上海中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案

上海中学高一下期末数学试卷
2020.6
一、填空题
1．在数列中，若，，则 ．
2．在首项为2020，公比为的等比数列中，最接近于1的项是第 项．
3．等差数列的前15项和为90，则 ．
4．等比数列满足．则 ．
5．等差数列的前项和为，，，则取最大值时 ．
6．数列由确定，则中第10个3是该数列的第 项．
7．已知方程在区间内有两个相异的解，则的取值范围
是 ．
8．在数列中，，，则 ．
9． ．
10．对于数列，当为奇数时，；当为偶数时，，则这个数列的前项之和为 ．
11．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数生成两个数，一个是，另一个是．若，前次生成的所有数中不同的数的个数为，则 ．
12．若数列，满足，，若对任意的，都有，，设，则无穷数列的所有项的和为 ．
二、选择题
13．用数学归纳法证明“”，从“到”，左边需增添的因式为（ ）
A． B． C． D．
14．“”是“依次成等比数列”的（ ）条件
A．充分非必要 B．必要非充分
C．既不充分也不必要 D．充分必要
15．等差数列的公差不为零，等比数列的公比是小于1的正有理数，若，，且是正整数，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
16．为实数构成的等比数列的前项和，则中（ ）
A．任一项均不为0 B．必有一项为0
B．至多有有限项为0 D．或无一项为0，或无穷多项为0
三、解答题
17．有三个数依次成等比数列，其和为21，且依次成等差效列，求．
18．解下列三角方程：
（1）；
（2）；
（3）．
19．己知等差数列满足，．
（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．
20．已知数列的前项和为，且是6和的等差中项．
（1）求数列的通项公式和前项和；
（2）若对任意的，都有，求的最小值．
21．对于实数，将满足“且为整数”的实数称为实数的小数部分，用记
号表示，对于实数，无穷数列满足如下条件：，
其中．
（1）若，求数列；
（2）当时，对任意的，都有，求符合要求的实数构成的集合．
（3）若是有理数，设（是整数，是正整数，、互质），问对于大于的任意
正整数，是否都有成立，并证明你的结论．
参考答案
一、填空题
1． 2．12 3．6 4．15 5．6或7 6．1536 7．
8． 9． 10． 11． 12．1
【第10题解析】分组求和：
．
【第11题解析】第1次生成的数为“1”；第2次生成的数为“、4”；第3次生成的数为“1、2、、7”；第4次生成的数为“、4、、5、4、、、10”；…
可观察出：，，，，，…，当时，是公差为4的等差数列，∴．
【第12题解析】
由题意，，∴是首项为2，公比为2的等比数列，∴，而，可得，
从而，其各项和为．
二、选择题
13．B 14．B 15．C 16．D
【第15题解析】，符合，选C．
【第16题解析】，
当时，有无穷多项为0；否则，无一项为0，选D．
三、解答题
17．由题意，可设，于是，
从而，可得或．
18．（1）即；
（2）即，
两边同除，可得，∴或，
∴；
（3）令，，则，
从而，即，解得或（舍），
再由，∴或，
∴或．
19．（1）；（2）由错位相减法，可得．
20．（1）由题意，①，令，可得，②，
②-①，得，即，∴是首项为2，公比为的等比数列，
∴，；
（2）①为奇数时，，关于单调递减且恒成立，
此时，；
②为偶数时，，关于单调递增且恒成立，
此时，；
∴，，于是．
21．
（1），，
，则
所以．
（2），所以，所以，
①当，即时，，所以，
解得（，舍去）．
②当，即时，，所以，
解得（，舍去）．
③当，即时，，所以，
解得（，舍去）．
综上，．
（3）成立．
（证明1）
由是有理数，可知对一切正整数，为0或正有理数，可设（是非负整数，是正整数，且既约）．
①由，可得；
②若，设（，是非负整数）
则 ，而由得
，故，，可得
若则，
若均不为0，则这个正整数互不相同且都小于，
但小于的正整数共有个，矛盾．
故中至少有一个为0，即存在，使得．
从而数列中以及它之后的项均为0，所以对于大于的自然数，都有.
（证法2，数学归纳法）