苏教版高中数学必修一 2.2函数的简单性质 同步练习（含答案解析）

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苏教版高中数学必修一2.2函数的简单性质
一、单选题
1.下列函数在
上是增函数的是（??
）
A.????????????????????B.?????????????????????C.????????????????????D.?
2.下列函数中，既是奇函数，又在
上为增函数的是（??
）
A.????????????????????????B.????????????????????????C.????????????????????????D.?
3.已知函数
在
上为奇函数，且当
时，
，则
（??
）
A.?-3??????????????????????????????????????????B.?-1??????????????????????????????????????????C.?1??????????????????????????????????????????D.?2
4.已知函数f（x）是定义在[1，4]上的减函数，且f（m）＞f（4﹣m），则实数m的取值范围是（??
）
A.?（2，3]??????????????????????????B.?[1，2）??????????????????????????C.?（﹣∞，2）??????????????????????????D.?（2，+∞）
5.已知
是定义域为
的奇函数，满足
。若
，则
（
?）
A.?-50??????????????????????????????????????????B.?0??????????????????????????????????????????C.?2??????????????????????????????????????????D.?50
6.已知函数f(x)=m·2x+x+m2-2，若存在实数x，满足f(-x)=-f(x)，则实数m的取值范围为（
??）
A.?(-∞，-2]U(0，1)??????????B.?[-2，0)U(0，1]??????????C.?[-2，0)U[1，+∞)??????????D.?(-∞，-2]U[1，+∞)
7.已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≤0时，f（x）=x2﹣2x，那么不等式f（x+1）＞3的解集是（??
）
A.?（﹣∞，2）∪（2，+∞）?????????????????????????????????B.?（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）??
C.?（﹣∞，0）∪（2，+∞）?????????????????????????????????D.?（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
8.偶函数在区间[0，4]上单调递减，则有(??
)
A.?????????????????????????????????B.?
C.?????????????????????????????????D.?
9.已知
是定义域为
的奇函数，满足
．若
，则
（???
）
A.?-2018????????????????????????????????????????B.?0????????????????????????????????????????C.?2????????????????????????????????????????D.?50
10.已知y=f（x）是偶函数，而y=f（x+1）是奇函数，且对任意0≤x≤1，都有f（x）≥0，f（x）是增函数，则a=f（2010），b=f（
），c=﹣f（
）的大小关系是（?
）
??????
A.?b＜c＜a?????????????????????????????B.?c＜b＜a?????????????????????????????C.?a＜c＜b?????????????????????????????D.?a＜b＜c
二、填空题
11.若函数
是奇函数，则
=（???
）
A.?2???????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
12.已知函数f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函数，且其定义域为[a﹣1，2a]，则（??
）
A.?
，b=0??????????????????B.?a=﹣1，b=0??????????????????C.?a=1，b=1??????????????????D.?a=
，b=﹣1
13.已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）单调递增，且f（1）=0，则不等式f（x﹣2）≥0的解集是________?．
14.若函数
是偶函数，则
等于________.
15.已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2+2x，若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是________．
三、解答题
16.判断函数f（x）＝
在区间（1，＋∞）上的单调性，并用单调性定义证明．
已知f（x）=8+2x﹣x2
，
g（x）=f（2﹣x2），试求g（x）的单调区间．
已知定义在[﹣3，3]上的函数y=f（x）是增函数．
（1）若f（m+1）＞f（2m﹣1），求m的取值范围；
（2）若函数f（x）是奇函数，且f（2）=1，解不等式f（x+1）+1＞0．
19.已知函数f（x）=ax+
的图象经过点A（1，1），B（2，﹣1）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性并用定义证明；
（3）求f（x）在区间[
，1]上的值域．
20.已知定义在
上的函数满足
,当
时,
.
（1）求证：
为奇函数;
（2）求证：
为
上的增函数;
（3）解关于
的不等式:
(其中
且
为常数).
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
A
【解析】在
上，B、C、D都是减函数，只有A是增函数，
故答案为：A．
【分析】根据已知条件以及选项中的函数可以得出B、C、D都是减函数。
2.【答案】
D
【解析】A.
,
f(-x)=-x-
=-f(x),故函数是奇函数，在（0，1）上是增函数，在（1，
）上是减函数；故不正确；
B.
,
f(-x)=
,故函数不是奇函数，且在（2，
）上为减，故不正确；
C．
，f(-x)=
，函数不是奇函数，在（2，
）上是增函数；故不正确；
D.
,
=-
，是奇函数，在
上为增函数，故正确.
故答案为：D.
【分析】根据常用基本函数的单调性确定函数的单调性，根据奇偶性的定义判断函数的奇偶性，逐一判断即可.?
3.【答案】C
【解析】由题意，可知哈市
上的奇函数，且当
时，
，
则
，
故答案为：C.
