为了提高近似程度，他们不断地增加分割的次数。但是不管分割多少次，几千几万次，只要是有限次，所求出来的总是圆面积的近似值。要想求出圆面积的精确值，必须分割无穷多次，把圆分成无穷多等份才行。
开普勒也仿照切西瓜的方法，把圆分割成许多小扇形，不同的是，他一开始就把圆分成无穷多个小扇形
开普勒运用无穷分割法，求出了许多图形的面积。1615年，他将自己创造的这种求圆面积的新方法，发表在《葡萄酒桶的立体几何》一书中。
第2课时　圆环的意义和面积的计算方法
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一、教学内容
圆环的意义和面积的计算方法。(教材第68页例2)
二、教学目标
1．使学生认识圆环，掌握圆环的特征和面积的计算方法。
2．经历动手操作、讨论探索圆环的面积公式的过程，进一步收获转化思想。
三、重点难点
重难点：掌握圆环面积的计算方法，并利用这一模型解决实际问题。
四、教学准备
教师准备：圆规、光盘、课件。　
学生准备：直尺、圆规、剪刀、一张硬纸板。
一、情境引入
1．师：我们来欣赏一组美丽的图片。
(课件出示圆形花坛、圆形水池外的环形道路，奥运五环标志，光盘……)
师：同学们，你们从图中发现了什么？
2．教师拿出环形光盘，指出：像这样的图形，我们称它为圆环或环形。
师：你还知道生活中有哪些环形的物体吗？它们给我们的生活带来了怎样的乐趣？
引导学生结合生活实际说一说。
3．引出新课。
师：这节课我们一起来学习有关圆环的知识。(板书课题：圆环的意义和面积的计算方法)
二、学习新课
1.认识圆环。
(1)画一画，剪一剪。
让学生在硬纸板上用同一个圆心分别画一个半径为10厘米和5厘米的圆。完成后指导学生先剪下所画的大圆，再剪下所画的小圆。
(2)发现圆环的特点。
师：观察手中的圆环，它是怎么构成的？有什么特点？
组织学生小组交流，汇报结果。
教师小结圆环的特点，课件演示：
圆环的特点
①是同心圆。
②两个圆间的距离处处相等。
2.认识圆环的各部分。
师：为了区分这两个圆，我们可以给它们分别取个名字。外面较大的圆我们叫做外圆，内部较小的圆可以叫做？(学生齐答：内圆)
教师指出：两个圆之间的宽度叫做环宽。(课件出示圆环)
3.探究圆环的面积计算方法。
(1)组织学生小组讨论。
(2)点名小组用刚才的圆片进行演示。
(3)教师点评，课件演示：
圆环的面积＝外圆的面积－内圆的面积
小结：我们可以知道圆环的面积＝外圆的面积－内圆的面积，一般我们用R表示外圆半径，r表示内圆半径，则圆环的面积可以表示为S＝πR2－πr2＝π(R2－r2)。(板书圆环面积的计算方法)
4.教学教材第68页例2。
(课件出示教材第68页例2)
(1)点名两名学生用不同方法板演。
(2)集体订正，交流解题思路。
(3)组织学生讨论两种方法的异同点，分析在解决实际问题中，用哪种方法更简便。
三、巩固反馈
1．完成教材第68页“做一做”第2题。(学生独立完成，教师巡视，检查学生存在的问题)
(方法一)3.14×(50÷2)2－3.14×2＝1962.5－78.5＝1884(m2)
(方法二)3.14×[(50÷2)2－(10÷2)2]＝3.14×600＝1884(m2)
2．完成教材第72页“练习十五”第7题。(点名学生板演，集体订正)
左图：3.14×8×＋3.14×12×＋(12－8)＝35.4(cm)
右图：3.14×(122－82)＝251.2(cm2)
四、课堂小结
通过本节课的学习，你会计算圆环的面积了吗？
圆环的意义和面积的计算方法
圆环面积＝外圆的面积－内圆的面积
S＝πR2－πr2＝π(R2－r2)
　　
答：圆环的面积是100.48
cm2。
1．对于本次教学，主要有以下2点反思。
(1)大多数学生对圆环的认识已经有了一些生活经验，但是对于它的形成过程缺少理性思考。通过本节课的训练，达到了感性与理性的统一。
