1.2 一定是直角三角形吗(知识清单+经典例题+夯实基础+提优特训+中考链接）

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北师大版八年级数学上册第一章勾股定理
1.2
一定是直角三角形吗
【知识清单】
1、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
2、勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
?①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2+b2=c2中，
a，b，c为正整数，则a，b，c为一组勾股数；
②记住常见的勾股数可以提高解题的速度，3、4、5；6、8、10；5、12、13；7、24、25等；
③用含字母的代数式表示几组勾股数：
n21，2n，n2+1；(n≥2，n为正整数)；
2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1
(n为正整数)；
m2n2，2mn，
m2+n2
(m>n，m、n均为正整数).
【经典例题】
例题1、已知△ABC的三边a，b，c满足以下条件，试判断△ABC的形状.
(1)
(a1.5)2+(b2)2+|c2.5|=0；
(2)ac=b，a+c=2b．
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】(1)由(a1.5)2+(b2)2+|c2.5|=0，可得a=1.5，b=2，c=2.5，由此c2=a2+b2，根据勾股定理的逆定理即可判断三角形的形状；(2)
由(ac)(
a+c)=b·2b，可得a2c2=b2，则a2=b2+c2，
根据勾股定理的逆定理即可判断三角形的形状.
【解答】(1)∵(a1.5)2+(b2)2+|c2.5|=0，
∴a1.5=0，b2=0，
c2.5=0，
则a=1.5，b=2，c=2.5，
∵1.52+22=6.25，2.52=6.25，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形；
(2)
∵ac=b，a+c=2b，∴(ac)(
a+c)=b·2b，
∴a2c2=b2，
∴a2=c2+b2，
∴△ABC是直角三角形.
【点评】本题主要考查运用勾股定理的逆定理判定一个三角形的形状，勾股定理的逆定理的灵活运用是解决此类问题的关键．
例题2、如图，在凹四边形ABCD中，∠ADC=90°，AD=4，CD=3，AB=13，BC=12，求四边形ABCD的面积．
【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．
【分析】首先根据勾股定理得出AC的长，再利用勾股定理定理得出△ABC是直角三角形，结合四边形ABCD的面积为：S△ABCS△ADC求出即可．
【解答】连接AC，
∵∠ADC=90°，AD=4，CD=3，
∴AC=5，
∵AB=13，BC=12，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴S△ABC=AC·BC=×5×12=30，
S△ADC=AD·CD=×4×3=6，
∴四边形ABCD的面积为：S△ABCS△ADC
=306=24.
【点评】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，得出△DAC为直角三角形是解题关键．
【夯实基础】
1、已知，则以a，b，c为三边长的三角形是
(　　)
A．等腰三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．钝角三角形
2、已知△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，下列条件的三角形不是直角三角形的是(
)
A．a=3b，c=2b
B．a︰b︰c=9︰40︰41
C．∠B－∠A=∠C
D．
3、已知直角三角形的两条边的长度分别为m+n，m-n，则第三条边长度的平方为
(
)
A．2m2+2n2?
B．4mn??
C．2m2+2n2?或?4mn?
??D．m2+n2?或?2mn?
4、下列结论：①若两个数的平方和等于第三个数的平方，则这三个数一定是一个直角三角形三边的长；②若两个数的平方和等于第三个数的平方，则这三个数一定是勾股数；③直角三角形两边分别为3，4，则第三边的长一定是5；④若三角形的三边的长分别为n2-1，2n，n2+1(n≥2，n为正整数)，则这个三角形一定是直角三角形.其中正确的结论的个数为(
)
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
5、木工师傅做了一个长方形桌面，量的桌面的长为60cm，宽为32cm，对角线为68cm，这个桌面是否符合规定
(填“符合”或“不符合”)
6、一个三角形三边之比为5:12:13，它的周长为60cm，则它的面积为
；测得一块三角形的花坛的三边长分别为14m，48m，50m，则这个花坛的面积为
.
7、判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形.
(1)在△ABC中，∠A=22°，∠B=68°；
(2)在△ABC中，AC=9，BC=40，AB=41；
(3)在△ABC中，若BC2AC2=AB2；
(4)在△ABC中，∠A:∠B:∠C=3:4:5.
8、如图，已知在△ABC中，AB=6，BC=8，在△ACD中，DE为AC边上的高，且AC=DE，
S△ACD=50，求∠C的度数.
9、观察下列式子：
当n=2时，a=2×2=4，b=221=3，c=22+1=5，
当n=3时，a=2×3=6，b=321=8，c=32+1=10，
当n=4时，a=2×4=8，b=421=15，c=42+1=17，…
根据上述发现的规律：
(1)用含n(n≥2的整数)的代数式表示上述特点的勾股数a=
，b=
，c=
；
(2)探究：以a，b，c为边长的三角形的形状，并说明理由.
?
【提优特训】
10、若△ABC的三边a、b、c，满足(ab)(a2+b2c2)=0，则△ABC是
A．等腰三角形或直角三角形
B．直角三角形或等腰直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形
D．等腰直角三角形
11、如图，五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是(
)
12、下列各组是三条线段长度：①9，12，15；②7，24，25；③32，42，52；④3a，4a，5a(a>0)；⑤m2n2，2mn，m2+n2(m，n为正整数，且m>n)其中可以构成直角三角形的有(　　)
A．5组
B．4组
C．3组
D．2组
13、如图，点P是等边△ABC内一点，PA:PB:PC=3:4:5，则∠APB的度数为(
)
A．150°?????
?B．135°????
?
C．125°???
?
