上海市徐汇区2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题 Word版含答案

徐汇区高二下期末数学试卷
2020.7
一、填空题
1．已知直线的一个方向向量是，则它的斜率为 ．
2．抛物线的准线方程为 ．
3．直线与直线的夹角为 ．
4．已知长方体的、、的长分为3、4、5，则点到棱的距离为 ．
5．若为坐标原点，是直线上的动点，则的最小值为 ．
6．如图，以长方体的顶点为坐标原点，
过的三条棱所在真线为坐标轴，建立空间直角坐标系．
若的坐标为，则的坐标为 ．
7．经过点且与圆相切的直线方程是 ．
8．已知，则的最大值是 ．
9．如图，已知三棱柱的体积为4，则四面体
的体积为 ．
10．已知双曲线的焦点坐标为，则的值为 ．
11．从（，且）个男生、6个女生中任选2个人发言．假设事件表示选出的2个人性别相同，事件表示选出的2个人性别不同．如果事件和事件的概率相等，则 ．
12．如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，
母线长为40公里，是母线上一点，且公里．为了发展旅
游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路．这条铁路从
出发后首先上坡，随后下坡，则下坡段铁路的长度为 公里．
二、选择题
13．在正方体中，和所成角的大小是（ ）
A． B． C． D．
14．已知、是定点，．若动点满足，则动点的轨迹是（ ）
A．直线 B．线段 C．圆 D．椭圆
15．如图，若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为
且腰和上底长均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（ ）
A． B． C． D．
16．如图，点是曲线上的任意一点，，
，射线交曲线于点，垂直于直线，
垂足为点．则下列判断：①为定值；
②为定值5．其中正确的说法是（ ）
A．①②都正确 B．①②都错误
C．①正确，②错误 D．①都错误，②正确
三、解答题
17．已知关于的一元二次方程的两根为．
（1）若为虚数，求的取值范围；
（2）若，求的值．
18．己知的二项展开式中二项式系数之和为256．
（1）求的值；
（2）求该展开式中项的系数．
19．如图，己知正方体的棱长为1．
（1）求证：；
（2）求与平面所成角的大小．
20．高二A班计划在学校即将举办的夏季游园会上为同学们提供单球冰激凌的销售服务．已知购买一圆柱形桶装冰激凌需要1300元，此桶装冰激凌桶内底面直径为25厘米，冰激凌净高20厘米．单球冰激凌的平均直径约为5厘米，一副一次性杯勺的成本约1元（其他成本忽略不计）．根据前期调查，冰激凌球能全部售完．
高二A班打算将每个单球冰激凌定价为15元，你认为这样的定价是否合理？请作出必要的计算，结合计算结果阐述你的理由．
21．已知：椭圆的焦距为2，且经过点，、是椭圆上异于的两个动点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求证：直线过定点，并求出该定点坐标．
参考答案
一、填空题
1．2 2． 3． 4．5 5． 6．
7． 8．1 9． 10． 11．10 12．18
【第12题解析】如图，展开圆锥的侧面，过点作的垂线，垂足为，
记点为上任意一点，联结，，
由两点之间线段最短，知观光铁路为图中的，，
上坡即到山顶的距离越来越小，下坡即到山顶的
距离越来越大，∴下坡段的铁路，即图中的，
由，可求出．
二、选择题
13．C 14．B 15．C 16．A
【第16题解析】曲线两边平方，
得，为双曲线的的部分，
，恰为该双曲线的两焦点，由双曲线定义，
知，又，∴，①正确；
曲线即抛物线，其焦点为，准线方程为，
由抛物线定义，知，②正确；选A．
三、解答题
17．（1）；
（2）①时，；
②时，；
综上，的值为或0．
18．（1）；
（2），时，，
即项的系数为．
19．（1）略；（2）．
20．，，
每个单球冰激凌的成本价为（元），
定价为15元，利润率约为55%，较为合理．
21．（1）；
（2）设、，
①直线的斜率存在时，设直线的方程为，
与椭圆方程联立可得，，
∴（*）且，
∵，∴，
即，
化简得，
将（*）式代入，得，，
∴，即或（舍，此时直线过点）
∴直线的方程为，过定点；
②直线的斜率不存在时，设直线的方程为，，
可设，且，由，
即，解得或（舍），
此时直线的方程为，也过定点；
综上，直线过定点．