2020年中考数学二轮复习：全等三角形中辅助线的添加（Word版 无答案）

全等三角形中辅助线的添加
主要内容：复习三角形全等的判定定理，通过三角形全等证明图形中线段和角度的关系。（位置关系和数量关系）
学习目标：通过学习三角形全等的判定，探索三角形全等的条件，能够培养比较完整、清晰的思维逻辑能力并进行基础的推理论证能力。
学习重点：灵活应用三角形中线段的性质与三角形的判定定理证明综合性的题目。
学习难点：能够从结论出发，联系已知，找出解决问题的关键点，同时能够挖掘出图中的隐含条件而且能够将未知转化为已知来解决问题（基本的全等模型与常见辅助线）。
知识精讲
三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或者“SSS”。（三角形具有稳定性）
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”。
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写为“角角边”或“AAS”。
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”。
在直角三角形中，一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写为“HL”。
易错点：两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等这个结论是不正确的。
二、典型例题：
考点一
倍长中线法：当遇到中线时，通常延长中线一倍，采用补短的方法，构造三角形全等
条件：△ABC中AD是BC边中线
方法一：
延长AD到E，使DE=AD，连接BE方式
方法二：间接倍长，作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E连接BE
方法三：
延长MD到N，使DN=MD，连接CN
【例题1】
已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.
【例题2】如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.
【变式训练】
1、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.
【练习题】
1、已知：如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD上，∠FAE=∠BAE．求证：AF=BC+FC．
2、如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，且AE=AF。若点M是BC的中点，求证：BE=CF=(AB+AC)。
【例题3】已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE。
【变式训练】
已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF。
如图，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB=∠ABC，求证：CD=2CE。
【例题4】直角三角形斜边中线的长等于斜边的一半
如图，D是AB的中点，∠ACB=90°,求证：2CD=AB.
【例题5】
已知：在Rt△ABC中，AB=BC，在Rt△ADE中，AD=DE，连结EC，取EC的中点M，连结DM和BM．
若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图①，探索BM、DM的关系并给予证明；
(
图
①
)
（2）如果将图①中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图②，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．
（3）将图1中的△ADE绕点A旋转到图③的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由
(
图
②
)
【变式练习】已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，点M是CE的中点，连接BM.
（1）如图①，点D在AB上，连接DM，并延长DM交BC于点N，可探究得出BD与BM的数量关系为
；
（2）如图②，点D不在AB上，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由.
考点二截长补短法：
若遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑截长补短法，构造全等三角形。
①截长：在较长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；
②补短：将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段；或延长一条较短线段等于较长线段，然后证明延长部分等于另一条较短线段。
【例题6】如图，AD∥BC，EA，EB分别平分∠DAB，∠CBA，CD过点E，求证：AB=AD+BC．
【变式练习】1.如图，AD∥BC，∠1=∠2，∠3=∠4，点D、E、C在同一直线上，证明：AD+BC=AB
2.在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。
【例题7】如图，在△ABC中，AB=AC，D是△ABC外一点，且∠ABD=60°，∠ACD=60°
求证：BD+DC=AB
【变式练习】已知：如图在△ABC中，AB=AC，D为△ABC外一点，∠ABD=60°，∠ADB=90°－∠BDC，求证：AB=BD＋DC。
【例题8】①
如图，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE.
(1)线段AF和BE有怎样的大小关系?请证明你的结论；
(2)将图中的△CEF绕点C旋转一定的角度，得到图b，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；
【变式练习】1.已知四边形中，，°，为四边形的对角线上一点，且，求证：
2.如图，在中，，AD，CE分别为的平分线，求证：AC=AE+CD
考点三一线三等角问题
（“K”字图、弦图、三垂图）：两个全等的直角三角形的斜边恰好是一个等腰直角三角形的直角边。
【例题9】
已知：如图，点B,C,E在同一条直线上，∠B=∠E=60°，∠ACF=60°，且AB=CE证明：△ACB≌△CFE
【变式训练】已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC边上一点，
∠ADE=45°，AD=DE，求证：BD=EC.
