(共47张PPT)
第2章
《平面向量-2.2-2.2.1》课件
教师用书独具演示
演示结束
向量加法的定义
和
向量加法的运算法则
和
a＋b
a＋b
向量加法的运算律
b＋a
a＋(b＋c)
向量加法的化简与运算
向量加法在平面几何中的应用
向量加法的实际应用
(教师用书独具)
创设问题情境,引出问题,
两个向量相加结果等于它
们的模相加吗?
引导学生利用物理知识
通过类比、比较分析的方
法,发现并理解向量加法
的三角形法则和平行四边
形法则
通过类比数的运算律,结
合向量加法的三角形和平
行四边形法则,探究向量
加法的运算律
通过例1及其变式训练,使
学生掌握利用三角形法
则、平行四边形法则及向
量加法的运算律进行向量
的化简与运算的方法
通过例2及其变式训练,使
学生掌握利用向量知识证
明平面几何问题的方法
通过例3及其变式训练,使
生掌握利用向量加法解
决实际应用问题的方法
归纳整理,进行课常小结,
整体认识本节课所学知
完成当堂双基达标,巩
固所学知识,并进行反
馈矫正
知识
知识
知识
类型
例1
规律方法
变式训练
例2
类型
例3
类型3
典例
课堂小结
选倒题
选亚《2.2.1向量的加法》教学案
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)掌握向量加法的概念；能熟练运用三角形法则和平行四边形法则作几个向量的和向量；能准确表述向量加法的交换律和结合律，并能熟练运用它们进行向量计算．
(2)通过实例，掌握向量加法的运算，并理解其几何意义．
(3)初步体会数形结合在向量解题中的应用．
2．过程与方法
教材利用学生熟悉的物理知识引出向量的加法，一方面启发我们利用位移的合成去探索两个向量的和，另一方面帮助我们利用物理背景去理解向量的加法．最后通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力．
3．情感、态度与价值观
通过本节内容的学习，使同学们对向量加法的三角形法则和平行四边形法则有了一定的认识，进一步让学生理解和领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的加法，这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神．
●重点难点
重点：向量加法的三角形法则和平行四边形法则．
难点：向量加法的交换律与结合律的推导．
教学方案设计
(教师用书独具)
●教学建议
1．关于向量加法的教学
教学时，建议教师从教材实例出发，结合物理学中的位移概念给出向量加法的背景进行教学，在此基础上给出向量加法的三角形法则和平行四边形法则，让学生理解向量的加法的同时领悟数形结合的思想．
2．关于向量加法的运算律的教学
教学时，建议教师类比数的运算律结合向量加法的三角形法则和平行四边形法则给出向量加法的运算律，由于向量加法的运算律是研究向量线性运算的前提和基础，为增强学生对该知识点的印象，建议教学过程中最好让学生自己完成对该问题的证明．
●教学流程
?引导学生利用物理知识，通过类比、比较分析的方法，发现并理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则.??
通过例1及其变式训练，使学生掌握利用三角形法则、平行四边形法则及向量加法的运算律进行向量的化简与运算的方法.????
课前自主导学
课标解读
1.了解向量加法在物理学中的背景知识．2.掌握向量加法的运算(三角形法则和平行四边形法则)，理解向量加法的几何意义．(重点、难点)3.会推导向量加法的交换律与结合律.
向量加法的定义
【问题导思】
(1)飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京(如图)，这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的．
(2)有两条拖轮牵引一艘轮船，它们的牵引力分别是F1＝3
000
N，F2＝2
000
N，牵引绳之间的夹角为θ＝60°(如图)，如果只用一条拖轮来牵引，也能产生跟原来相同的效果．
上面实例中，体现了向量的什么运算？
【提示】 体现了向量的加法运算．
向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
向量加法的运算法则
【问题导思】
上述实例中位移的和运算、力的和运算分别用什么法则？
【提示】 三角形法则和平行四边形法则．
(1)三角形法则：如图2－2－1，已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.
图2－2－1
(2)平行四边形法则：
图2－2－2
向量加法的运算律
【问题导思】
向量的加法既然是一种运算，它是否也和实数加法的运算律有相似的运算律？
【提示】 有．
(1)交换律：a＋b＝b＋a.
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
课堂互动探究
向量加法的化简与运算
图2－2－3
例1 化简或运算：
(1)(＋)＋(＋)＋.
(2)如图2－2－3所示，梯形ABCD中，||＝8，||＝10，试求|＋|.
【思路探究】 (1)根据向量字母的排列顺序，运用运算律适当组合后运算．
(2)利用三角形法则，先求和向量，再求模．
【自主解答】 (1)原式＝＋＋＋＋＝.
(2)如图所示，作＝，
则＋＝＋＝，
结合图形可知|＋|＝||
＝||－||
＝||－||＝10－8＝2.
规律方法
求向量的和要考虑用向量加法的运算律和运算法则．求和的关键是利用向量加法的三角形法则，在运用此法则时，要注意“首尾相接”，即求两个向量的和是以第一个向量的终点为第二个向量的起点，和向量是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．此类题要利用运算律将“首尾相接”的两个向量分在一组，多个向量求和也要注意首尾相连．
变式训练
(1)下列各式中结果为0的个数是________．
①＋＋；②＋＋＋；③＋＋＋.
