(共46张PPT)
第2章
《平面向量-2.2-2.2.3》课件
教师用书独具演示
演示结束
向量数乘的定义
一个向量
相同
相反
0
向量的数乘
0
向量数乘的运算律
向量共线定理
向量数乘的基本运算
向量的表示
共线问题
(教师用书独具)
创设问题情境,引入向量
数乘的概念,并引导学生
探究向量数乘的运算律
引导学生结合向量数乘的
定义及共线向量的定义,
探究向量共线定理的推导
和证明
通过例1及其变式训练,使
学生掌握进行向量数乘基
本运算的方法
通过例2及其互动探究,使
学生掌握结合向量数乘运
算,用已知向量表示未知
向量的方法
通过例3及其变式训练,使
学生掌握利用向量共线定
理解决有关三点共线问题
的方法
归纳整理,进行课堂小结
整体认识本节课所学知
完成当堂双基达标,巩
固所学知识并进行反馈
矫正
知识
知识
知识
类型
例1
规律方法
变式训练
例2
类型
互动振置
例3
类型3
典例
课堂小结
选倒题
选亚《2.2.3向量的数乘》教学案
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)理解并掌握实数与向量的积的意义．
(2)会利用实数与向量的积的运算律进行有关计算．
(3)掌握向量共线的条件．
2．过程与方法
由概念的形成过程体验分类讨论的数学思想的指导作用．
3．情感、态度与价值观
(1)通过对实数与向量的乘积一节的学习，培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力．
(2)实数与向量的积还是一个向量，它的长度和方向的变化由实数λ决定，向学生揭示事物是在不断地运动变化着．
(3)通过本节内容的学习，使学生掌握实数与向量的积．从形上看，就是图形的放大或缩小，从而揭示事物在不断地运动变化过程中“万变不改其性”的哲理．
●重点难点
重点：数乘向量的运算及其几何意义．
难点：两向量共线的含义及共线定理．
教学方案设计
(教师用书独具)
●教学建议
1．关于数乘向量的概念的教学
教学时，建议教师结合学生熟悉的物理知识引出实数与向量的积，并着重强调数乘向量也是向量，也应该从“模”与“方向”两点学习该部分知识，进而得到数乘运算的几何意义．
2．关于向量共线的判定定理和性质定理的教学
教学时，建议教师从数乘向量的定义及共线向量的定义出发，先让学生由“a(a≠0)，b共线”导出“b＝λa”这一等量关系，在此基础上给出“b＝λa”让学生判断a(a≠0)，b是否共线．从而从正反两方面给出该定理的推导和证明，最后通过典例辅助学生理解并应用．
●教学流程
??????
课前自主导学
课标解读
1.掌握向量数乘的运算及其几何意义．(重点)2.理解两个向量共线的含义，掌握向量共线定理．(难点)3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
向量数乘的定义
【问题导思】
我们知道a＋a＋a＝3a，那么a＋a＋a是否等于3a？(－a)＋(－a)＋(－a)呢？
【提示】 a＋a＋a＝3a，(－a)＋(－a)＋(－a)＝－3a.
一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当a＝0时，λa＝0；当λ＝0时，λa＝0.
实数λ与向量a相乘，叫做向量的数乘.
向量数乘的运算律
【问题导思】
类比实数的运算律，向量数乘有怎样的运算律？
【提示】 结合律，分配律．
(1)λ(μa)＝(λμ)a；
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.
向量共线定理
【问题导思】
若b＝2a，b与a共线吗？
【提示】 根据共线向量及向量数乘的意义可知，b与a共线．
如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使得b＝λa.
课堂互动探究
向量数乘的基本运算
例1 (1)化简[(4a－3b)＋b－(6a－7b)]；
(2)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求(a－b)－(a－b)＋(2b－a)．
【思路探究】 去括号→合并共线向量→化简．
【自主解答】 (1)原式＝[4a－3b＋b－a＋b]
＝[(4－)a＋(－3＋＋)b]
＝(a－b)＝a－b.
(2)原式＝a－b－a＋b＋2b－a
＝(－1－1)a＋(－1＋＋2)b
＝－a＋b＝－(3i＋2j)＋(2i－j)
＝(－5＋)i＋(－－)j＝－i－5j.
向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
变式训练
计算：
(1)(－7)×(6a)；
(2)(a＋b)－3(a－b)－8a；
(3)(a＋2b＋c)－2(b－3c)．
【解】 (1)(－7)×(6a)＝－42a.
(2)(a＋b)－3(a－b)－8a＝(a－3a)＋(b＋3b)－8a
＝－2a＋4b－8a＝－10a＋4b.
(3)(a＋2b＋c)－2(b－3c)＝a＋(2b－2b)＋(c＋6c)
＝a＋7c.