【例题10】
⑴如图1，已知AC⊥CF，EF⊥CF，AB⊥BE，AB=BE
求证：AC=BF,BC=EF
⑵如图2，已知AC⊥CF，EF⊥CF，AB⊥CE，AC=CF
求证：AB=CE
⑶如图3，已知AC⊥CF，EF⊥CF，AG⊥CE，AG=CE
求证：AG=CF
【变式练习】
如图①所示在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A点的一条直线，且B点和C点在AE的异侧，BD⊥AE于D点，CE⊥AE于E点。
（1）求证：BD=DE+CE；
（2）若直线AE绕点A旋转到图②所示的位置时（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请予以证明；
（3）若直线AE绕点A旋转到如图③所示位置时（BD＞CE），其余条件不变，BD与DE、CE的关系如何？直接写出结果，不需证明；
（4）归纳前三小题，用简捷的语言表述BD、DE、CE之间的关系。
【例题11】
、分别是正方形的、边上的点，且．求证：．
【变式练习】
、、分别是正方形的、、边上的点，，．求证：．
【练习12】
已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF=ED，EF⊥ED．求证：AE平分∠BAD．
【变式练习】
两个全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME，MC．试判断△EMC的形状，并说明理由．
【例题13】如图所示，AE⊥AB，BC⊥CD且AB=AE，BC=CD，F、A、G、C、H在同一直线上，如按照图中所标注的数据及符号，则图中实线所围成的图形面积是？
【变式练习】小雨遇到这样一个问题：如图1，直线l1∥l2∥l3
，l1与l2之间的距离是1，l2与l3之间的距离是2，试画出一个等腰直角三角形ABC，使三个顶点分别在直线l1、l2、l3上，并求出所画等腰直角三角形ABC的面积．
小雨是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法利用平行线之间的距离，根据所求图形的性质尝试用旋转的方法构造全等三角形解决问题．具体作法如图2所示：在直线l1任取一点A，作AD⊥l2于点D，作∠DAH=90°，在AH上截取AE=AD，过点E作EB⊥AE交l3于点B，连接AB，作∠BAC=90°，交直线l2于点C，连接BC，即可得到等腰直角三角形ABC．
请你回答：图2中等腰直角三角形ABC的面积等于
．
参考小雨同学的方法，解决下列问题：
如图3，直线l1∥l2∥l3,
l1与l2之间的距离是2，l2与l3之间的距离是1,试画出一个等边三角形ABC，使三个顶点分别在直线l1、l2、l3上，并直接写出所画等边三角形ABC的面积（保留画图痕迹）．
【例题14】
已知：在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、C分别在y轴、x轴上，且∠ACB=90°，AC=BC．如图，当A（0，﹣2），C（1，0），点B在第四象限时，求点B的坐标，并说明理由．
【变式练习】1.如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形的直角顶点放在P（5,5）处，两条直角边与坐标轴分别交于点A和点B.
⑴当点A、点B分别在x轴、y轴正半轴上运动时，试探究OA+0B的值或取值范围；
⑵点A在x轴正半轴上运动，点B在y轴负半轴上时，试探究OA-OB的值或取值范围，直接写出结果。
.已知：在平面直角坐标系中，等腰直角△ABC顶点A、C分别在y轴、x轴上，且∠ACB=90°，AC=BC．
⑴如图1，当A（0，-2），C（1，0），点B在第四象限时，先写出点B的坐标，并说明理由．
⑵如图2，当点C在x轴正半轴上运动，点A（0，a）在y轴正半轴上运动，点B（m，n）在第四象限时，作BD⊥y轴于点D，试判断a，m，n之间的关系，请证明你的结论．
考点四：角平分线、中垂线法
角分线，分两边，对称全等要记全
角分线+垂线，等腰三角形必呈现（三线合一）
【例题15】在中，，是的平分线．是上任意一点．求证：．
【变式练习】如图所示，在中，是的外角平分线，是上异于点的任意一点，试比较与的大小，并说明理由．
【例题16】已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E，求证：BD=2CE．
【变式练习】如图，已知在中，，，．求证：
【例题17】如图，△ABC的边BC的中垂线DF交△BAC的外角平分线AD于D，F为垂足，DE⊥AB于E，且AB＞AC，求证：BE-AC=AE
【变式练习】如图，△ABC中，∠ABC=2∠C，BE平分∠ABC交AC于E、AD⊥BE于D，求证：
（1）AC-BE=AE；
（2）AC=2BD．
【例题18】如图，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．
求证：BF=CG．
【变式练习】已知：△ABC中，AD是△ABC的角平分线，M为BC的中点，过点M作MN∥AD，交AC于点N
,求证：AN+AB=NC.
