高中数学人教A版选修2-2第一章1．4生活中的优化问题举例（共24张PPT）

(共24张PPT)
1.4
生活中的优化问题举例
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为优化问题，优化问题有时也称为最值问题．解决这些问题具有非常重要的现实意义．
通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题。
例1:海报版面尺寸的设计
学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128cm2,上下边各空2cm,左右各空1cm,如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？
解：设版心的高为xcm,则宽为
此时四周空白面积为
类型一：求面积、容积的最大问题
因此，x=16是函数s(x)的极小值点，也是最小值点。
所以，当版心高为16cm,宽为8cm时，能使四周空白面积最小。
答：当版心高为16cm,宽为8cm时，海报四周空白面积最小。
求导数，有
解得，x=16
(x=-16舍去)
解法二：由解法(一)得
解:设箱底边长为x,则箱高h=(60-x)/2.箱子容积
V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子的容积很小,因此,16000是最大值.
答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3.
练习1、
一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？
则两个正方形面积和为
由问题的实际意义可知：
方法与技巧：在求面积、容积最大值问题时，要注意充分利用几何图形，建立数学模型，列出函数关系式，可以利用两种方法求解：一是利用导数求最值；二是利用基本不等式求最值，无论使用哪种方法都应该注意自变量的取值范围。
例1：圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？
类型二：用料最省、费用最低问题
答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省
即
h=2R
因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值
例2：如图,铁路线上AB段长100km,
工厂C到铁路的距离CA=20km.
现在要在AB上某一处D,向C修
一条公路.已知铁路每吨千米与
公路每吨千米的运费之比为3:5.为了使原料
从供应站B运到工厂C的运费最省,D应修在何处?
又设铁路上每吨千米的运费为3t元,则公路上每吨千米的运费为5t元.这样,每吨原料从供应站B运到工厂C的总运费为
令
在
的范围内有唯一解x=15.
所以,当x=15(km),即D点选在距A点15千米时,总运费最省.
某商品生产成本Ｃ与产量q的函数关系式为
,
价格p与产量q的函数关系式为
求产量
q
为何值时，利润
L
最大？
类型三：利润最大问题
例2.饮料瓶大小对饮料公司利润的
影响
（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般
比大包装的要贵些？
（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？
背景知识：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料。
瓶子的制造成本是
分，其中
r
是瓶
子的半径，单位是厘米.已知每出售1
ml
的饮料，制造商可获利
0.2
分,且制造商能
制作的瓶子的最大半径为
6cm.
问题(１)瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
　　
(２)瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？
解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是
令
当
当半径r＞２时，f
’(r)>0它表示
f(r)
单调递增，
即半径越大，利润越高；
当半径r＜２时，f
’(r)<0
它表示
f(r)
单调递减，
即半径越大，利润越低．
1.半径为２cm
时，利润最小，这时
表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，
此时利润是负值
２．半径为６cm时，利润最大
问题3:如何使一个圆形磁盘储存更多信息?
解:
存储量=磁道数×每磁道的比特数.
设存储区的半径介于r与R之间,由于磁道之间的宽度必须大于m,且最外面的磁道不存储任何信息,
所以磁道数最多可达(R-r)/m。
由于每条磁道上的比特数相同，为了获得最大的存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达到
,
所以，磁道总存储量为：
(1)
它是一个关于r的二次函数，从函数的解析式可以判断，不是r越小，磁盘的存储量越大。
解：存储量=磁道数×每磁道的比特数
这是一个典型的数学建模过程
利用导数解决优化问题的基本思路：
建立数学模型
解决数学模型
作答
方法小结