???D．120°
14、三边长为a，b，c满足a+b=15，
ab=28，
c=13，那么此三角形的形状为_____．
15、如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为
cm．
16、如图，点D是△ABC中BC边上一点，AB=4，AC=3，AD=，DC=，求BD的长并判定△ABC的形状.
17、
在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边．当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，可以判断△ABC的形状(按角分类)．(1)请你通过画图探究并判断：当△ABC三边长分别为6，8，9时，△ABC为______三角形；当△ABC三边长分别为6，8，11时，△ABC为______三角形．(2)某同学根据上述探究，有下面的猜想：当
时，△ABC为锐角三角形；当
时，△ABC为钝角三角形．
18、如图，老李是钓鱼爱好者家住位于一条南北走向的河流MN的东侧A处，某一天老李从家出发沿南偏西35°方向走70m到达河边B处垂钓，然后沿另一方向走240m到达C处的渔具商店购买饵料，最后沿第三方向走250m回到家A处．问老李在河边B处垂钓后是沿哪个方向行走的？并说明理由．
【中考链接】
19、(2018?长沙)我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为
5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里=500
米，则该沙田的面积为(
)
A．7.5
平方千米
B．15
平方千米
C．75
平方千米
D．750
平方千米
20、(2019?巴中)
如图，等边三角形△ABC内有一点P，连接AP，BP，CP，AP=6，BP=8，CP=10，则S△APB+S△APC=
.
参考答案
1、C
2、A
3、C
4、B
5、符合
6、120cm2，336m2
10、C
11、C
12、B
13、A
14、直角三角形
15、20
19、A
20、24+9
7、判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形.
(1)在△ABC中，∠A=22°，∠B=68°；
(2)在△ABC中，AC=9，BC=40，AB=41；
(3)在△ABC中，若BC2AC2=AB2；
(4)在△ABC中，∠A:∠B:∠C=3:4:5.
解：(1)
∠A+∠B=22°+68°=90°，所以△ABC是直角三角形；
(2)∵92+402=412，∴AC2+BC2=
AB2，所以△ABC是直角三角形；
(3)∵BC2AC2=AB2，∴BC2=AC2+AB2，所以△ABC是直角三角形；
(4)∵∠A:∠B:∠C=3:4:5，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，所以△ABC不是直角三角形.
8、如图，已知在△ABC中，AB=6，BC=8，在△ACD中，DE为AC边上的高，且AC=DE，
S△ACD=50，求∠C的度数.
解：∵在△ACD中，AC=DE，
∴S△ACD
=AC·DE=AC2
=50，
∴AC2=100，∴AC=10，
∵在△ABC中，AB2+BC2=62+82=100，AC2=102=100，
∴AB2+BC2=
AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠C=90°.
9、观察下列式子：
当n=2时，a=2×2=4，b=221=3，c=22+1=5，
当n=3时，a=2×3=6，b=321=8，c=32+1=10，
当n=4时，a=2×4=8，b=421=15，c=42+1=17，…
根据上述发现的规律：
(1)用含n(n≥2的整数)的代数式表示上述特点的勾股数a=___，b=___，c=___；
(2)探究：以a，b，c为边长的三角形的形状，并说明理由.
?
解：(1)a=2n，b=n21，c=n2+1．
答案为：2n，n21，n2+1．
(2)以a，b，c为边长的三角形是直角三角形，理由如下：
∵a2+b2=(2n)2+(n21)2=4n2+n42n2+1=n4+2n2+1，
c2=(n2+1)2=n4+2n2+1，
∴a2+b2=
c2.
∴以a，b，c为边长的三角形是直角三角形.
16、如图，点D是△ABC中BC边上一点，AB=4，AC=3，AD=，DC=，求BD的长并判定△ABC的形状.
解：∵AC=3，AD=，DC=，
，
∴AD2+DC2=AC2，
∴△ADC是直角三角形，
∴∠ADC=∠ADB=90°.
在Rt△ABD
∵AB=4，AD=，
∴BD2=AB2AD2=42
=
∴BD
=，
∴BC=BD+CD=+=5．
又∵32+42=52，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形.
17、
在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边．当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，可以判断△ABC的形状(按角分类)．(1)请你通过画图探究并判断：当△ABC三边长分别为6，8，9时，△ABC为______三角形；当△ABC三边长分别为6，8，11时，△ABC为______三角形．(2)某同学根据上述探究，有下面的猜想：当a2+b2>c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2解：(1)如图：∵两直角边分别为6、8时，(斜边)2
=62+82=102，
∴当△ABC三边分别为6、8、9时，
62+82>92，△ABC为锐角三角形；
∴当△ABC三边分别为6、8、11时，62+82<112，△ABC为钝角三角形；
(2)a2+b2>c2；a2+b218、如图，老李是钓鱼爱好者家住位于一条南北走向的河流MN的东侧A处，某一天老李从家出发沿南偏西35°方向走70m到达河边B处垂钓，然后沿另一方向走240m到达C处的渔具商店购买饵料，最后沿第三方向走250m回到家A处．问老李在河边B处垂钓后是沿哪个方向行走的？并说明理由．
解：∵AB=70m，BC=240m，AC=250m，
∴AB2+BC2=AC2，
∴∠ABC=90°，
∴AD∥NM，
∴∠NBA=∠BAD=35°，
∴∠MBC=180°90°35°=55°，
∴老李在河边B处垂钓后是沿南偏东55°方向行走的．
第18题图
A
B
C
D
例题2图
第20题图
第13题图
第15题图
蚂蚁
第7题图
第18题图
第17题图
第16题图
第7题图
第16题图
例题2图
蜂蜜
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精品试卷·第
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