【例题19】如图1，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC于点N、E、M．当直线l经过点C时（如图2），证明：BN=CD；
【变式练习】在例题19的条件下，当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明。
考点五
手拉手模型：
遇60°旋60°，造等边三角形
遇90°旋90°，造等腰直角
遇等腰旋转顶角，造旋转全等
遇中点旋180°，造中心对称
条
件：△ABE和△ACF均为等边三角形，如图1
结
论：（1）△ABF≌△AEC；（2）∠B0E=∠BAE=60°（“八字型”模型证明）；
（3）OA平分∠EOF
图1
图2
△ABD和△ACE均为等腰直角三角形，如图3
结论：（1）、BE=CD
（2）BE⊥CD
图3
图4
条
件：ABEF和ACHD均为正方形，如图4
结
论：（1）、BD⊥CF
（2）、BD=CF
变形一：ABEF和ACHD均为正方形，AS⊥BC交FD于T，求证：①T为FD的中点.
②
方法一：
方法二：
方法三：
变形二：ABEF和ACHD均为正方形，M为FD的中点，求证：AN⊥BC
【例题20】在直线ACE的同一侧作两个等边三角形△ABC和△DCE，连接AD与BE，证明：
（1）AD=BE
（2）、∠ACB=∠AOB
（3）、△PCQ为等边三角形
（4）、PQ∥AE
（5）、AP=BQ
（6）、CO平分∠AOE
（7）、OA=OB+Od
（8）、OE=OC+OD
【变式练习】1．在数学探究课上，老师出示了这样的探究问题，请你一起来探究：已知C是线段AB
所在平面内任意一点，分别以
AC、BC为边，在AB同侧作等边△ACE和△BCD，连接
AD、BE交于点P．
（1）如图
1，当点
C在线段AB上移动时，线段AD
与BE的数量关系：　
　．
（2）如图
2，当点C在直线AB外，且∠ACB=120°，上面（1）中的结论是否还成立？若成立请证明，不成立说明理由．此时∠APE
是否随着∠ACB
的大小发生变化，若变化写出变化规律，若不变，请写出∠APE的度数，不必说明理由．
（3）如图
3，在（2）的条件下，以AB为边在AB另一侧作等边三角形∠ABF，连接AD、BE
和CF交于点
P．求证：PA+PB+PC=BE．若∠ABC=60°，AB=6，BC=4试求PA+PB+PC的值，只需直接写出结果．
2．（1）如图1，点C是线段AB上一点，分别以AC，BC为边在AB的同侧作等边三角形ACM和等边三角形CBN，连接AN，BM．分别取BM，AN的中点E，F，连接CE，CF，EF．观察并猜想△CEF的形状，并说明理由．
（2）若将
（1）中的“以AC，BC为边在AB的同侧作等边三角形ACM和等边三角形CBN”改为“以AC，BC为腰在AB的同侧作等腰三角形ACM和等腰三角形CBN，且∠ACM=∠BCN≠60°”，其他条件不变，如图2所示，那么
（1）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
探究学习：
已知：C是线段AB所在平面内任意一点，分别以AC、BC为边在AB同侧作等腰直角
三角形ACD和等腰直角三角形BCE，∠ACD=∠BCE=90°，连接AE、BD．
（1）如图1，当点C在线段AB上移动时，线段AE
与BD的数量关系是　
　，位置关系是　
　．
（2）如图2，当点C在直线AB外，等腰直角三角形ECB绕点C逆时针旋转至图2位置，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，在（1）基础上等腰直角三角形BCE绕顶点C逆时针旋转到图3位置，取等腰直角三角形ACD的斜边AD的中点M，连接CM交BE于点G，试探究BG、GH、HE的数量关系，并写出证明思路．
总结：找全等三角形的方法：
　　（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；
　　（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；
　　（3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；
　　（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
三角形中常见辅助线的作法：
　　①延长中线构造全等三角形；
　　②利用翻折，构造全等三角形；
　　③引平行线构造全等三角形；
　　④作连线构造等腰三角形。
　　常见辅助线的作法有以下几种：
　　1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．
　　2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．
　　3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．
　　4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”
　　5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．
　　特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．
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