(共40张PPT)
第2章
《平面向量-2.2-2.2.2》课件
教师用书独具演示
演示结束
向量的减法
b＋x＝a
a－b
差
已知向量作和(差)向量
向量加减法的基本运算
用已知向量表示其他向量
(教师用书独具)
创设问题情境,引入相反
向量概念
引导学生结合向量加法的
几何意义,探究向量减法
的几何意义,并强调用向
量减法的几何意义作图时
注意问题
通过例1及其互动探究,使
学生掌握作已知向量的和
(差)的作图方法
通过例2及其变式训练,使
学生掌握向量加减法的基
本运算方法
通过例3及其变式训练,使
学生掌握结合图形,用已
知向量表示其他向量的方
法
归纳整理,进行课堂小结,
整体认识本节课所学知
完成当堂双基达标,巩
固所学知识并进行反馈
矫正
知识
类型
例1
规律方法
变式训练
例2
类型
例3
类型3
典例
课堂小结
选倒题
选亚《2.2.2向量的减法》教学案
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)能熟练运用三角形法则和平行四边形法则，作出几个向量的和、差向量．
(2)能结合图形进行向量计算．
2．过程与方法
由概念的形成过程和解题的思维过程，体验数形结合思想．
3．情感、态度与价值观
通过阐述向量的减法运算可以转化为向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想．
●重点难点
重点：相反向量的概念及向量的加法与减法之间的关系．
难点：掌握向量减法运算，并理解其几何意义．
教学方案设计
(教师用书独具)
●教学建议
1．关于相反向量的教学
教学时，建议教师类比相反数的定义，结合向量的特征，由学生自主给出“相反向量的概念”，并会画出某具体向量的相反向量．
2．关于向量减法的教学
教学时，建议教师结合相反向量的表示及向量加法的几何意义，师生共同完成向量的减法及其几何意义的推导，并让学生会用向量减法的几何意义作图、化简、求值．
●教学流程
?引导学生结合向量加法的几何意义，探究向量减法的几何意义，并强调用向量减法的几何意义作图时注意问题.?????
课前自主导学
课标解读
1.了解相反向量的概念．
2.了解差向量的概念和向量加法与减法间的关系．(重点)
3.掌握向量减法运算，并理解其几何意义．(难点)
向量的减法
【问题导思】
若a＋b＝0，则a与b有何关系？
【提示】 由a＋b＝0，得a＝－b，
∴a是b的相反向量．
若b＋x＝a，则向量x叫做a与b的差，记为a－b.求两个向量差的运算，叫做向量的减法.
课堂互动探究
已知向量作和(差)向量
图2－2－13
例1 如图2－2－13，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
【思路探究】 先将a，b首尾相连，作出a＋b，然后根据向量减法的定义作a＋b与c的差向量．
【自主解答】 作法一 如图(1)所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.
作法二 如图(2)所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，过点B作＝c，则＝a＋b－c.
规律方法
1．求作向量的和与差就是三角形法则或平行四边形法则的运用．
2．求作向量的差可以转化为两个向量的和进行，也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的始点重合，则差向量就是连结两个向量的终点，并指向被减向量．
3．作图时一定要注意箭头的方向．
互动探究
用本例所示的向量，作出向量a－b＋c.
【解】 如图，在平面上任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b，再过A作＝c，则＝a－b＋c.
向量加减法的基本运算
例2 化简：(－)－(－)．
【思路探究】 思路一：相反向量法，即把向量的减法转化成向量的加法求解；思路二：利用减法的几何意义，即利用向量减法的三角形法则求解；思路三：向量分解法，即把向量转化成从一点出发的两向量的差向量，如＝－等．
【自主解答】 法一 (利用相反向量)
(－)－(－)＝－－＋
＝＋＋＋＝＋＋＋＝0.
法二 (利用向量减法的几何意义)
(－)－(－)＝－－＋＝(－)－＋
＝－＋＝＋＝0.
法三 (利用＝－)
设O是平面内任意一点，则
(－)－(－)＝－－＋
＝(－)－(－)－(－)＋(－)
＝－－＋－＋＋－＝0.