(2)学生已经学习了圆的面积及应用。所以很容易接受圆环面积的计算方法。但是部分学生由于空间想象力欠佳，对于圆环的概念较模糊，对于这样的实际问题，应该引导学生多画一些简单的示意图来理解，避免解题错误。
2．我的补充：
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备课资料参考
【例题】已知阴影部分的面积是90
cm2，求圆环的面积。
分析：不妨设外圆半径是R，内圆半径是r。观察图形可知，阴影部分的面积等于边长是R的正方形的面积与边长为r的正方形的面积之差，即R2－r2＝90。又因为圆环的面积＝π(R2－r2)，据此代入即可解答。
解答：设外圆半径是R，内圆半径是r。
由题知，R2－r2＝90，所以圆环的面积是π(R2－r2)＝3.14×90＝282.6(cm2)
答：圆环的面积是282.6
cm2。
解法归纳：此题主要考查圆环的面积公式的计算应用，关键是明确阴影部分的面积即R2－r2＝90，再代入圆环的面积公式即可解答。
奥林匹克五环标志
奥林匹克五环由5个奥林匹克环套接组成，有蓝、黑、红、黄、绿5种颜色。环从左到右互相套接，上面是蓝、黑、红环，下面是黄、绿环。整个造型为一个底部小的规则梯形。根据《奥林匹克宪章》，五环的含义是象征五大洲的团结及全世界的运动员以公正、坦率的比赛和友好的精神在奥林匹克运动会上相见。
奥林匹克五环标志是由皮埃尔·德·顾拜旦于1913年构思设计的，是由《奥林匹克宪章》确定的，也被称为奥运五环标志，它是世界范围内最为人们广泛认知的奥林匹克运动会标志。5个不同颜色的圆环代表了参加现代奥林匹克运动会的五大洲——欧洲、亚洲、非洲、大洋洲和美洲。
第3课时　求组合图形的面积
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一、教学内容
求有关“外方内圆”和“外圆内方”的图形的面积。(教材第69页例3)
二、教学目标
1．使学生理解“外方内圆”和“外圆内方”的含义。
2．使学生掌握“外方内圆”和“外圆内方”的图形的面积的计算方法。
3．培养学生灵活运用所学知识解决问题的能力。
三、重点难点
重点：掌握“外方内圆”和“外圆内方”的图形的面积的计算方法。
难点：综合运用所学知识求“外方内圆”和“外圆内方”的图形的面积。
一、情境引入
(课件出示教材第69页例3的两个图案)
师：中国建筑中经常能见到“外方内圆”和“外圆内方”的设计。今天这节课，我们就利用已学过的几何图形的知识来解决与这两种图案有关的问题。(板书课题：求组合图形的面积)
二、学习新课
教学教材第69～70页例3。
(课件出示教材第69页例3)
【阅读与理解】
(1)学生读题、看图，理解题意。
(2)引导学生梳理已知和所求问题。
【分析与解答】
(1)左图——“外方内圆”。
师：正方形和圆有什么关系？
学生交流讨论，教师引导学生讨论后得出：从图中可以看出正方形的边长与圆的直径长度相等。
(2)右图——“外圆内方”。
师：圆和正方形有什么关系？
引导学生讨论后得出：从图中可以看出圆的直径与正方形的对角线长度相等。
师：怎么求正方形的面积呢？求正方形的面积需要知道边长，可是题目中不知道正方形的边长，该怎么办呢？
学生动手在图上作辅助线，探讨求正方形面积的方法，然后交流汇报。
教师引导：可以把图中的正方形看成两个三角形，它的底是2
m，高是1
m。
学生独立解答，教师指导不会的学生，解答完成后组织交流汇报。
【回顾与反思】
师：如果两个圆的半径都是r，结果又是怎样的？
学生按照前面的计算方法，分别计算出两个图形中相应部分的面积，并将r＝1代入结果，看是否与前面的结果相同。
三、巩固反馈
1．完成教材第70页“做一做”。(点名学生板演，集体订正)
×2＝288(cm2)
3.14×2＝452.16(cm2)
452.16－288＝164.16(cm2)
2．完成教材第72页“练习十五”第9题。(学生独立完成，同桌订正)
3.14×2＝615.44(mm2)
6×6＝36(mm2)
615.44－36＝579.44(mm2)
