3.3.3 简单的线性规划问题（2） 课件（23张PPT）

一、问题情景
某校办工厂有方木料90m3，五合板600m2，正准备为外校新生加工新桌椅和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料0.1m3，五合板2m2，生产每个书橱需要方木料0.2m3，五合板1m2，出售一张书桌可获利润80元，出售一张书橱可获利润120元.
(1)假设你是工厂的生产科长，请你按要求设计出工厂的生产方案。
方案一：若只生产书桌，用完五合板，可生产书桌300张，可获得利润80×300=24000元，但方木料没有用完.
方案二：若只生产书橱，用完方木料，可生产450张书橱，可获得利润120×450=54000元，但五合板没有用完.
(2)设生产书桌x张，书橱y张，利润z元，写出x，y应满足的条件以及Z与x，y之间的函数关系式.
约束条件为 ：
目标函数为：
(3)如果你是厂长，为使工厂原料充分利用，问怎么安排能够使资源最大限度的利用，且可获得最大利润？
方案三、生产书桌100张，书橱400张，有最大利润为56000元．
在上面两种情况下，原料都没有充分利用，造成了资源浪费，那么该怎么安排能够使资源最大限度的利用，且可获得最大利润？
二、线性规划在实际中的应用
线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，
一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完
成最多的任务；
二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、
物力、资金等资源来完成该项任务.
下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用：
例题
例1　某工厂用A，B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？若生产一件甲产品可获利润2万元，生产一件乙产品可获利润3万元，则如何安排日生产，可使工厂所获利润最大？
分析：将已知数据列成表格
产品
A
B
耗时
甲
4
1h
乙
4
2h
16
12
8h
解　设甲、乙两种产品的产量分别为x，y件，工厂利润z万元
约束条件为：
目标函数是：
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．
　把目标函数z＝2x＋3y 变形为
y
x
O
x＋2y－8＝0
y＝3
x＝4
它表示斜率为 随z变化的一组平行直线系
是直线在y轴上的截距，当截距最大时，z的值最大.
如图可见，当直线z＝2x＋3y 经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．
M
M点是两条直线的交点，解方程组
得M点的坐标为：
所以zmax＝2 x＋3y＝14
由此可知，每天生产甲产品4件、乙产品2件时，工厂可得最大最大利润14万元．
　 例2 投资生产A产品时，每生产一百吨需要资金200万元，需场地200m2，可获利润300万元；投资生产B产品时，每生产一百米需要资金300万元，需场地100m2，可获利润200万元.现某单位可使用资金1400万元，场地900m2，问：应作怎样的组合投资，可获利最大？
资金(百万元)
场地(百平方米)
利润(百万元)
A产品(百吨)
2
2
3
B产品(百米)
3
1
2
限制
14
9
分析　将已知数据列成表格
　 解　设生产A产品x百吨，生产B产品y百米，利润为S百万元，则约束条件为
目标函数为
作出可行域
把目标函数S＝3x＋2y 变形为
A
y
2x＋y＝9
x
O
2x＋3y＝14
它表示斜率为
随S变化的一组平行直线系
是直线在y轴上的截距，当截距最大时，S的值最大．
如图可见，当直线S＝3x＋2y 经过可行域上的点A时，截距最大，即S最大．
A点是两条直线的交点，解方程组
得A点的坐标为：
所以Smin＝3x＋2y＝14.75
由此可知，，生产A产品325t，生产B产品250m时，获利最大，且最大利润为1475万元．
例3　营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？
食物／kg
碳水化合物kg
蛋白质kg
脂肪kg
花费(元)
A
0.105
0.07
0.14
28
B
0.105
0.14
0.07
21
成人日常需要
0.075
0.06
0.06
分析：将已知数据列成表格
解　设每天食用xkg食物A，ykg食物B，总成本为z，则线性约束条件为：
目标函数为：z＝28x＋21y
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域
把目标函数z＝28x＋21y 变形为
x
y
o
5/7
5/7
6/7
3/7
3/7
6/7
它表示斜率为
随z变化的一组平行直线系
是直线在y轴上的截 距，当截距最小时，z的值最小．
M
如图可见，当直线z＝28x＋21y 经过可行域上的点M时，截距最小，即z最小．
M点是两条直线的交点，解方程组
得M点的坐标为：
所以zmin＝28x＋21y＝16
由此可知，每天食用食物A143g，食物B约571g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元．
三、练习题
1. 某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、2000元，甲、乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A，B上加工1件甲所需工时分别为1h、2h，加工一件乙所需工时分别为2h、1h，A，B两种设备每月有效使用台数分别为400h/台和500h/台．如何安排生产可使收入最大？
设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每月收入为z，目标函数为Z＝3x＋2y，满足的条件是
Z＝ 3x＋2y 变形为
　它表示斜率为 的直线系，Z与这条直线的截距有关．
x
y
O
400
200
250
500
当直线经过点M时，截距最大，Z最大．
M
解方程组
可得M(200，100)
Zmax ＝3x＋2y＝800
故生产甲产品200件，乙产品100件，收入最大，为80万元．
2.某人准备投资1200万元兴办一所完全中学.对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格(以班级为单位)
分别用数学关系式和图形表示上述限制条件．若根据有关部门的规定，初中每人每年可收学费1600元，高中每人每年可收学费2700元.因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜(含20个与30个)那么开设初中班和高中班多少个？每年收费的学费总额最多？
学段
班级学生数
配备教师数
硬件建设(万元)
教师年薪(万元)
初中
45
2
26／班
2／人
高中
40
3
54／班
2／人
把上面四个不等式合在一起，得到
y
x
20
30
40
20
30
o
另外，开设的班级不能为负，则x≥0，y≥0.
而由于资金限制，26x＋54y＋2×2x＋2×3y≤1200
解　设开设初中班x个，高中班y个。因办学规模以20～30个班为宜，所以， 20≤x＋y≤30
y
x
20
30
40
20
30
o
由图可以看出，当直线Z＝7.2x＋10.8y经过可行域上的点M时，截距最大，即Z最大.
设收取的学费总额为Z万元，则目标函数
Z＝0.16×45x＋0.27×40y＝7.2x＋10.8y.
Z＝7.2x＋10.8y变形为
它表示斜率为 的直线系，Z与这条直线的截距有关.
M
易求得M(20，10)，则Zmax＝ 7.2x＋10.8y ＝252
故开设20个初中班和10个高中班，
收取的学费最多，为252万元.
四、要点归纳与方法小结
(一)线性规划的两类重要实际问题的解题思路：
1.应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数．
2.用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解.(一般最优解在直线或直线的交点上，要注意斜率的比较．)
3.要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解．
(二)线性规划问题的求解步骤：
(1)审：审题(将题目中数据列表)，将实际问题转化为数学问题；
(2)设：设出变量，确定约束条件，建立目标函数；
(3)画：画出线性约束条件所表示的可行域，作出目标函数线；
(4)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；
(5)求：通过解方程组求出最优解；
(6)答：回答实际问题．
(三)对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是一个凸多边形区域，
此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点，因此，确定
其最优解，往往只需考虑在各个顶点的情形，通过比较，即可得最优解．
(四)本节课学习的数学思想：化归思想、数形结合思想．