【分析】将x=1，代入x≥0的解析式，求出f（1），再根据函数奇偶性，即可求出f（-1）.
4.【答案】B
【解析】解：∵f（x）是定义在[1，4]上的减函数，且f（m）＞f（4﹣m），
∴
，即
，即1≤m＜2，
即实数m的取值范围是[1，2），
故答案为：B．
【分析】根据函数在指定区间上的增减性，利用减函数的定义可得结果。
5.【答案】
C
【解析】∵f（1-x）=f（1+x）
∴y=f（x）图象关于x=1对称，又是奇函数
∴f（x）是一个周期函数，且T=4
又f（1）=2?
f（x）=
f（2-x）
∴f（2）=f（0）=0
f（3）=f（-1）=-f（1）=-2??
f（4）=f（0）=0
∴f（1）=2，f（2）=0，f（3）=-2，f（4）=0
∴原式f（1）+f（2）+…+
f（50）=f（1）+f（2）=2
故答案为：C
【分析】根据函数的对称性、奇偶性求出函数的周期数是4.
6.【答案】
A
【解析】解：由题意知,方程有解，
则
，
化简得,
，
即。
∵
，
∴
当时，化简得
，
解得;
当时，化简得
，
解得
综上所述的取值范围为
故答案为：A
【分析】根据题意可知方程有解即可，代入解析式化简后，利用基本不等式得出
，
再利用分类讨论思想即可求出实数的取值范围。
7.【答案】B
【解析】解：设x＞0，则﹣x＜0，
因为当x≤0时，f（x）=x2﹣2x，
所以f（﹣x）=x2+2x，
因为f（x）为偶函数，所以f（x）=f（﹣x）=x2+2x，
因为f（x）为偶函数，所以f（|x+1|）=f（x+1），
则f（x+1）＞3可化为f（|x+1|）＞3，即|x+1|2+2|x+1|＞3，（|x+1|+3）（|x+1|﹣1）＞0，
所以|x+1|＞1，解得：x＞0或x＜﹣2，
所以不等式f（x+1）＞3的解集是{x|x＞0或x＜﹣2}，
故选：B．
【分析】先求出x＞0时的解析式，由偶函数性质得：f（﹣x）=f（x），则f（x+1）＞3可变为f（|x+1|）＞3，代入已知表达式可表示出不等式，先解出|x+1|的范围，再求x范围即可．
8.【答案】
A
【解析】首先将三个数统一到一个单调区间上.因为函数数是偶函数.所以.由此比较三个数的大小.因为函数在区间[0，4]上单调递减，所以在[-4,0]上为增函数.所以.即.所以选A.
9.【答案】
C
【解析】解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）=f（1+x），
∴f（1﹣x）=f（1+x）=﹣f（x﹣1），f（0）=0，
则f（x+2）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），
即函数f（x）是周期为4的周期函数，
∵f（1）=2，
∴f（2）=f（0）=0，f（3）=f（1﹣2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，
f（4）=f（0）=0，
则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，
则
=504[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（2017）+f（2018）
=f（1）+f（2）=2+0=2，
故答案为：C．
【分析】根据
，确定函数的周期性，结合函数奇偶性，将函数值进行转化，即可求出相应的值.
10.【答案】
A
【解析】解答：∵y=f（x）是偶函数，而y=f（x+1）是奇函数，
∴4为函数的一个周期，
又∵对任意0≤x≤1，都有f（x）≥0，
∴a=f（2010）=f（2）=﹣f（0）
b=f（
）=﹣f（
），
c=﹣f（
）
∵0＜
＜
＜1
∴f（
）＞f（
）＞f（0）
∴b＜c＜a
故选A
分析：y=f（x）是偶函数，而y=f（x+1）是奇函数可推断出=f（x）是周期为4的函数，y=f（x）是偶函数，对任意0≤x≤1，都有f（x）≥0，f（x）是增函数，由这些性质将三数化简为自变量在0≤x≤1的函数值来表示，再利用单调性比较大小．
二、填空题
11.【答案】
B
【解析】解：因为函数
是奇函数
所以
即
得
故答案为：
【分析】由函数
是奇函数，则
构造方程，解得
的值.
12.【答案】A
【解析】解：因为f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函数，所以定义域关于原点对称，所以a﹣1+2a=0，解得a=
．所以f（x）=
x2+bx+1+b，因为函数为偶函数，所以f（﹣x）=f（x），
即）
x2﹣bx+1+b=
x2+bx+1+b，所以2bx=0，解得b=0．
故答案为：A．
【分析】根据偶函数的定义及抛物线的对称轴来解题.函数的定义域关于原点对称且对定义域内任意x有f(-x)=f(x).