规律方法
1．向量减法运算的常用方法：
2．注意满足下列两种形式可以化简：
(1)首尾相连且为和；
(2)起点相同且为差．
做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用．
变式训练
(1)化简：(－)－(－)＝________.
(2)化简：(＋＋)－(－－)＝________.
【解析】 (1)(－)－(－)＝－＝.
(2)(＋＋)－(－－)＝＋－＋(＋)＝＋－＋＝－＋＝＋＋＝＋＝0.
【答案】 (1) (2)0
用已知向量表示其他向量
图2－2－14
例3 如图2－2－14，解答下列各题：
(1)用a，d，e表示；
(2)用b，c表示；
(3)用a，b，e表示；
(4)用d，c表示.
【思路探究】 根据图形特点，正确运用向量加法、减法的几何意义即可将要求的向量表示出来．
【自主解答】 由题意知，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e.
(1)＝＋＋＝d＋e＋a.
(2)＝－＝－－＝－b－c.
(3)＝＋＋＝e＋a＋b.
(4)＝－＝－－＝－c－d.
规律方法
用已知向量表示某向量的四个步骤：
第一步：观察各向量的位置；
第二步：寻找(或作)相应的平行四边形或三角形；
第三步：运用法则找关系；
第四步：化简结果．
变式训练
图2－2－15
如图2－2－15，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝f，试用a，b，c，d，f表示以下向量：
(1)；
(2)；
(3)－；
(4)＋；
(5)－.
【解】 (1)＝－＝c－a.
(2)＝＋＝－＋＝－a＋d.
(3)－＝＝－＝d－b.
(4)＋＝－－＋＝b－a－c＋f.
(5)－＝＝－＝f－d.
易错易误辨析
向量减法运算法则运用出错致误
图2－2－16
典例 如图2－2－16所示，已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的向量分别为r1，r2，r3，求.
【错解】 因为＝＋，
且＝＝－，
所以＝＋－＝r3＋r2－r1.
【错因分析】 错误使用了向量的减法法则．
【防范措施】 注意运用三角形法则时，两向量的差等于以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量，即＝－，防止出现＝－的错误．
【正解】 ＝＋＝r1＋＝r1＋－＝r1＋r3－r2.
向量减法的运算法则
(1)向量的减法运算与向量的加法运算是互逆运算，可以灵活转化，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．
(2)两个向量的差也可用平行四边形法则及三角形法则求得：用平行四边形法则时，两个向量也是共起点，和向量是起点与它们的起点重合的那条对角线()，而差向量是另一条对角线()，方向是从减向量指向被减向量；用三角形法则时，把减向量与被减向量的起点相重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.
当堂双基达标
1．△ABC中，＝a，＝b，则＝________.
【解析】 ＝－＝－－＝－a－b.
【答案】 －a－b
2．下列各式：①＋＋＋；②－＋；③(＋)＋＋，
其中结果为0的有________．
【解析】 ①＋＋＋＝＋＋＋＝；
②－＋＝＋＝0；
③(＋)＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝.
【答案】 ②
3．下列四式中，不能化简为的是________．
①－＋；②＋(＋)；③(＋)＋(－)；④＋－.
【解析】 －＋＝＋＝；
＋(＋)＝＋＋＝＋＝；
(＋)＋(－)＝－＝；
＋－＝－≠，故填④.
【答案】 ④
图2－2－17
4．已知不共线的两个非零向量a，b(如图2－2－17所示)，求作向量－a－b.
【解】 法一 如图①，作＝－a，＝b，则＝－a－b.
法二 如图②，作＝a，＝b，再以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，
则＝－a－b.
课后知能检测
一、填空题
1．下列命题中，正确的个数是________．
①在平行四边形中，＋－＝＋；
②a＋b＝a?b＝0；
③a－b＝b－a；
④－＋－的模为0.
【解析】 由向量的加法与减法法则知①④正确．由a＋b＝a?a＋b－a＝0?(a－a)＋b＝0?b＝0知，②正确．
由a－b＝a＋(－b)＝－(b－a)知，③是不正确的．
【答案】 3
2．已知六边形ABCDEF是一个正六边形，O是它的中心，其中a＝，b＝，c＝，则等于________．
【解析】 由正六边形性质知：＝＝＝b＝a＋c.