3．完成教材第73页“练习十五”第11题。(小组合作交流，教师适时点拨)
周长：2×3.14×1＝6.28(m)
面积：2×3.14×2＝1.57(m2)
1×1＝1(m2)　1.57＋1＝2.57(m2)
四、课堂小结
这节课我们学习了“外方内圆”和“外圆内方”的面积的计算方法，你学会了吗？
求组合图形的面积
　例3：
　　　
　当半径为r时：
　左图：(2r)2－3.14×r2＝0.86r2
　右图：3.14×r2－×2＝1.14r2
　当r＝1
m时：
　0.86r2＝0.86×12＝0.86(m2)　1.14r2＝1.14×12＝1.14(m2)
　答：左图中正方形与圆之间的面积是0.86
m2，右图中圆与正方形之间的面积是1.14
m2。
1．本课是在学生学习了圆的面积及应用之后进行教学的，主要是学习有关圆的组合图形——“外圆内方”和“外方内圆”的图形的面积的计算方法。通过对直观的组合图形面积的计算，使学生建立模型，进而利用建立的模型求其他同样形状的图形的面积。对于“外圆内方”和“外方内圆”的认识，学生已有生活经验，故在讲解时，只需提示其面积的计算方法即可。
在教学中，以学生原有的知识为基础，搭桥铺路，以旧带新。在这个过程中教师应该充分相信学生的能力，热情鼓励学生的探索活动，给予学生充足的时间和思维空间。最大限度地发展学生的观察能力、思考能力和探究能力，增强学生学习数学的兴趣，培养学生的实践能力和应用能力。
2．我的补充：
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备课资料参考
【例题】如图所示，已知圆的面积为78.5
cm2，求阴影部分的面积。
分析：根据图意可知，阴影部分的面积等于圆的面积减去正方形的面积。现在已知圆的面积，需要求出正方形的面积。要求正方形的面积，可将正方形分为两个三角形进行面积计算。
解答：78.5÷3.14＝25　5×5＝25
×(5×2)×5×2＝50(cm2)
78．5－50＝28.5(cm2)
答：阴影部分的面积为28.5
cm2。
解法归纳：解决此类问题的关键是根据图形特点，将阴影部分看成规则图形的面积的和或差。
随方就圆
古时候人们认为天是圆的，地是方的，所以有了天圆地方之说。而人立于天地之间，人道的玄机也就隐藏在这方圆之间。
在《资治通鉴》中记载着这样一个故事，魏王攻陷了一座城池，大宴群臣。宴席之上，魏王问文武百官：“你们说我是明君呢，还是昏君呢？”大多数官员都是趋炎附势之人，纷纷说：“大王当然是一代明君了。”正当魏王飘飘然时，问到任座，正直的任座却说：“大王是昏君。”魏王如被泼了一盆冷水，问：“为什么这样说？”任座回答说：“大王您获得了胜利，攻下了城池，没有按功劳分给您的弟弟，而是分给了您的儿子，可见您是昏君。”魏王大怒，马上下令，将任座赶出去听候发落。接着问下一位臣子。这位大臣说：“大王是明君。”魏王心中暗喜，忙问：“为什么这样说？”这位大臣说：“古人经常说，明君的手下多是些直臣，现在大王手下有像任座这样的直臣，可见大王是明君！”魏王听后，立刻把任座重新请回来赴宴。
大多数官员是“只圆不方”的人，没有原则，没有操守，属于世故小人；任座则是“只方不圆”的人，说话不看场合，让对方下不来台，这样的人难免受到挫折，甚至招来杀身之祸；那位大臣就是“内方外圆”的人了，既没有抵触对方，又帮别人化解了矛盾，让对方很受用。
水没有固定的形态，在方形的容器里就是方的，在圆形的容器里就是圆的，这就是“随方就圆”。“随方就圆”作为古人做事的智慧，指的是当方则方，当圆则圆，既勇往直前、坚持原则，又灵活变通、圆润自如。
第4课时　练习课
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一、教学内容
圆的面积的练习课。(教材第71～73页练习十五第4、5、10题)
二、教学目标
1．巩固已学过的圆、圆环及组合图形的面积计算方法。
2．在练习的过程中，体验运用知识解决问题的乐趣，培养学生的应用意识和解决问题的能力。