13.【答案】{x|x≥3或x≤1}
【解析】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，f（1）=0，
∴不等式f（x﹣2）≥0等价为f（|x﹣2|）≥f（1），
即|x﹣2|≥1，
即x﹣2≥1或x﹣2≤﹣1，
即x≥3或x≤1，
故不等式的解集为{x|x≥3或x≤1}，
故答案为：{x|x≥3或x≤1}．
【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，即可得到不等式的解集．
14.【答案】
1
【解析】由于函数
是偶函数，
所以
即
，
所以
恒成立，所以
.
【分析】利用偶函数的定义可得实数
的值.
15.【答案】（﹣2，1）
【解析】解：∵f（x）=x2+2x=（x+1）2﹣1在（0，+∞）上单调递增，
又∵f（x）是定义在R上的奇函数，
根据奇函数的对称区间上的单调性可知，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，
∴f（x）在R上单调递增．
∵f（2﹣a2）＞f（a），
∴2﹣a2＞a，
解不等式可得，﹣2＜a＜1，
故答案为：（﹣2，1）．
【分析】题意可先判断出f（x）=x2+2x=（x+1）2﹣1在（0，+∞）上单调递增，根据奇函数的对称区间上的单调性可知，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，从而可比较2﹣a2与a的大小，解不等式可求a的范围．
三、解答题
16.【答案】
解：取任意的x1
，
x2∈（1，＋∞），且x1＜x2
，
则
f（x1）－f（x2）＝
－
＝
＝
．
∵x1＜x2
，
∴x2－x1＞0．
又∵x1
，
x2∈（1，＋∞），∴x2＋x1＞0，
－1＞0，
－1＞0，
∴（
－1）（
－1）＞0．（x2＋x1）（x2－x1）＞0
∴f（x1）－f（x2）＞0．
根据定义知：f（x）在区间（1，＋∞）上是减函数．
【解析】【分析】根据单调性的定义，取值、作差、变形、定号、下结论逐步进行验证即可.
17.【答案】解：
∵f（x）=8+2x﹣x2∴g（x）=f（2﹣x2）=﹣x4+2x2+8
g'（x）=﹣4x3+4x
当g'（x）＞0?
时，﹣1＜x＜0或x＞1
当g'（x）＜0时，x＜﹣1或0＜x＜1
故函数g（x）的增区间为：（﹣1，0）和（1，+∞）
减区间为：（﹣∞，﹣1）和（0，1）
【解析】【分析】先求出函数g（x）的解析式，然后对函数g（x）进行求导，当导数大于0时为单调增区间，当导数小于0时单调递减．
18.【答案】解：由题意可得，，求得﹣1≤m＜2，
即m的范围是[﹣1，2）．
（2）∵函数f（x）是奇函数，且f（2）=1，
∴f（﹣2）=﹣f（2）=﹣1，
∵f（x+1）+1＞0，
∴f（x+1）＞﹣1，
∴f（x+1）＞f（﹣2），
∴，∴﹣3＜x≤2．
∴不等式的解集为{x|﹣3＜x≤2}．
【解析】【分析】（1）由题意可得，
，
由此解不等式组求得m的范围．
（2）由题意可得f（x+1）＞f（﹣2），所以
，
即可得出结论．
19.【答案】
（1）解：∵f（x）的图象过A（1，1）、B（2，﹣1），
∴
，解得
，
∴
（2）证明：设任意x1
，
x2∈（0，+∞），且x1＜x2
，
f（x1）﹣f（x2）=（﹣x1+
）﹣（﹣x2+
）
=（x2﹣x1）+
=
由x1
，
x2∈（0，+∞）得，x1x2＞0，x1x2+2＞0．
由x1＜x2得，x2﹣x1＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
∴函数
在（0，+∞）上为减函数
（3）解：由（2）知，函数
在[
，1]上为减函数，
∴f（x）min=f（1）=1，
，
∴f（x）的值域是
【解析】【分析】（1）由待定系数法求出函数的解析式。（2）根据函数单调性的定义证明即可。（3）利用函数的单调性定义可得结果。
20.【答案】
（1）解：由题意知
,令
,得
,即
.
再令
,即
,得
.
∴
,
∴
是奇函数
（2）解：设
,且
,则
.
由已知得:
,
∴
,
∴
.
即
在
上是增函数
（3）解：∵
,∴
,
∴
.
即
.
∵
,∴
.
当
,即
时,所求不等式的解集为
或
.
当
,即
时,
所求不等式的解集为
.
当
,即
时,
所求不等式的解集为
或
【解析】【分析】(1)抽象函数的奇偶性判断,可由函数所满足的条件,取特殊值,得到f(x)与f(-x)的关系进行判断；
(2)抽象函数的单调性,用定义证明;
(3)将函数不等式进行转化为标准型,由单调性脱去f得到关于x的含参数a的不等式,分类讨论求解,得解集.
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精品试卷·第
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