(共13张PPT)
第一章·第6课
余弦函数的性质
最高点：
最低点：
与x轴的交点：
在函数
的图像上，起关键作用的点有：
五点法作图
-1
-
-
-
1
-
复习导入
课程导入
余弦曲线：y=cosx,x∈R
思考1：观察图中所示的余弦曲线，说出它们的图像的对称性？
提示：由图像可以看出，关于y轴对称.
奇偶性：关于y轴对称
新知探究
思考探究
思考2：如何判断三角函数的奇偶性？
提示：(1)利用图像法：若图像关于原点对称，则函数为奇函数；若图像关于y轴对称，则函数为偶函数.
(2)根据奇偶性的定义判断：若对定义域内的任意x都有f(-x)=f(x)，则函数为偶函数；若对定义域内的任意x都有f(-x)=-f(x),则函数为奇函数.
思考探究
对称轴方程x=k?(k∈Z)
对称中心为(k?+
,0)(k∈Z)
函数y=cosx的对称性
由于正、余弦曲线无限延伸，对称轴、对称中心有无限多个.
y
x
o
-?
-1
2?
3?
4?
-2?
-3?
1
?
新知讲解
函数
性
质
y=
sinx
(k∈z)
定义域
x∈R
值域
[-1,1]
最值及相应的
x的集合
x=
2kπ+时，ymax=1
x=2kπ-
时
，ymin=-1
周期性
T=2kπ
(k∈z)
奇偶性
奇函数
单调性
当x∈[
2kπ-
,
2kπ+
]
时函数是增加的
,
当x∈[
2kπ+
，2kπ+]时函数是减少的.
对称中心
（kπ，0）
(k∈z)
对称轴
x
=
kπ+
（k∈Z）
正弦函数的性质
新知讲解
函
数
性
质
y=
cosx
(k∈z)
定义域
x∈R
值域
[-1,1]
最值及相应的
x的集合
x=
2kπ时，ymax=1
x=(2k+1)π时
，ymin=-1
周期性
T=2π
奇偶性
偶函数
单调性
当x∈[
(2k-1)π,
2kπ]
时函数是增加的
,
当x∈[
2kπ
，(2k+1)π]时函数是减少的.
对称中心
（kπ+，0）
(k∈z)
对称轴
x
=
kπ
（k∈Z）
余弦函数的性质
新知讲解
例1
画出函数y=cosx-1的简图，根据图像讨论函数的性质．
x
y=cosx
0
0
-1
-2
-1
0
０
－１
０
１
解：列表
1
y=cosx-1
例题讲解
例题讲解
y=cosx-1
y
x
o
-?
-1
2?
3?
4?
-2?
-3?
1
?
-2
y=cosx
例题讲解
函数
y=cosx-1
定义域
R
值域
［-2,0］
奇偶性
偶函数
周期
2π
单调性
当x∈［(2k-1)π,2kπ］(k∈Z)时,函数是递增的;
当x∈［2kπ,(2k+1)π］(k∈Z)时,函数是递减的
最大值与最小值
当x=2kπ(k∈Z)时,最大值为0;
当x=(2k+1)π(k∈Z)时,最小值为-2
新知讲解
例2
比较cos与cos的大小
解：因为y=cosx在区间[，
上是减少的，且，
所以coscos
例题讲解
1.余弦函数的性质
2.余弦函数性质的运用.
课堂小结
课堂小结
再见《余弦函数的性质》教学设计
教材分析
本节主要内容便是余弦函数的性质，教材通过作图、观察、诱导公式等方法得出余弦函数y=scosx的性质。并且教材突出了余弦函数图象的重要性，可以帮助学生更深刻的认识、理解、记忆余弦函数的性质。
教学目标
【知识与能力目标】
（1）理解并掌握余弦函数的定义域、值域、周期性、最大（小）值、单调性、奇偶性；
（2）能熟练运用余弦函数的性质解题。
【过程与方法目标】
通过余弦函数在R上的图像，让学生探索出余弦函数的性质；
【情感态度价值观目标】
通过本节的学习，培养学生创新能力、探索归纳能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。
教学重难点
【教学重点】
余弦函数的性质。
【教学难点】
余弦函数的性质应用。
课前准备
多媒体课件
教学过程
一、复习导入
首先带领学生利用五点法作出正弦函数的y＝cosx的图像，回忆五点法的作图过程。
二、合作探究
仔细观察正弦曲线的图像，并思考以下几个问题：
观察图中所示的余弦曲线，说出它们的图像的对称性？
如何判断三角函数的奇偶性？
通过探讨总结出余弦函数的对称性特点。
引导学生类比正弦函数的性质学习,让学生观察余弦函数的图像,从定义域、值域、周期性、最大值与最小值、单调性、奇偶性这几个方面探究.可完全放给学生自己探究,教师仅是适时地给予引导.学生很容易得出余弦函数y＝cosx,x∈R具有以下主要性质:
(1)定义域：余弦函数的定义域是R.
