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第一章
·
统计
§4.2
标准差
北京师范大学出版社
高二
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必修3
甲
40.0
39.8
40.1
40.2
39.9
40.0
40.2
39.8
40.2
39.8
乙
40.0
40.0
39.9
40.0
39.9
40.1
40.1
40.1
40.0
39.9
甲、乙两台机床同时生产直径是40mm的零件。为了检验产品质量，从两台机床生产的产品中各抽取10件进行测量，结果如下表所示
请分别计算甲、乙两台机床生产的零件的直径的平均值，比较两组数据有什么特点，并思考我们可以选择哪些数来刻画这两组数据的离散程度？
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数据离散程度的方法
甲：40.2—39.8=0.4（mm）
乙：40.1—39.9=0.2（mm）
方法1（极差）
方法2（方差）
甲：
乙：
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数据离散程度的方法
方法3
方法4
甲：
乙：
甲：
乙：
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用一定单位长度表示一定的数量，并根据数量的多少画出长短不同的直条，然后把这些直条按一定的顺序排列起来，这样的统计图叫作条形统计图。
特点：条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数量。
条形统计图：
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制作条形统计图的步骤：
1、根据图纸大小，画出两条互相垂直的射线。（注意：水平射线的下方和竖直射线左边须留
有一定的空白，注明直条数量和统计的内容）
2、在横轴上确定直条的位置。
3、在纵轴上根据数量的多少确定单位长度。
4、根据数量的多少画出长短不同的直条。
（注意：直条的宽窄要一致，长短要准确，条与条之间间隔要均等）
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思考：
在刻画数据的离散程度时，选择的统计量应满足哪些原则?
①应充分利用所得到的数据，以便提供更确切的信息；
②仅用一个数值来刻画数据的离散程度
③对于不同的数据集，当离散程度大时，该数值亦大。
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标准差：
方差的正的平方根
方差的单位是原始观测数据单位的平方，而刻画离散程度的理想度量应该与原始数据具有相同的单位，因而标准差能更好的反映数据的离散程度。
特点：
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计算上述问题的标准差：
解：从数据容易得到甲、乙两台机床生产的这10件产品直径的平均值
我们分别计算它们直径的标准差：
由上面的计算可以看出：甲、乙两台机床生产的产品直径的平均值相同，而甲机床生产的产品直径的标准差为0.161mm，比乙机床的标准差0.077mm大，说明乙机床生产的零件更标准些，即乙机床的生产过程更稳定一些。
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例1、画出下列四组样本数据的条形图，说明
它们的异同点。
（1）
（2）
（3）
（4）
四组数据的平均数都是5.0,标准差分别是0.00,0.82,1.49,2.83.虽然它们有相同的平均数,但是它们有不同的标准差,说明数据的分散程度是不一样的.
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例2、若甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛,四人的平均成绩和标准差如下表:
则参加奥运会的最佳人选应为( )
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
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【答案】C
【解析】从平均数来看,乙、丙的平均值最大,从标准差来看,丙的标准差最小,因此,应选择丙参加比赛.
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例3、下列对一组数据的分析,说法不正确的是( )
A.数据的极差越小,样本数据分布越集中、稳定
B.数据的平均数越小,样本数据分布越集中、稳定
C.数据的标准差越小,样本数据分布越集中、稳定
D.数据的方差越小,样本数据分布越集中、稳定
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【答案】B
【解析】极差、方差、标准差都可以反映数据的离散程度,而平均数不可以,平均数反映的是数据的平均水平.
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小结
标准差公式
标准差能够反映数据离散程度《标准差》
本节课是高中数学必修3，第一章第4节。
在学习了平均数、中位数、众数、极差、方差的基础上，进一步学习标准差，并在学习中不断地体会它们各自的特点，使学生学生理解不同数字特征所表达的意义，能够根据问题需要选择适当的数字特征来表达数据的信息。
【知识与能力目标】
能结合具体情境理解不同数字特征的意义和作用，并能根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息，培养学生解决问题的能力。
【过程与方法目标】
在分析和解决具体实际问题的过程中学会用恰当的统计量表示数据的方法，并能结合统计量对所给数据的分布情况作出合理的解释。
【情感与态度目标】
通过对现实生活和其他学科中统计问题的分析和解决，体会用数学知识解决现实生活及各学科问题的方法，认识数学的重要性。
【教学重点】：熟练掌握标准差等概念、计算方法及意义；
【教学难点】：会根据问题的需要选择不同的统计量表达数据的信息．
多媒体课件
一、提出问题，引入新课
寻找反应一组数据离散程度的最佳数字特征.
问题1：甲、乙两台机床同时生产直径是40mm的零件。为了检验产品质量，从两台机床生产的产品中各抽取10件进行测量，结果如下表所示
甲
40.0
39.8
40.1
40.2
39.9
40.0
40.2
39.8
40.2
39.8
乙
40.0
40.0
39.9
40.0
39.9
40.1
40.1
40.1
40.0
39.9
通过计算可以得出：甲、乙两台机床生产的这10件产品直径的平均数都是40mm.但从表中数据不难发现，甲生产的产品尺寸波动幅度比乙大。我们可以选择哪些数来刻画这两组数据的离散程度？
在学生思考问题的基础上，教师引导学生对刻画数据离散程度的方法进行总结：
方法1（极差）
甲：40.2—39.8=0.4（mm）
乙：40.1—39.9=0.2（mm）
方法2（方差）
甲：
乙：
方法3
甲：
乙：
方法4
甲：
乙：
问题：在刻画数据的离散程度时，选择的统计量应满足哪些原则?
让学生思考，教师在学生回答的基础上进行总结归纳：
①应充分利用所得到的数据，以便提供更确切的信息；
②仅用一个数值来刻画数据的离散程度
③对于不同的数据集，当离散程度大时，该数值亦大。
根据该原则讨论以上方法的优缺点，从而引出标准差的概念：方差的正的平方根
称为标准差。
方差的单位是原始观测数据单位的平方，而刻画离散程度的理想度量应该与原始数据具有相同的单位，因而标准差能更好的反映数据的离散程度。
分别计算上面从甲、乙两台机床抽取的10件产品直径的标准差。
解：从数据容易得到甲、乙两台机床生产的这10件产品直径的平均值。
我们分别计算它们直径的标准差：
由上面的计算可以看出：甲、乙两台机床生产的产品直径的平均值相同，而甲机床生产的产品直径的标准差为0.161mm，比乙机床的标准差0.077mm大，说明乙机床生产的零件更标准些，即乙机床的生产过程更稳定一些。
点评：对数据数字特征内容的评价，应当更多地关注对其本身意义的理解和在新情境中的应用，而不是记忆和使用的熟练程度。
【设计意图】：通过实例比较不同统计量在刻画数据离散程度时的优缺点，从而理解标准差在反映数据离散程度时的优点。
二、布置作业
书面作业：习题1-4
第2题