向量的表示
图2－2－21
例2 如图2－2－21，在△ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，＝3a，＝2b，求，.
【思路探究】 由D，E为边AB的两个三等分点可知A，B，D，E四点共线，从而向量，均可以由向量表示，而向量可由向量，表示，从而问题可解．
【自主解答】 ∵＝3a，＝2b，
∴＝－＝2b－3a，
又D，E为边AB的两个三等分点，
所以＝＝b－a，
所以＝＋＝3a＋b－a＝2a＋b，
＝＋＝3a＋
＝3a＋(2b－3a)＝a＋b.
规律方法
用已知向量表示未知向量的求解思路：
(1)先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中；
(2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量；
(3)求解过程体现了数学上的化归思想．
互动探究
若本例条件不变，如何求？
【解】 ＝＝－(2b－3a)＝2a－b，或＝＋＝－2b＋2a＋b＝2a－b.
共线问题
例3 已知非零向量e1，e2不共线.
(1)如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线．
(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．
【思路探究】 对于(1)，欲证A，B，D共线，只需证存在实数λ，使＝λ即可；对于(2)，若ke1＋e2与e1＋ke2共线，则一定存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)．
【自主解答】 (1)证明：∵＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5.
∴，共线，且有公共点B，∴A，B，D三点共线．
(2)∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，
∴存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，
由于e1与e2不共线，只能有∴k＝±1.
规律方法
1．证明三点共线，通常转化为证明这三点构成的其中两个向量共线，向量共线定理是解决向量共线问题的依据．
2．若A，B，C三点共线，则向量，，在同一直线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线性关系．而向量共线定理是实现线性关系的依据．
变式训练
设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，求k的值．
【解】 ＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2.
因为A，B，D三点共线，故存在实数λ，使得＝λ，
即2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2.
由向量相等的条件得所以k＝－8.
易错易误辨析
对向量共线定理理解不透致误
图2－2－22
典例 如图2－2－22所示，在△ABC中，已知D，E分别为BC，AC的中点，若＝m，＝a，试用a，m表示.
【错解】 由题意知＝＝a，
＝＋＝m＋a.
∵DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AB，且DE＝AB，
∴＝＝m＋a.
【错因分析】 与共线，D为BC的中点，但与的方向相反，所以＝－＝－a.与平行且方向相反，故＝－.
【防范措施】 正确理解向量共线的充要条件：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.当b与a同向时，λ＞0，b与a反向时，λ＜0.
【正解】 ∵D为BC的中点，∴＝－＝－a，∴＝＋＝m－a.
又∵D，E分别为BC，AC的中点，
∴＝－＝－m＋a.
1．向量数乘的几何意义
由实数与向量的积的定义可以看出，它的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩．
当|λ|＞1时，表示a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长为原来的|λ|倍；
当|λ|＜1时，表示a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上缩小为原来的|λ|倍．
2．准确理解共线向量定理
共线向量定理为运用向量判定直线平行或三点共线等几何问题提供了理论依据．理解时应注意以下几点：
(1)定理本身包含了正反两个方面：若存在一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，则a与b共线；反之，若a与b共线(a≠0)，则必存在一个实数λ，使b＝λa.
(2)定理中，之所以限定a≠0是由于若a＝b＝0，虽然λ仍然存在，可是λ不惟一，定理的正反两个方面不成立．
(3)若a，b不共线，且λa＝μb，则必有λ＝μ＝0.
当堂双基达标
1．化简5(3a－2b)－4(2b－3a)的结果为________．
【解析】 5(3a－2b)－4(2b－3a)＝15a－10b－8b＋12a＝27a－18b.
【答案】 27a－18b
2．在△ABC中，D是BC的中点，向量＝a，向量＝b，则向量＝________(用向量a，b表示)．
【解析】 延长AD到E，使AD＝DE，则四边形ABEC是平行四边形，
则＝＝(a＋b)．
【答案】 (a＋b)
3．平面向量a，b共线的等价条件是________．(填序号)
①a，b方向相同；
②a，b两向量中至少有一个为零向量；
③存在λ∈R，b＝λa；
④存在不全为0的实数λ1，λ2，λ1a＋λ2b＝0.
【解析】 由两个非零向量a，b共线的条件，即向量共线定理可知，①②③不是a，b共线的等价条件，④是．
【答案】 ④
4．已知＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)．
求证：A，B，D三点共线．
【证明】 ∵＝＋＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝，
∴与共线．
又∵与有公共点B，∴A，B，D三点共线．
课后知能检测
一、填空题
1．已知λ∈R，则下列说法错误的是________．
①|λa|＝λ|a|；②|λa|＝|λ|a；③|λa|＝|λ||a|；
④|λa|>0.