(2)值域：余弦函数的值域是［-1,1］.
(3)周期性：余弦函数是周期函数,它的最小正周期是2π.
由于余弦函数具有周期性,为了研究问题方便,我们可以选取任意一个x值,讨论余弦函数在区间［x,x+2π］上的性质,然后拓展到整个定义域(-∞,+∞)上.
(4)最大值与最小值
当x=2kπ(k∈Z)时,余弦函数取得最大值1;
当x=(2k+1)π(k∈Z)时,余弦函数取得最小值-1.
(5)单调性
我们选取长度为2π的区间［-π,π］.可以看出,当x由-π增大到0时,cosx的值由-1增大到1,当x由0增大到π时,cosx的值由1减小到-1.
因此,余弦函数在区间［-π,0］上递增,在区间［0,π］上递减.
由余弦函数的周期性可知,余弦函数在每一个区间［(2k-1)π,2kπ］(k∈Z)上都是递增的,在每一个区间［2kπ,(2k+1)π］(k∈Z)上都是递减的.所以这两类闭区间的每一个都是余弦函数的单调区间.
(6)奇偶性
余弦函数的图像关于y轴对称,即cos(-x)=cosx.∴余弦函数是偶函数.
这个变化情况可从下表及图像中直观地显示出来,教师可引导学生画图并列出下表:
图3
x
-π
…
-
…
0
…
…
π
cosx
-1
↗
0
↗
1
↘
0
↘
-1
类比正弦函数性质的探究,学生可能通过图像已经看出来了,在余弦曲线上也有其他的对称点和对称轴,如余弦曲线还关于直线x＝0,x＝π等多条直线对称,余弦曲线还关于点(,0)等多个点对称,这是由它的周期性而来的.教师可就此引导学生进一步探讨,以开阔学生的视野.
探究余弦函数的性质后,学生自然会拿它与正弦函数的性质进行比较一番,这种习惯很好.比较最能澄清问题的本质属性,比较是最好的学习方法.
三、例题讲解
通过例题的讲解，加深学生对所学知识的理解。
例1
画出函数y=cosx-1,x∈R的简图,并根据图像讨论函数的性质.
【设计意图】让学生进一步熟悉“五点法”作图,领悟图像作法的要领,最终达到熟练掌握.
解:按五个关键点列表,描点画出图像(如图4所示).
x
0
π
2π
cosx
1
0
-1
0
1
cosx-1
0
-1
-2
-1
0
图4
不难看出,函数y=cosx-1的主要性质有(如下表所示).
函数
y=cosx-1
定义域
R
值域
［-2,0］
奇偶性
偶函数
周期
2π
单调性
当x∈［(2k-1)π,2kπ］(k∈Z)时,函数是递增的;
当x∈［2kπ,(2k+1)π］(k∈Z)时,函数是递减的
最大值与最小值
当x=2kπ(k∈Z)时,最大值为0;
当x=(2k+1)π(k∈Z)时,最小值为-2
例2
比较cos与cos的大小.
【设计意图】学生很容易回忆起利用指数函数、对数函数的大小比较,这很好,充分利用学生的知识迁移有利于学生能力的快速提高.本例是余弦,只需将角化为同一个单调区间,然后根据单调性比较大小即可.课堂上仍是让学生自己独立地去操作,教师点拨、纠错,对思考方法不对的学生给予帮助指导.
解:
因为y=cosx在区间[，
上是减少的，且，
所以coscos.
四、小结
请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有哪些？
教学反思
略