【答案】 a＋c
3．已知O是四边形ABCD所在平面内的一点，且满足＋＝＋，则四边形ABCD的形状是________．
【解析】 ∵＋＝＋，
∴－＝－.
∴＝，∴BA綊CD.
∴四边形ABCD为平行四边形．
【答案】 平行四边形
4．化简(＋－)＋(－＋)－＝________.
【解析】 原式＝(＋)＋(＋)＋＋(＋)＝＋＋＋＝0.
【答案】 0
图2－2－18
5．如图2－2－18，在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示，则＝________.
【解析】 因为＝a，＝b，＝c，所以＝－＝c－b，又＝，所以＝＋＝a＋c－b.
【答案】 a＋c－b
6．给出以下五个说法：
①若|a|＝|b|，则a＝b；
②任一非零向量的方向都是惟一的；
③|a|－|b|＜|a＋b|；
④若|a|－|b|＝|a|＋|b|，则b＝0；
⑤已知A，B，C是平面上任意三点，则＋＋＝0.
其中正确的说法有________．
【解析】 由|a|＝|b|，得不到a＝b，因为两个向量相等需要模相等，方向相同，故①不正确；当b＝0时，|a|－|b|＝|a＋b|，故③不正确．
【答案】 ②④⑤
7．已知＝a，＝b，若||＝5，||＝12，且∠AOB＝90°，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________.
【解析】 如图，在矩形OACB中，＋＝，即|a＋b|＝||＝＝＝13.同理|a－b|＝13.
【答案】 13 13
8．如图2－2－19，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则－－＋＝________.
图2－2－19
【解析】 法一 －－＋
＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)
＝＋＝.
法二 －－＋＝(－)－(－)
＝－＝＋＝.
【答案】
二、解答题
9．已知菱形ABCD边长都是2，求向量－＋的模．
【解】 ∵－＋＝＋＋＝，
∴|－＋|＝||＝2.
10．如图2－2－20，在五边形ABCDE中，若＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，求作向量a－c＋b－d－e.
图2－2－20
【解】 a－c＋b－d－e＝(a＋b)－(c＋d＋e)＝(＋)－(＋＋)＝－＝＋.
连结AC，并延长至点F，使CF＝AC，则＝.
∴＝＋即为所求作的向量a－c＋b－d－e.如图．
11．已知△OAB中，＝a，＝b，满足|a|＝|b|＝|a－b|＝2，求|a＋b|与△OAB的面积．
【解】 由已知得||＝||，以，为邻边作平行四边形OACB，则可知其为菱形，如图，且＝a＋b，＝a－b，
由于|a|＝|b|＝|a－b|，即OA＝OB＝BA，
∴△OAB为正三角形，
|a＋b|＝||＝2×＝2，
∴S△OAB＝×2×＝.
教师备课资源
(教师用书独具)
备选例题
已知非零向量a，b满足|a|＝＋1，|b|＝－1，且|a－b|＝4，求|a＋b|的值．
【思路探究】 解答本题可先由|a|，|b|及|a－b|出发，找出三者之间的数量关系，从而进一步判断三角形的形状，再求|a＋b|的值.
【自主解答】 如图，＝a，＝b，则||＝|a－b|，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则||＝|a＋b|.由于(＋1)2＋(－1)2＝42.故||2＋||2＝||2，所以△AOB是∠AOB为90°的直角三角形，从而OA⊥OB，所以?OACB是矩形，根据矩形的对角线相等有||＝||＝4，即|a＋b|＝4.
规律方法
向量在平面几何中的应用一般有两种题型：
(1)以平面几何为背景的向量计算、证明问题；
(2)利用向量运算证明平面几何问题，这是向量的主要应用．
解题的关键是应用向量加法、减法的几何意义，对相关向量进行合理转化．
备选变式
已知＝a，＝b，且|a|＝|b|＝4，∠AOB＝60°，求|a＋b|，
|a－b|.
【解】 以、为邻边作平行四边形OACB，
∵||＝|a|＝4，||＝|b|＝4，∴四边形OACB为菱形．∵a＋b＝＋＝，a－b＝－＝，
∠AOB＝60°，∴|a＋b|＝||＝4，|a－b|＝||＝4.