(2)已知O为正六边形ABCDEF的中心，求下列向量：
①＋；
②＋；
③＋.
【解】 (1)①原式＝＋＝0；
②原式＝(＋)＋(＋)＝＋0＝；
③原式＝(＋)＋(＋)＝＋＝0.
故①③符合．
【答案】 2
(2)①由图知，OAFE为平行四边形．
∴＋＝；
②由图知，OABC为平行四边形，
∴＋＝；
③由图知，AEDB为平行四边形，
∴＋＝.
向量加法在平面几何中的应用
图2－2－4
例2 如图2－2－4，已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且＝，＝.
求证：四边形ABCD是平行四边形．
【思路探究】 要证明四边形ABCD是平行四边形，只需证明＝，且A，B，C，D不在一条直线上即可．
【自主解答】 由向量的加法法则，知：
＝＋，＝＋.
∵＝，∴＝.
又＝，∴＝.
∵A，B，C，D不在一条直线上，
∴AD綊BC，∴四边形ABCD是平行四边形．
规律方法
利用向量的加法可以得到线段的平行和相等，用向量法解几何问题的关键是把几何问题转化为向量问题，通过向量的运算得到结论，然后再把向量问题还原成几何问题．
变式训练
图2－2－5
如图2－2－5所示，四边形ABCD是平行四边形，且BE＝DF，求证四边形AECF是平行四边形．
【证明】 ∵BE＝DF，
且，方向相同，
∴＝.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴＝，∴＋＝＋，
∴＝，即AE与CF平行且相等，
∴四边形AECF是平行四边形.
向量加法的实际应用
例3 一艘船从A点出发以2
km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2
km/h，求船实际航行速度的大小与方向(用与水流速度间的夹角表示)．
【思路探究】 因为速度既有大小又有方向是向量，所以速度的和即为向量，使向量与实际问题建立联系，从而顺利解决问题．
【自主解答】 如图，设表示船垂直于对岸行驶的速度，表示水流的速度，以，为邻边作平行四边形ABCD，则就是船实际航行的速度，在Rt△ABC中，||＝2，||＝2，所以||＝＝＝4，
因为tan∠CAB＝＝，所以∠CAB＝60°.
故船实际航行速度的方向与水流速度成60°角，大小为4
km/h.
规律方法
1．借助物理知识和生活常识，把实际问题抽象为向量的加法运算．依据三角形法则或平行四边形法则正确作出向量图，再利用三角形的有关知识，求解相应问题．
2．所求向量的方向一般要借助相对某一指定方向形成的角体现．
变式训练
图2－2－6
如图2－2－6，用两根绳子把重10
N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．
【解】 如图，设，分别表示A，B处所受的力，10
N的重力用表示，
则＋＝.
易得∠ECG＝180°－150°＝30°，
∠FCG＝180°－120°＝60°.
∴||＝||cos
30°＝10×＝5，
||＝||cos
60°＝10×＝5.
∴A处所受的力的大小为5
N，B处所受的力的大小为5
N.
易错易误辨析
忽视零向量与数0的区别致误
典例 化简＋＋.
【错解】 ＋＋＝＋＝0.
【错因分析】 错解的原因是混淆了数0和零向量这两个不同的概念，结果应为零向量．
【防范措施】 向量相加或相减，其结果仍然是向量，注意0与0的不同．
【正解】 ＋＋＝＋＝0.
准确理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则
(1)两个法则的使用条件不同
三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．
(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的．
(3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同．
当堂双基达标
1．在四边形ABCD中，＋＋等于________．
【解析】 ＋＋＝＋＝.
【答案】
2．在矩形ABCD中，若||＝4，||＝3，则|＋|＝________.
【解析】 如图，根据平行四边形法则得＋＝，而矩形ABCD中，||＝4，||＝3，则||＝5，故|＋|＝5.
【答案】 5
3．下列说法：
(1)如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同；
(2)在△ABC中，必有＋＋＝0；
(3)＋＋＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点；
(4)若a，b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．
其中正确说法的个数为________．
【解析】 (1)当a＋b＝0时，命题不成立，(1)错；(2)正确；(3)当A，B，C三点共线时，也可以有＋＋＝0，(3)错；(4)当a，b共线时，若a，b同向，则|a＋b|＝|a|＋|b|；若a，b反向，则|a＋b|＝||a|－|b||；当a，b不共线时|a＋b|＜|a|＋|b|，(4)错．
【答案】 1
4．一条渔船距对岸4
km，以2
km/h垂直于对岸的速度向对岸划去，到达对岸时，船的实际航程为8
km，求河水的流速．
【解】 如图所示，设表示船垂直于对岸的速度，表示水流的速度．
则由＋＝知就是渔船实际航行的速度，航行时间为4÷2＝2(h)．在Rt△ABC中，||＝2，
||＝8÷2＝4.∴||＝2.
故河水的流速是2
km/h.
课后知能检测
一、填空题
1．化简：＋＋＋＋＝________.
【解析】 ＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝0.