【解析】 当λ<0时，①式不成立；当λ＝0或a＝0时，④式不成立；又|λa|∈R，而λ|a|是数乘向量，故②必不成立．
【答案】 ①②④
2．(2013·滨海高一检测)将[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]化简成最简式为________．
【解析】 原式＝(2a＋8b)－(4a－2b)＝a＋b－a＋b＝－a＋2b＝2b－a.
【答案】 2b－a
3．若＝，则＝________.
【解析】 ∵＝，∴点A，B，C三点共线且与同向，||＝(如图)，
∴||＝，又与反向，
∴＝－.
【答案】 －
4．(2013·南昌高一检测)已知平行四边形ABCD中，＝a，＝b，其对角线的交点为O，则用a，b表示为________．
【解析】 ∵＋＝＋＝＝2，
∴＝(a＋b)．
【答案】 (a＋b)
5．点G是△ABC的重心，D是AB的中点，且＋－＝λ，则λ＝________.
【解析】 ∵＋－＝＋＋＝2＝4，
∴λ＝4.
【答案】 4
图2－2－23
6．如图2－2－23所示，与分别在由点O出发的两条射线上，则下列各项中向量的终点落在阴影区域的是________．
①＋2；②＋；③－；④－.
【解析】 作出四个向量可知，只有①②满足条件．
【答案】 ①②
7．已知向量a，b，若＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是________．
【解析】 通过观察，＝＋＝2a＋4b，与a＋2b有2倍关系，即2＝.符合向量共线定理，∴A，B，D三点共线．故填A，B，D.
【答案】 A，B，D
8．在?ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________(用a，b表示)．
【解析】 法一 如图，
＝＋＋
＝－b－a＋
＝－b－a＋(a＋b)
＝(b－a)．
法二 设AC交BD于O，由于N为AC的分点，则有N为OC的中点，＝＝＝(b－a)．
【答案】 b－a
二、解答题
9．已知向量a，b是两个不共线的向量，且ma－3b与向量a＋(2－m)b共线，求实数m的值．
【解】 由ma－3b与向量a＋(2－m)b共线可知，
存在实数λ满足ma－3b＝λ[a＋(2－m)b]，
即(m－λ)a－[3＋λ(2－m)]b＝0，
又a与b不共线，
∴
解得m＝3或m＝－1.
10．在平行四边形ABCD中，M，N分别是DC，BC的中点，已知＝c，＝d，试用c，d表示和.
【解】 如图，设＝a，＝b.
∵M，N分别是DC，BC的中点，∴＝b，＝a.
∵在△ADM和△ABN中，
即
①×2－②，得b＝(2c－d)．
②×2－①，得a＝(2d－c)．
∴＝d－c，＝c－d.
11．设a，b，c为非零向量，其中任意两向量不共线，已知a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则b与a＋c是否共线？请证明你的结论．
【解】 b与a＋c共线．证明如下：
∵a＋b与c共线，
∴存在惟一实数λ，使得a＋b＝λc.①
∵b＋c与a共线，
∴存在惟一实数μ，使得b＋c＝μa.②
由①－②得，a－c＝λc－μa.∴(1＋μ)a＝(1＋λ)c.
又∵a与c不共线，∴1＋μ＝0，1＋λ＝0，
∴μ＝－1，λ＝－1，∴a＋b＝－c，
即a＋b＋c＝0.
∴a＋c＝－b.
故a＋c与b共线.
教师备课资源
(教师用书独具)
备选例题
如图所示，已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，延长CD到M使DM＝CD，延长BE到N使BE＝EN，求证：M，A，N三点共线．
【思路探究】 本题利用三角形法则转化到可证两向量共线，从而解决点共线的几何问题．
【自主解答】 在△AMC中，D为MC的中点，
∴2＝＋.
又∵D是AB的中点，∴2＝.
∴＝＋，∴＝－＝.
同理可证＝－＝.
∴＝－.∴，共线且有公共点A.
∴A，M，N三点共线．
规律方法
1．用已知向量表示相关向量时，一般使用向量运算的三角形法则表示出相关向量，然后用相等向量、相反向量及数乘向量逐步替换为已知向量．
2．解答本类问题除使用向量的线性运算外，还要灵活运用平面几何中的相关性质和结论．
备选变式
已知任意平面四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．
求证：＝(＋)．
【证明】 取以点A为起点的向量，应用三角形法则求证，如图．
∵E为AD的中点，
∴＝.
∵F是BC的中点，
∴＝(＋)．
又
∵＝＋，
∴＝(＋＋)
＝(＋)＋.
∴＝－＝(＋)＋－
＝(＋)．
