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第一章·三角函数
余弦函数的性质
新课学习
画出
的图像。
新课学习
余弦函数的性质
新课学习
2π
偶函数
y轴
随堂练习
例1
画出
在上的简图，并指出其最值和单调区间。
【解】列表
随堂练习
由图像可知，函数在上的最大值为4，
最小值为－2，单调增区间为，单调减区间为。
图像如下：
随堂练习
1、作出函数
在
上的图像。
【解】①列表
随堂练习
②作出
在
上的图像。由于该函数为偶函数，作关于
轴对称的图像，从而得出
在
上的图像。
如图所示：
随堂练习
例2 (1)函数
的单调增区间是
；
(2)比较大小
，
【精彩点拨】
的单调性与
的单调性相同，与
的单调性相反。
(2)利用诱导公式将所给角转化到同一单调区间上比较。
随堂练习
【答案】
(1)由于
的
单调减区间为
，
所以函数
的
增区间为
。
【自主解答】
新课学习
1．形如
函数的单调区间
(1)当
时，其单调性同
的单调性一致；
(2)当
时，其单调性同
的单调性恰好相反。
2．比较
与
的大小时，可利用诱导公式化为
内的余弦函数值来进行。
随堂练习
随堂练习
随堂练习
随堂练习
随堂练习
随堂练习
随堂练习
随堂练习
随堂练习
新课学习
1．会利用余弦函数的图像准确说出其性质。
2．会求函数的定义域，值域，最值，单调区间，奇偶性。
课后作业
课本第33页，思考交流题。
再见《余弦函数的性质》
教材通过类比正弦函数的性质的推导得出余弦函数的性质，锻炼学生类比推理的能力。
【知识与能力目标】
掌握余弦函数的性质及应用。
【过程与方法目标】
类比正弦函数得出余弦函数的性质。
【情感态度价值观目标】
通过图像得出余弦函数性质的过程，培养学生认真负责，一丝不苟的学习和工作精神。
【教学重点】
掌握余弦函数的性质。
【教学难点】
余弦函数的性质的应用。
电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
一、复习导入。
画出余弦函数y＝cos
x，x∈R的简图(如图1?6?2)。
图1?6?2
二、探究新知。
余弦函数的性质
图像
定义域
R
值域
[－1,1]
最大值，最小值
当时，ymax＝1；当时，ymin＝－1
周期性
周期函数，T＝
单调性
在上是增加的；在上是减少的
奇偶性
偶函数，图像关于y轴对称
三、例题解析。
例题1
画出在上的简图，并指出其最值和单调区间。
【解】 列表：
x
0
π
π
2π
cos
x
1
0
－1
0
1
1－3cos
x
－2
1
4
1
－2
图像如下：
由图像可知，函数在上的最大值为4，最小值为-2，单调增区间为，单调减区间为。
巩固练习1
作出函数在上的图像。
【解】 ①列表：
x
0
π
2π
y＝cos
x
1
0
－1
0
1
y＝1－cos
x
1
1
②作出在x∈上的图像．由于该函数为偶函数，作关于y轴对称的图像，从而得出在x∈上的图像。
如图所示：
例题2
(1)函数的单调增区间是
；
(2)比较大小cosπ
cos。
【精彩点拨】
(1)
的单调性与y＝－cos
x的单调性相同，与y＝cos
x的单调性相反。
(2)利用诱导公式将所给角转化到同一单调区间上比较。
【自主解答】 (1)由于y＝cos
x的单调减区间为[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)，所以函数y＝1－2cos
x的增区间为[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)。
(2)由于cosπ＝cos＝cos，
cos＝cos＝cos＝cos，
y＝cos
x在[0，π]上是减少的。
由<知cos>cos，
即cosπ【答案】 (1)[2kπ，2kπ＋π]k∈Z (2)<
。
归纳：
1．形如y＝acos
x＋b(a≠0)函数的单调区间：
(1)当a>0时，其单调性同y＝cos
x的单调性一致；
(2)当a<0时，其单调性同y＝cos
x的单调性恰好相反。
2．比较cos
α与cos
β的大小时，可利用诱导公式化为[0，π]内的余弦函数值来进行。
巩固练习2
(1)比较大小：cos与cos；
(2)求函数的增区间。
【解】 (1)cos＝cos＝cos＝cos，
cos＝cos＝cos＝cos。
∵0<<<π，且y＝cos
x在[0，π]上递减，
∴cos即cos(2)由题意得cos
2x>0且y＝cos
2x递减。
∴x只须满足：2kπ<2x<2kπ＋，k∈Z，
∴kπ∴y＝log(cos
2x)的增区间为，k∈Z。
例题3
求下列函数的最值。
(1)y＝－cos2x＋cos
x；
(2)y＝3cos2x－4cos
x＋1，x∈。
【精彩点拨】 本题中的函数可以看作是关于cos
x的二次函数，可以化归为利用二次函数求最值的方法求解。
【自主解答】 (1)
∵－1≤cos
x≤1，
∴当cos
x＝时，ymax＝。
当cos
x＝－1时，ymin＝－2。
∴函数y＝－cos2x＋cos
x的最大值为，最小值为－2。
(2)
∵x∈，cos
x∈，
从而当cos
x＝－，即x＝时，ymax＝；
当cos
x＝，即x＝时，ymin＝－。
∴函数在区间上的最大值为，最小值为－。
归纳：
求值域或最大值、最小值问题，一般依据为：
?1?sin
x，cos
x的有界性；
?2?sin
x，cos
x的单调性；
?3?化为sin
x＝f（x）或cos
x＝f（x），利用来确定；
?4?通过换元转化为二次函数。
巩固练习3
已知函数的最大值为1，求的值。
【解】
∵，于是
①当，即时，当时，
ymax＝－a－。
由－a－＝1，得a＝－>－2(舍去)；
②当－1≤≤1，即－2≤a≤2时，当cos
x＝时，ymax＝－－。
由－－＝1，得a＝1－或a＝1＋(舍去)；
③当>1，即a>2时，当cos
x＝1时，ymax＝－。
由－＝1，得a＝5，
综上可知，a＝1－或a＝5。
四、小结：
1．会利用余弦函数的图像准确说出其性质。
2．会求函数的定义域，值域，最值，单调区间，奇偶性。
五、作业：
课本第33页，思考交流题。
略。
◆
教材分析
◆
教学目标
◆
教学重难点
◆
课前准备
◆
教学过程
◆
教学反思