【答案】 0
图2－2－7
2．如图2－2－7，在平行四边形ABCD中，
(1)＋＝________；
(2)＋＋＝________；
(3)＋＋＝________.
【解析】 (1)＋＝.
(2)＋＋＝.
(3)＋＋＝＋＝.
【答案】 (1) (2) (3)
3．已知a表示“向北走5
km”，b表示“向西走5
km”，则a＋b的方向是________，|a＋b|＝________.
【解析】 如图可知a＋b的方向是北偏西45°，|a＋b|＝5.
【答案】 北偏西45° 5
图2－2－8
4．如图2－2－8，已知△ABC是直角三角形且∠A＝90°，则在下列结论中正确的是________．
①|＋|＝||；
②|＋|＝||；
③|＋|＝||；
④||2＋||2＝||2.
【解析】 ①正确．以AB，AC为邻边作?ABDC，又∠A＝90°，
∴?ABDC为矩形，
∴AD＝BC，
∴|＋|＝||＝||.
②正确．|＋|＝||＝||.
③正确．|＋|＝||＝||.
④正确．由勾股定理知||2＋||2＝||2.
【答案】 ①②③④
图2－2－9
5．(2013·天津高一检测)如图2－2－9，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，则＋＋＝________.
【解析】 ＋＋＝＋＋＝＋＝.
【答案】
图2－2－10
6．(2013·肇庆高一检测)如图2－2－10，已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中不正确的是________．
①＋＝；
②＋＋＝0；
③＋＝；
④＋＝.
【解析】 根据三角形法则可知①②正确．
∵D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，
∴四边形ADEF和四边形DECF都是平行四边形，
∴＋＝，＝，
∴＋＝，故③正确，④不正确．
【答案】 ④
7．若P为△ABC的外心，且＋＝，则∠ACB＝________.
【解析】 如图，∵＋＝，∴四边形APBC组成平行四边形，又P为△ABC的外心，
∴||＝||＝||，因此∠ACB＝120°.
【答案】 120°
8．在长江南岸渡口处，江水以12.5
km/h的速度向东流，渡船的速度为25
km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为________．
【解析】 如图，渡船速度，水流速度，船实际垂直过江的速度，依题意，||＝12.5，||＝25，由于四边形OADB为平行四边形，则||＝||，又OD⊥BD，∴在直角三角形OBD中，∠BOD＝30°，
∴航向为北偏西30°.
【答案】 北偏西30°
二、解答题
图2－2－11
9．如图2－2－11所示，已知向量a，b，c，试用三角形法则作a＋b＋c.
【解】 如图所示，作＝a，＝b，则＝a＋b.作＝c，则＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c，即为a＋b＋c.
图2－2－12
10．如图2－2－12，已知P，Q为△ABC的边BC上两点，且BP＝QC.求证：＋＝＋.
【解】 法一 (＋)－(＋)＝(－)＋(－)＝＋.
因为BP＝QC，且与方向相反，故＋＝0，
即(＋)－(＋)＝0，因此＋＝＋.
法二 如图所示，取BC中点D，连结AD.
在△ABC中，因为D为BC中点，所以＋＝2.
又BP＝QC，所以在△APQ中，PD＝QD，所以＋＝2.故＋＝＋.
11．轮船从A港沿北偏东60°方向行驶了40
km到达B处，再由B处沿正北方向行驶40
km到达C处，求此时轮船到A港的相对位置．
【解】 如图，设，分别是轮船两次位移，则表示两次位移的合位移，即＝＋.
在Rt△ABD中，||＝20
km，||＝20
km，则||＝||＋||＝60
km.
在Rt△ACD中，||＝＝40(km)，所以∠CAD＝60°.
即此时轮船位于A港北偏东30°，且距离A港40
km处．
教师备课资源
(教师用书独具)
备选例题
如图所示，在正六边形OABCDE中，若＝a，＝b，试用向量a，b，将，，表示出来．
【思路探究】 用向量a，b表示，，，要利用正六边形的性质，用平行向量、相等向量的知识和向量加法的运算法则求解，结合图形，适当地选取法则是解决此类问题的关键．
【自主解答】 设正六边形的中心为P，
则四边形ABPO，AOEP均为平行四边形．
由向量加法的平行四边形法则，知
＝＋＝a＋b.∵＝，∴＝a＋b.
在△AOB中，根据向量的三角形法则，＝＋＝a＋(a＋b)＝2a＋b，
∴＝＋＝2a＋b＋b＝2a＋2b，
＝＋＝＋＝b＋a＋b＝a＋2b.
规律方法
用三角形法则求两个向量和的步骤是：
第一步：将其中一个向量平移，使两个向量中的一个向量的起点与另一个向量的终点重合；
第二步：将剩下的起点与终点相连，并指向终点，则该向量即为两向量的和．
备选变式
若正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c.试作出向量a＋b＋c，并求出其模的大小．
【解】 根据平行四边形法则可知，a＋b＝＋＝.
根据三角形法则，延长AC，在AC的延长线上作＝，则a＋b＋c＝＋＝＋＝(如图所示
)．
∴|a＋b＋c|＝||
＝2＝2.