三、重点难点
重点：利用圆和圆环的面积公式解决有关的实际问题。
难点：组合图形的面积的求法。
一、复习回顾
点名学生回答下面的问题。
1．圆的周长和面积分别怎样计算？二者有什么区别？
2．怎样求圆环的面积。
3．求组合图形的面积的一般思路是什么？
二、指导练习
(一)已知圆的周长求圆的面积
教学教材第71页练习十五第4题。
(1)师：本题是已知什么？求什么？
引导学生回答已知圆的周长，求圆的面积。
(2)师：已知周长求面积需要先求出什么？
引导学生明确先根据周长求出半径，再求面积。(板书：已知周长→半径→求面积)
(3)学生独立计算，集体订正。
(4)师生小结计算圆的面积时应注意的问题。
(二)圆环的面积计算公式
教学教材第72页练习十五第5题。
(1)师：圆环的面积计算公式是什么？(点名学生回答)
(2)师：这道题已知什么？如何求圆环面积？
引导学生回答已知内、外圆直径，应先求出内、外圆半径，再代入公式计算面积。
(3)学生独立计算，集体订正。
(4)教师小结：已知内、外圆直径求圆环面积，可用公式S＝π
[(D÷2)2－(d÷2)2]。
(三)组合图形的面积计算
教学教材第73页练习十五第10题。
(1)师：操场可以看出是哪两个图形的组合？
引导学生发现操场是由一个长方形和一个圆组成的。
(2)学生独立计算，小组间交流订正。
三、巩固练习
1．完成教材第72页“练习十五”第6题。(学生独立解答，集体订正)
3．14×62－3.14×(6÷2)2＝84.78(cm2)
2．完成教材第74页“练习十五”第15
题。(学生动手操作，思考如何在正方形中画出最大的圆，然后小组探究完成表格)
正方形的边长
1
cm
2
cm
3
cm
4
cm
5
cm
正方形的面积
1
cm2
4
cm2
9
cm2
16
cm2
25
cm2
圆的面积
cm2
π
cm2
cm2
4π
cm
π
cm2
面积之比
4∶π
4∶π
4∶π
4∶π
4∶π
若设正方形的边长为2a，S正方形＝4a2，S圆＝π×a2，所得面积之比仍为4∶π。
3．完成教材第74页“练习十五”第17
题。(鼓励学生大胆猜想，分小组讨论完成，教师适当加以指导)
当周长一定时，所有图形中圆的面积最大。草原上蒙古包的底面是圆形的，可以使居住的面积最大；绝大多数植物的根和茎的横截面是圆形的，可以最大面积地吸收水分。(答案不唯一，合理即可)
四、课堂小结
通过本节练习课，你还有什么不明白的地方？
练习课
第4题：已知圆的周长求面积：
周长→半径→求面积
　　　第5题：S＝π
[(D÷2)2－(d÷2)2]
1.教学体现“生活化”。
在练习课的设计上，充分利用和学生生活有关的例子，如树干横截面的周长与面积，很多人都佩戴的玉，让他们利用数学知识去解决实际问题，感受到数学与生活的联系，增强对数学的理解。突出了“让学生在生活中学数学，在生活中用数学”的理念。
2.练习有“坡度”。
根据学生认知规律与《新课程标准》的要求，本节课做到由浅入深，有层次有坡度，环环相扣，教学节奏明快。大部分学生能顺利完成练习题，部分学生在老师的启发引导下，通过努力也完成了所有练习，有不错的效果。
3.我的补充：
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备课资料参考
【例题】求下面图形阴影部分的面积。(单位：
cm)
分析：观察图形，进行如图的割补，可知阴影部分的面积是边长为16
cm的正方形面积的一半。
解答：16×16÷2＝128(cm2)
答：阴影部分的面积是128
cm2。
解法归纳：当所求阴影部分的面积是不规则图形的面积时，可以把不规则图形进行分割、拼接，转化成规则图形进行计算。
在正方形内画一个最大的圆，这个圆的直径长度等于正方形的边长。如果圆的半径为r，那么正方形和圆之间的部分面积为0.86r2。
在圆内画一个最大的正方形，这个正方形的对角线长度等于圆的直径。如果圆的半径为r，那么正方形和圆之间的部分面积为1.14r2。